朱式幸福: 115年屏東高中教甄-數學詳解

國立屏東高級中學 115 學年度第 1 次正式教師甄試

一、填充題：每題 6 分，共 60 分。

解答:$$總和為 n 元的前一步，不是1元就是2元，因此a_n=a_{n-1}+ a_{n-2}\\ n=1\Rightarrow a_1=1, n=2\Rightarrow 兩個1元或1個2元，有2種貼法 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{a_1=1\\ a_2=2\\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}}}$$

解答:

$$x+y=20 \Rightarrow 斜率為-1 \Rightarrow 在橢圓上找切點P，其切線斜率為-1\\ {x^2\over 16}+{y^2\over 9}=1 \Rightarrow y'=-{9x\over 16y}=-1 \Rightarrow y={9x\over 16} \Rightarrow {x^2\over 16}+{(9x/16)^2\over 9}=1 \Rightarrow x=\pm {16\over 5} \\ \Rightarrow y=\pm {9\over 5} \Rightarrow P \left( {16\over 5},{9\over 5} \right) \Rightarrow 切線:x+y=5 \Rightarrow 兩平行直線\cases{x+y=20\\ x+y=5} 的距離= \bbox[red, 2pt]{15\sqrt 2\over 2}$$

解答:$$兩輛火車相對速率為50+50=100 \Rightarrow 相撞之前花了{100\over 100}=1小時\\ \Rightarrow 蒼蠅飛了75\times 1= \bbox[red, 2pt]{75}公里$$

解答:

$${11\over 3}\pi =2\pi+2\pi-2 \stackrel{\Large\frown}{PQ} =4\pi-2\theta \Rightarrow \theta={\pi\over 6} \\\Rightarrow 相疊後面積=2\times 1^2\pi\times {11/6\over 2} + 2\triangle O_1PQ ={11\over 6}\pi+ \sin {\pi\over 6}={1\over 2}+{11\over 6}\pi \Rightarrow \cases{a=1/2\\ b=11/6} \\ \Rightarrow a+b={1\over 2}+{11\over 6}= \bbox[red, 2pt]{7\over 3}$$

解答:$$A(a,b) \Rightarrow \cases{B(a,a) ,B的x坐標與A相同,且B在y=x上\\D(b,b), D的y坐標與A相同,且D在y=x上} \Rightarrow C(b,a) \\ \cases{A在y=4x-2x^2上\Rightarrow b=4a-2a^2\\ C在y=4x-2x^2上\Rightarrow a=4b-2b^2}\\ \Rightarrow b-a=4(a-b)-2(a^2-b^2) =-4(b-a)+2(b-a)(a+b) \\ \Rightarrow 1=-4+2(a+b) \Rightarrow a+b =\bbox[red, 2pt]{5\over 2}$$

解答:$$ \cases{(10 - k)x + \sqrt{6}y = 0 \\ 4\sqrt{6}x + (12 - k)y = 0 } \Rightarrow \begin{bmatrix}10-k& \sqrt 6\\ 4\sqrt 6& 12-k \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}=0 非零解 \Rightarrow \begin{vmatrix} 10 - k & \sqrt{6} \\ 4\sqrt{6} & 12 - k \end{vmatrix} = 0\\ \Rightarrow k^2 - 22k + 96 = 0 \Rightarrow (k-6)(k-16)=0 \Rightarrow k=6,16 \\ \textbf{Case I }k=6 \Rightarrow L_1:4x+\sqrt 6y=0 \Rightarrow 圓心(1,2) 至直線L_1距離d_1= \frac{|4(1) + \sqrt{6}(2)|}{\sqrt{4^2 + (\sqrt{6})^2}} = \frac{4 + 2\sqrt{6}}{\sqrt{22}} \gt 1=r\\ \qquad \Rightarrow L_1與圓無交點\\ \textbf{Case II }k=16 \Rightarrow L_2: -6x+\sqrt 6y=0 \Rightarrow d_2=((1,2),L_2) =\frac{|\sqrt{6}(1) - 2|}{\sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{7}} \lt 1 \\ \qquad \Rightarrow L_2與圓有交點, 存在實數解\\因此k= \bbox[red, 2pt]{16}$$

解答:$$z=x+yi \Rightarrow \bar z=x-yi \Rightarrow z-\bar z=2yi=3i \Rightarrow y={3\over 2} \Rightarrow P(z)=(x,{3\over 2}) \\ \Rightarrow d=|\sqrt{11}+5i-z| =\overline{PQ}, 其中Q=(\sqrt {11},5) \Rightarrow d= \sqrt{(x - \sqrt{11})^2 + \left(5 - \frac{3}{2}\right)^2} \\ \Rightarrow d_{\min} = \sqrt{0 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \bbox[red, 2pt]{\frac{7}{2}}$$

解答:$$美哉美哉四字的排列數為{4!\over 2!2!}=6,此四字產生五個空隙，接下來將屏屏中中插入空隙\\ \textbf{Case I }2 個「屏」綁一起放一格，2 個「中」綁一起放一格:\\ \qquad 從 5 個空隙選 2 個放入 [屏屏] 與 [中中],有P^5_2=20種 \\ \textbf{Case II }2 個「屏」綁一起放一格，2 個「中」分開各放一格: \\\qquad 從 5 個空隙選 3 個。將 [屏屏] 放入其中 1 格，[中], [中] 放入另外 2 格, 有C^5_3\cdot C^3_1 =30種\\ \textbf{Case III }2 個「中」綁一起放一格，2 個「屏」分開各放一格:\\ \qquad 與 \text{Case II }相同,有30種\\ \textbf{Case IV }2 個「屏」分開，2 個「中」也分開: \\ \qquad 從 5 個空隙選 4 個，並在這 4 格中排列 [屏], [屏], [中], [中], 有C^5_4\cdot {4!\over 2!2!}=30 \\ 總共有6\times(20+30+30+30)= \bbox[red, 2pt]{660}種$$

解答:$$圓C: x^2+y^2-6x-4y+9=0 \Rightarrow (x-3)^2+ (y-2)^2=4 \Rightarrow \cases{圓心O(3,2)\\ 圓半徑r=2}\\ \cases{A(-1,-2) \\ B(3,1)} \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(4,3) \Rightarrow \overline{AB}=5\\ \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OP}) \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} =(4,4) \cdot(4,3)+| \overrightarrow{OP}|| \overrightarrow{AB}| \cos \theta \\= 28+10\cos \theta \Rightarrow 最小值為28-10= \bbox[red, 2pt]{18}$$

解答:$$78個數據對稱{1\over 2}，其中等於{1\over 2}的有{1\over 2},{2\over 4},{3\over 6},{4\over 8},{5\over 10}.{6\over 12}，共6個,\\等於1的有{1\over 1},{2\over 2},\dots, {12\over 12}，共12個\Rightarrow 大於{1\over 2}及小於{1\over 2}的數據各有{1\over 2}(78-6-12) =30個\\ 78個數據中小於等於{1\over 2}的有30+6=36個，第37為{6\over 11}、第38為{5\over 9}、第39為{4\over 7}、第40為{7\over 12}\\ \text{中位數}為排序第39與第40的平均值 = \frac{\frac{4}{7} + \frac{7}{12}}{2} = \frac{\frac{48 + 49}{84}}{2} = \bbox[red, 2pt]{\frac{97}{168}} $$

二、計算證明題：每題 8 分，共 40 分。

解答:$$y=x-{1\over 3}x^3 \Rightarrow y'=1-x^2\\ 過P(x_1,y_1)之切線與過Q(x_2,y_2)之切線平行\Rightarrow 1-x_1^2=1-x_2^2 \Rightarrow x_1^2 =x_2^2 \Rightarrow x_1=-x_2 \\ 假設\cases{x_1=-t\\ x_2=t}, t\gt 0 \Rightarrow \cases{P(-t,-t+t^3/3) \\Q(t,t-t^3/3)} \Rightarrow \cases{切線L_P:(1-t^2)x-y-2t^3/3=0\\ 切線L_Q: (1-t^2)x-y+2t^3/3=0} \\ \Rightarrow d(L_P,L_Q) ={4t^3/3\over \sqrt{t^4-2t^2+2}} ={8\over 3} \Rightarrow t^6-4t^4+8t^2-8=0 \Rightarrow (t^2-2)(t^4-2t^2-4)=0 \\ \Rightarrow t=\sqrt 2 \Rightarrow L_P:-x-y-{4\sqrt 2\over 3}=0 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{3x+3y+4\sqrt 2=0}$$

解答:$$設 D 為 \overline{BC} 的中點。正四面體的高 \overline{PO} 會落在 \triangle ABC 的重心 O 上，\\且 A, O, D 三點共線（共平面於 \triangle PAD）\\因為截面過 \overline{AM} 且平行於 \overline{BC}，該截面與 \triangle PBC 平面的交線 \overline{B'C'} 會平行於 \overline{BC}\\令該截面與 \overline{PD} 交於 D'，則 A, M, D' 三點會共線於截面上，同時也落在 \triangle PAD 的平面上\\ \cases{M是\overline{PO}中點\Rightarrow {\overline{PM} \over \overline{MO}}=1 \\ O是\triangle ABC重心\Rightarrow {\overline{OA}\over \overline{AD}}={2\over 3}} \Rightarrow {\overline{PM} \over \overline{MO}} \times{\overline{OA} \over \overline{AD}} \times{\overline{DD'} \over \overline{D'P}} =1 \Rightarrow 1\times {2\over 3} \times {\overline{DD'} \over \overline{D'P}}=1 \\ \Rightarrow {\overline{DD'} \over \overline{D'P}}={3\over 2} \Rightarrow {\overline{PD'} \over \overline{PD}}={2\over 5} \Rightarrow m= V\times {\overline{PA} \over \overline{PA}} \times{\overline{PB'} \over \overline{PB}} \times {\overline{PC'} \over \overline{PC}}=V\times 1\times {2\over 5}\times {2\over 5}= {4V\over 25} \\ \Rightarrow n=V-m={21V\over 25} \Rightarrow {m\over n}= \bbox[red, 2pt]{4\over 21}$$

解答:$$a, b, c 為偶數的機率皆為 p \Rightarrow a, b, c 為奇數的機率皆為 1-p \Rightarrow P(ab為奇數)=(1-p)^2 \\ \Rightarrow P(ab為偶數)=1-(1-p)^2=2p-p^2 \Rightarrow f(p)=(2p-p^2)(1-p)+ (1-p)^2p \\ \Rightarrow f(p)=2p^3-5p^2+3p\gt {1\over 2} \Rightarrow 4p^3-10p^2+6p-1\gt 0 \Rightarrow (2p-1)(2p^2-4p+1)\gt 0 \\ (2p-1)(2p^2-4p+1)=0 \Rightarrow p= 1-{\sqrt 2\over 2},{1\over 2},1+{\sqrt 2\over 2}\\ 因此(2p-1)(2p^2-4p+1)\gt 0 \Rightarrow 1-{\sqrt 2\over 2}\lt p\lt {1\over 2}或p\gt {1+{\sqrt 2\over 2}} 不合,機率p\le 1 \\ \Rightarrow 1-{\sqrt 2\over 2}\lt p\lt {1\over 2},\bbox[red, 2pt]{故得證}$$

解答:$$\textbf{(1) }x=1代入 xf(x)=3x^4-2x^3+x^2+ \int_1^x f(t)\,dt \Rightarrow f(1)=2+0= \bbox[red, 2pt]2 \\ \textbf{(2) } {d\over dx} (xf(x)) =f(x)+xf'(x)=12x^3-6x^2+2x+f(x) \Rightarrow f'(x) =12x^2-6x+2 \\\qquad \Rightarrow f(x) =\int (12x^2-6x+2)\,dx =4x^3-3x^2+2x+C \Rightarrow f(1)=3+C=2\Rightarrow C=-1\\ \qquad \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{f(x)= 4x^3-3x^2+2x-1}\\ \bbox[cyan,2pt]{學校提供}$$