115學年度分科測驗試題數學乙考科
第壹部分、選擇（ 填）題（占72分）
一、單選題（占30分）
解答:$$\log_2(8\sqrt 2)-\log_2 (4\sqrt 2) =\log_2 2^{3+1/2}-\log_2 2^{2+1/2} =\log_2 2^{7/2}-\log_2 2^{5/2} \\={7\over 2}-{5\over 2}=1，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$
解答:$$(1)\times: z-w=2+i-(1+i)=1 \Rightarrow |z-w|=1\ne 5 \\(2)\times: z-2w=2+i-2(1+i)=-i \Rightarrow |z-2w|=|-i|=1\ne 5\\ (3)\times: z-3w=2+i-3(1+i) =-1-2i \Rightarrow |z-3w|=\sqrt{1+4} =\sqrt 5\ne 5\\ (4)\times: z-4w=2+i-4(1+i)=-2-3i \Rightarrow |z-4w|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \ne 5\\ (5)\bigcirc :z-5w=2+i-5(1+i)=-3-4i \Rightarrow |z-5w|=\sqrt{9+16}=5 \\ 故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$
解答:$$a={1\over 3}(1+2+6)=3\\ 取後放回,兩次抽取為獨立事件，且每次抽出的機率分佈都一樣\\ 因此b= {1\over 2}(E[X_1]+E[X_2]) ={1\over 2}(3+3)=3\\ 取後不放回，共有6種:(1,2),(1,6),(2,1),(2,6),(6,1),(6,2), 平均值為1.5,3.5,1.5,4,3.5,4 \\ \Rightarrow c={1\over 6}(1.5+3.5+1.5+4+ 3.5+4)=3 \\ 因此a=b=c=3，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$
解答:$$圓心(5,3)到直線L:y=x的距離為{2\over \sqrt 2} =\sqrt 2 \Rightarrow 圓半徑r=\sqrt 2\\ \Gamma的圓心為(5,3)與L的對稱點(3,5) \Rightarrow \Gamma: (x-3)^2+(y-5)^2=(\sqrt 2)^2=2，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$
解答:$$假設\cases{P(a,0,0)在x軸上\\ Q(0,b,0)在y軸上\\ R(0,0,c)在z軸上} \Rightarrow \cases{\overline{PA}^2=(a-6)^2+8^2+8^2=10^2 \\ \overline{PB}^2 =(6^2)+(8-b)^2+(-8)^2 =10^2 \\ \overline{PC}^2=6^2+8^2+(c+8)^2=10^2} \Rightarrow \cases{(a-6)^2=-28無解\\ (b-8)^2=0 \Rightarrow b=8\\ (c+8)^2=0 \Rightarrow c=-8} \\ 共有0+1+1=2個點符合要求，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$
解答:$$f(x)= \int_0^x t(t-2)\,dt \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow (1)不合\\ f'(x)=x(x-2) =0 \Rightarrow x=0,2 \Rightarrow f(0)及f(2)是極值\Rightarrow (3)與(5)不合 \\ f'(x)=x(x-2)=x^2-2x=(x-1)^2-1 \Rightarrow f'(1)=-1\lt 0 \Rightarrow 在x=1時,切線斜率為負值\\，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$
二、多選題（占24分）
解答:$$(1)\bigcirc: 閱讀每篇文章並決定是否按讚是「獨立事件」,對任何一篇文章按讚的機率都是 \frac{1}{3}\\(2)\times: 基於「獨立事件」的前提，第 1 篇按不按讚，完全不會影響第 2 篇,機率都是 \frac{1}{3}\\ (3)\times: P(X=2) ={4\choose 2} \times\left( {1\over 3} \right)^2 \times \left( {2\over 3} \right)^2 ={8\over 27} \ne {4\over 81} \\(4) \bigcirc: \cases{P(X=0) ={4\choose 0}\cdot \left( {2\over 4} \right)^4 ={16\over 81} \\ P(X=1) ={4\choose 1}\cdot \left( {1\over 3} \right)\cdot \left( {2\over 3} \right)^3 ={32\over 81}} \Rightarrow 1-{16 \over 81}-{32\over 81} ={33\over 81}={11\over 27} \\ (5) \bigcirc: 恰有 2 個 O 且連續：排列情形為OOXX, XOOX, XXOO ,共 3 種 \\\qquad \Rightarrow 機率為3\cdot \left( {1\over 3} \right) ^2\cdot \left( {2\over 3} \right)^2= {12\over 81} \\ \qquad 恰有 3 個 O:排列情形為OOOX, OOXO, OXOO, XOOO，共 4 種\\ \qquad \Rightarrow 機率為4\times \left( {1\over 3} \right)^3 \times \left( {2\over 3} \right) ={8\over 81} \\ \qquad 恰有 4 個 O：排列情形為OOOO，只有1 種 \Rightarrow 機率= \left( {1\over 3} \right)^4={1\over 81} \\ 機率加總: {12\over 81}+{8\over 81}+{1\over 81} ={21\over 81}={8\over 27} \\故選\bbox[red, 2pt]{(145)}$$
解答:$$\cases{10^{a_3}=2 \\ 10^{a_5} =5} \Rightarrow \cases{a_3=\log 2\\ a_5=\log 5} \Rightarrow a_5-a_3=2d \Rightarrow 2d=\log 5-\log 2=\log{5\over 2}, d為公差 \\(1) \bigcirc: {10^{a_{k+1}} \over 10^{a_k}} =10^{a_{k+1}-a_k} =10^d 為常數 \Rightarrow 10^{a_1}, 10^{a_2}, \dots, 10^{a_7} 為等比數列 \\(2)\bigcirc: 由(1)知:公比r=10^d \Rightarrow r^2=10^{2d }=10^{a_5-a_3} ={10^{a_5} \over 10^{a_3}} ={5\over 2} \\ \qquad \Rightarrow 10^{a_7}=10^{a_5+2d} =10^{a_5}\times 10^{2d}=5\times {5\over 2}={25\over 2} \\(3) \times: a_4={1\over 2}(a_3+a_5)={1\over 2}(\log 2+\log 5) ={1\over 2}\log 10= \log \sqrt{10} \ne \log {7\over 2} \\(4)\times: a_1=a_3-2d=\log 2-\log{5\over 2} =\log {4\over 5} \lt 0 \\(5)\bigcirc: \sum_{k=3}^6(a_{k+1}-a_k) =\sum_{k=3}^6d=4d =2\times (2d)=2\times (1-2\log 2) =2-4\log 2 \\ 故選\bbox[red, 2pt]{(125)}$$
解答:$$已知\cases{x（行車速率）平均數：\mu_x = 24.8\\ y（煞停距離）平均數：\mu_y = 12.6\\ 相關係數：r = 0.8\\迴歸直線 L 通過已知點：(6.8, 0)} \\(1)\times: L必通過(\mu_x,\mu_y)=(24.8,12.6) \ne(12.6,24.8) \\(2) \times: L通過(24.8,12.6)及(6.8,0) \Rightarrow 斜率={12.6-0\over 24.8-6.8} =0.7\ne 0.8 \\(3) \bigcirc: L: y-0=0.7(x-6.8) \Rightarrow L: y=0.7(x-6.8), \\\qquad 將x=46.8代入 L \Rightarrow y= 0.7\cdot (46.8-6.8)=0.7\times 40=28 \\(4)\bigcirc: m=r\times {\sigma_y\over \sigma_x} \Rightarrow 0.7=0.8\times {\sigma_y\over \sigma_x} \Rightarrow \sigma_y={7\over 8}\sigma_x \Rightarrow \sigma_x\gt \sigma_y \\(5)\times: 假設新的迴歸直線斜率為m' \Rightarrow m'= r \times \frac{\text{新 y 軸的標準差}}{\text{新 x 軸的標準差}} = r \times \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \\\qquad =0.8\times {8\over 7} ={32\over 35} \ne{10\over 7} \\故選\bbox[red, 2pt]{(34)}$$
三、選填題（占18分）
解答:$$A= \begin{bmatrix}a&1\\0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2= \begin{bmatrix}a&1\\0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&1\\0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a^2& a+1\\ 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2+2A= \begin{bmatrix}a^2& a+1\\ 0& 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2a& 2\\0& 2 \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}a^2+2a& a+3\\0&3 \end{bmatrix} = 3I= \begin{bmatrix}3& 0\\0& 3 \end{bmatrix} \Rightarrow a= \bbox[red, 2pt]{-3}$$
解答:$$f(x,y)=x+4y \Rightarrow \cases{f(6,1)=10\\f(5,5)=25\\ f(2,7)=30\\f(-1,8)=31} \Rightarrow 最大值\bbox[red, 2pt]{31}$$
解答:$$假設我們將這 6 張卡片的編號由小到大排列，設為:x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\lt x_5\lt x_6 \\ \Rightarrow 中位數={x_3+x_4\over 2}=5 \Rightarrow x_3+x_4=10 \Rightarrow (x_3,x_4) =(1,9),(2,8), (3,7),(4,6)\\ 若\cases{x_3=1\\ x_4=9}\Rightarrow x_1,x_2不存在, 不合 \\若\cases{x_3= 2\\ x_4=8} \Rightarrow x_1,x_2無法同時存在, 不合 \\ 若\cases{x_3=3\\ x_4=7} \Rightarrow \cases{x_1=1,x_2=2\\ 從\{8,9,10\}挑兩個作為x_5,x_6, 有3種選法} \Rightarrow 共3種\\ 若\cases{x_3=4\\ x_4=6} \Rightarrow \cases{從\{1,2,3\}挑兩個作為x_1,x_2, 有3種選法 \\從\{7,8,9,10\}挑兩個作為x_5,x_6, 有C^4_2=6種選法} \Rightarrow 共3\times 6=18種\\ 合計:3+18= \bbox[red, 2pt]{21}種$$
第貳部分、混合題 或非選擇題（占28分）
解答:$$故定成本為C(0)=42，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$
解答:$$A(x)={C(x)-C(0) \over x}={x^3-12x^2+60x\over x} =x^2-12x+60 \Rightarrow \lim_{x\to 0^+} A(x) =\bbox[red, 2pt]{60}$$
解答:$$A(x)= x^2-12x+60 =(x-6)^2+24 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{最小值24}，此時產量為\bbox[red, 2pt]6公斤$$
解答:$$\cases{(1)\bigcirc: \vec u\cdot (-2,1)=0 \\(2)\times: \vec u\cdot(-1,0)=-1\ne 0\\ (3)\times: \vec u\cdot (-1,-2)=-5\ne 0\\ (4)\times: \vec u\cdot (1,-1)=-1\ne 0\\ (5)\times: \vec u\cdot (2,1)=4\ne 0}, 故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$
解答:$$假設C(x,y) \Rightarrow \cases{\overrightarrow{CA}=(1-x,1-y)\\ \overrightarrow{CB} =(4-x,2-y)}, 由於\vec u與\overrightarrow{CA}垂直 \Rightarrow \vec u\cdot \overrightarrow{CA}= 1\cdot (1-x)+2 \cdot (1-y)= 0\\ \Rightarrow x+2y=3 \cdots(1) \\ 又\vec u與\overrightarrow{CB}夾角的餘弦為{1\over \sqrt{10}} \Rightarrow {\vec u\cdot \overrightarrow{CB} \over |\vec u||\overrightarrow{CB}}={8-(x+2y) \over \sqrt{5} |\overrightarrow{CB}|} ={8-3 \over \sqrt{5} |\overrightarrow{CB}|} ={5 \over \sqrt{5} |\overrightarrow{CB}|} ={1\over \sqrt {10}} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{CB|}=5\sqrt 2 \Rightarrow |\overrightarrow{CB}|^2= (4-x)^2+(2-y)^2=(4-(3-2y))^2+(2-y)^2= (5\sqrt 2)^2 \\ \Rightarrow y^2=9 \Rightarrow y=3 (C在第二象限\Rightarrow y\gt 0) \Rightarrow x=3-6=-3 \Rightarrow C(-3,3)\\\cases{A(1,1) \\B(4,2) \\C(-3,3)} \Rightarrow \cases{\bbox[red, 2pt]{\overrightarrow{AB} =(3,1)}\\ \overrightarrow{AC}=(-4,2)} \Rightarrow \cos \angle BAC={\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\over |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}} ={-10\over \sqrt{10}\cdot \sqrt{20}} =-{\sqrt 2\over 2}\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cos \angle BAC=-{\sqrt 2\over 2}}$$
解答:$$在小題(2)中，已求出|\overrightarrow{CB|}= \bbox[red, 2pt]{5\sqrt 2}$$
解題僅供參考，其他升大學試題及詳解
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