115年新竹自強高工教甄-數學詳解

新竹縣立自強工業高級中等學校第三次教甄

一、選擇題：每題4分，共20分

 解答:$$\sqrt{1+\sin \theta} -\sqrt{1-\sin \theta} = \sqrt{(\sin \theta/2 + \cos\theta/2)^2} -\sqrt{(\cos \theta/2-\sin\theta/2)^2} \\=\sin \theta/2 + \cos\theta/2- \cos \theta/2+\sin \theta/2= 2\sin \theta/2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

 解答:$$從 31 天中選出 3 天作為講座日。設 \cases{x_1 為第一場講座前的空檔天數\\x_2 為第一場與第二場之間的間隔天數 \\ x_3 為第二場與第三場之間的間隔天數\\ x_4 為第三場之後的空檔天數}\\由於有 3 天是講座日，所有的空檔天數加上這 3 天必須等於總天數 31，\\即 x_1 + 1 + x_2 + 1 + x_3 + 1 + x_4 = 31 \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 28,需滿足\cases{x_1\ge 0\\ x_2\ge 4\\ x_3\ge 4\\ x_4\ge 0} \\因此取\cases{y_2= x_2-4\\ y_3=x_3-4} \Rightarrow x_1+y_2+y_3+x_4 = 20 \Rightarrow 組合數H^{4}_{20} \\ 又三場講座是不同的，因此總共有H^4_{20}\times 3!= 1771\times 6=10626，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

 解答:$$圓心(2,1)與直線3x-4y+6=0的距離d= {|6-4+6|\over \sqrt{3^2+(-4)^2}}={8\over 5} \lt 半徑2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

 解答:$$ 將  z  逆時針旋轉  90^\circ  並縮小為  \frac{1}{2} ，相當於乘上  \frac{1}{2}i ;再向東平移 3、向北平移 3，相當於加上 3 + 3i\\即w=z\cdot {1\over 2}i+3+3i = \left( -{1\over 2}y+3 \right)+ \left( {1\over 2}x+3 \right)i \Rightarrow |w|=|z|\\ \Rightarrow x^2+y^2 =\left( -{1\over 2}y+3 \right)^2+ \left( {1\over 2}x+3 \right)^2 \Rightarrow  x^2 + y^2 - 4x + 4y - 24 = 0 \\ \Rightarrow \Gamma: (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 32 \Rightarrow \cases{y=0 \Rightarrow (x-2)^2=28 \Rightarrow \overline{AB}=4 \sqrt 7\\ x=0 \Rightarrow (y+2)^2=28 \Rightarrow \overline{CD} =4\sqrt 7} \\ \Rightarrow  \text{面積} = \frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{CD} =  \frac{1}{2} \times (4\sqrt{7}) \times (4\sqrt{7})=56, \bbox[red, 2pt]{(C)}$$

 解答:$$\cases{最大值5=a+d\\ 最小值-1=-a+d} \Rightarrow \cases{a=3\\ d=2}, 又最小週期{2\pi\over 3} ={2\pi\over b} \Rightarrow b=3 \Rightarrow f(x)=3\cos(3(x-c))+2 \\ x = \frac{\pi}{6}有最大值 \Rightarrow 3 \left( {\pi\over 6}-c \right)=2k\pi \Rightarrow c={\pi\over 6} -{2k\pi\over 3} ={\pi\over 6} (取k=0) \\ \Rightarrow f(x)= 3\cos \left( 3 \left( x-{\pi\over 6} \right) \right)+2 = 3\cos \left( 3x-{\pi\over 2} \right)+2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

二、填充題:每格5分，共50分

 解答:$$假設\int_0^2 f(t)\,dt =k \Rightarrow f(x)=x^3-3x^2-kx+38 \Rightarrow k=\int_0^2 (t^3-3t^2-kt+38)\,dt \\= \left. \left[ {1\over 4}t^4-t^3-{1\over 2}kt^2+38t \right] \right|_0^2 =72-2k \Rightarrow 3k=72 \Rightarrow k=24 \\ \Rightarrow f(x) =x^3-3x^2-24x+38 \Rightarrow f'(x)=3x^2-6x-24= 3(x-4)(x+2) \\ f'(x)=0 \Rightarrow x=4,-2 \Rightarrow \cases{f(4)=-42\\f(-2)=66} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{最大值為66\\ 最小值為-42}}$$

 解答:$$假設三角形面積 \Delta 與三邊長 a, b, c 及其對應高 h_a, h_b, h_c \Rightarrow \Delta={1\over 2} ah_a ={1\over 2}bh_b ={1\over 2}ch_c \\ \Rightarrow 6a=4b=3c \Rightarrow a:b:c=2:3:4 \Rightarrow \cases{a=2k\\ b=3k\\ c=4k}\\ \Rightarrow 最小角\theta的餘弦值\cos \theta={(3k)^2+ (4k)^2-(2k)^2 \over 2\cdot 3k\cdot 4k}= \bbox[red, 2pt]{7\over 8} \Rightarrow \sin \theta=\sqrt{1-(7/8)^2}= {\sqrt{15} \over 8} \\ \Rightarrow \Delta={1\over 2}(3k)(4k) \sin \theta ={1\over 2}(2k)\cdot 6 \Rightarrow {3\sqrt{15}\over 4}k^2 =6k \Rightarrow k={8\over \sqrt{15}} \Rightarrow \Delta=6k= \bbox[red, 2pt]{16\sqrt{15} \over 5}$$

 解答:$$\textbf{(1) }依題意 1 \le a < b < c \le 12，且 b - a \ge 4、c - b \ge 4\\ 取\cases{x = a \\y = b - 3 \\z = c - 6}\Rightarrow  b - a \ge 4 \Rightarrow  (b-3) - a \ge 1 \Rightarrow  y > x\\同理可得 z > y\Rightarrow  1 \le x < y < z \le 12-6 = 6\\這等同於從 \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} 中任選 3 個相異數字:C^6_3 = \bbox[red, 2pt]{20} \\ \textbf{(2) } \cases{n=12\\k=3} 代入 {n\over n-k} {n-k\choose k} ={12\over 12-3}{12-3\choose 3}= \bbox[red, 2pt]{112}$$

 解答:$$圓x^2+ (y-1)^2 =1 \Rightarrow \cases{圓心(0,1)\\ 半徑r=1}, 過(5,6)的切線方程式: y-6=m(x-5) \\ 圓心至切線距離=圓半徑\Rightarrow {|5-5m|\over \sqrt{m^2+1}}=1 \Rightarrow 12m^2-25m+12=0 \Rightarrow (4m-3)(3m-4)=0\\ \Rightarrow \cases{m=3/4 \Rightarrow x=-3 \Rightarrow 與x軸交點\bbox[red, 2pt]{(-3,0){}} \\m=4/3 \Rightarrow x=1/2 \Rightarrow 與x軸交點\bbox[red, 2pt]{(1/2,0)} }$$

 解答:$$\textbf{(1) }S_n= \sum_{k=1}^n {1\over \sqrt{n^2+3kn}} = \sum_{k=1}^n {1\over n\sqrt{1+3(k/n)}} \Rightarrow \lim_{n\to \infty} S_n= \int_0^1 {1\over \sqrt{1+3x}}\,dx\\\qquad \Rightarrow f(x)= \bbox[red, 2pt]{1\over \sqrt{1+3x}} \\\textbf{(2) } \lim_{n\to \infty}  \left( {1\over \sqrt{n^2+ an}} + {1\over \sqrt{n^2+ 2an}} +  \cdots +{1\over \sqrt{(1+a)n^2}} \right) =\lim_{n\to \infty}   \sum_{k=1}^n {1\over \sqrt{n^2+akn}} \\\qquad  =\lim_{n\to \infty}   \sum_{k=1}^n {1\over n\sqrt{1+a(k/n)}} =\int_0^1 {1\over \sqrt{1+ax}}\,dx = \left. \left[ {2\over a}\sqrt{1+ax} \right] \right|_0^1 = \bbox[red, 2pt]{{2\over a}(\sqrt{1+a}-1)}$$

三、計算題:每題10分，共30分

 解答:$$\textbf{(1) }{d\over dx} \left( \int_1^{x^2} {1\over 1+t^4}\,dt \right) ={1\over 1+(x^2)^4} \cdot {d\over dx}(x^2) = \bbox[red, 2pt]{2x\over 1+x^8} \\\textbf{(2)} F(x)= \int_3^x {1\over 1+t^2}\,dt \Rightarrow F'(x)={1\over 1+x^2} \Rightarrow \lim_{x\to 3}{F(x) \over x-3} =F'(3)= {1\over 1+3^2} =\bbox[red, 2pt]{1\over 10}$$

 解答:

$$假設\cases{L_1:4x-y-7=0\\ L_2:3x-4y+11=0\\ L_3: x+3y-5=0} \Rightarrow 所圍區域頂點坐標\cases{A(3,5) \\B(-1,2) \\C(2,1)} \\ \textbf{(1) }f(x,y)=x-y \Rightarrow \cases{f(3,5)=-2\\f(-1,2)=-3\\f(2,1)=1} \Rightarrow x-y最大值為\bbox[red, 2pt]1 \\ \textbf{(2) }g(x,y)=x^2+y^2 \Rightarrow \cases{g(3,5)=34\\ g(-1,2)=5\\g(2,1)=5} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{最大值34}\\\Rightarrow  g=r^2為一圓,且\cases{圓心O(0,0)\\ 圓半徑r} \Rightarrow \cases{d(O,L_1)=7/\sqrt{17} \\ d(O,L_2)=11/5\\ d(O,L_3)=5/\sqrt{10} }  \Rightarrow 最小值為{5\over \sqrt{10}} \Rightarrow r^2={25\over 10}={5\over 2} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{最小值為{5\over 2}}$$

 解答:$$$$

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