95學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分:選擇題一、單選題
解:
x2+x+1=(x+12)2+34>0⇒(x2+x+1)3+1>0⇒(x2+x+1)3+1=0無實數解,故選(1)
解:
解:
{¯AB=√(5−1)2+(6−3)2=5△PAB面積=10△PAB周長=15⇒{12ׯAB×h=10¯PA+¯PB=15−¯AB⇒{h=4⇒兩直線¯PA+¯PB=10⇒橢圓⇒橢圓與兩直線的交點為四個點,故選(3)
二、多選題
解:{an=C4n(12)4bn=C8n(12)8(1)×:a2=C42×116=616=38≠12(2)×:{a2=3/8b4=C84×1256=70256=35128⇒a2≠b4(3)◯:{b2=C82×1256b6=C86×1256⇒b2=b6(∵C82=C86)(4)◯:{a3=C43/16=1/4b3=C83/256=56/256=56/644⇒a3>b4(5)◯:C84=70>(C83=C85=56)>(C82=C86=28)>(C81=C87=8)>(C88=C80=1),故選(3,4,5)
(1)×:limk→∞f(k)f(k+100)=limk→∞k5(k+100)5=1(2)◯:limk→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)=5+8−3−10=0(3)×:f′(x)=5x4+8x3−3x2−10x=x(5x3+8x2−3x−10)=x(x−1)(5x2+13x+10)⇒f″(x)=20x3+24x2−6x−10⇒{f″(0)=−10<0f″(1)=28>0⇒{f(0)為極大值f(1)為極小值⇒當x∈[0,1],f為遞減⇒當x∈[12,1],f為遞減(4)◯:{f(0)=3為極大值f(1)為極小值⇒{f遞減x∈[0,1]f遞增x∈[1,∞]⇒f(x)≥0,x∈[0,∞)(5)◯:{f(0)=3為極大值f(1)為極小值⇒{f遞增x∈(−∞,0]f遞減x∈[0,1]f遞增x∈[1,∞]⇒f(x)=3有兩個交點(一個在x=0,另一個在x>1)故選(2,4,5)
三、選填題
解:令|→u|=2|→v|=|2→u+3→v|=a⇒|→v|=12a⇒(2→u+3→v)⋅(2→u+3→v)=|(2→u+3→v)|2⇒4|→u|2+12(→u⋅→v)+9|→v|2=a2⇒4a2+12(→u⋅→v)+94a2=a2⇒→u⋅→v=−716a2⇒cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=−7a2/16a2/2=−78
解:
{圓心C(2,3,0)圓半徑r=√13⇒{球心B(2,3,t)球半徑R球上一點A(6,6,6)⇒R=¯AB=¯BD⇒¯AB2=¯BD2=¯BC2+r2⇒(6−2)2+(6−3)2+(6−t)2=t2+(√13)2⇒t2−12t+61=t2+13⇒12t=48⇒t=4⇒R=√t2+13=√29
{圓心C(2,3,0)圓半徑r=√13⇒{球心B(2,3,t)球半徑R球上一點A(6,6,6)⇒R=¯AB=¯BD⇒¯AB2=¯BD2=¯BC2+r2⇒(6−2)2+(6−3)2+(6−t)2=t2+(√13)2⇒t2−12t+61=t2+13⇒12t=48⇒t=4⇒R=√t2+13=√29
解:
{A(73)=(21)A(94)=(15)⇒A(7934)=(2115)⇒A=(2115)(7934)−1det(7934)=28−27=1⇒(7934)−1=(4−9−37)⇒A=(2115)(4−9−37)⇒(2115)(4−9−37)=(2115)(acbd)⇒{a=4b=−3c=−9d=7
解:
偶數={偶數+偶數奇數+奇數⇒P(n+1)=49P(n)+59(1−P(n))=59−19P(n)⇒{r=5/9s=−1/9
解:
{O(0,0)A(4,3)B(x,0)⇒{¯OA=√42+32=5¯OB=x¯AB=ℓ(x)⇒正弦定理:xsin∠A=ℓ(x)sin∠O=3/5⇒xℓ(x)=53sin∠A⇒xℓ(x)最大值為53
{O(0,0)A(4,3)B(x,0)⇒{¯OA=√42+32=5¯OB=x¯AB=ℓ(x)⇒正弦定理:xsin∠A=ℓ(x)sin∠O=3/5⇒xℓ(x)=53sin∠A⇒xℓ(x)最大值為53
一 . (1) (3 分 ) 將 48510 分 解 成 質 因 數 的 乘 積 。
(2) (7 分 ) 寫 出 在 1 和 250 之 間 且 與 48510 互 質 的 所 有 合 數 (合 數 就 是 比 1 大而 不 是 質 數 的 整 數 )。
(1)經由因數分解(如上圖),4851=2×32×5×72×11(2)令S={2,3,5,7,11},則小於250又不在S中的質數集合R={13,17,19,23,29,31...};此題相當於在R中任挑2數(可重複)相乘小於250的數字有多少個?由於13×23=299>250,所以此可簡化成在T={13,17,19}任挑2數(可重複)的乘積小於250有哪些? 13×13=169,13×17=221,13×19=247⇒符合條件的合數為169,221及247
二、 傳 說 中 孫 悟 空 的 「 如 意 金 箍 棒 」 是 由 「 定 海 神 針 」 變 形 得 來 的 。 這 定 海 神 針在 變 形 時 永 遠 保 持 為 圓 柱 體,其 底 圓 半 徑 原 為 12 公 分 且 以 每 秒 1 公 分 的 等 速率 縮 短,而 長 度 以 每 秒 20 公 分 的 等 速 率 增 長。已 知 神 針 之 底 圓 半 徑 只 能 從 12公 分 縮 到 4 公 分 為 止 , 且 知 在 這 段 變 形 過 程 中 , 當 底 圓 半 徑 為 10 公 分 時 其 體積 最 大 。
(1) (2 分 ) 試 問 神 針 在 變 形 開 始 幾 秒 時 其 體 積 最 大 ?
(2) (6 分 ) 試 求 定 海 神 針 原 來 的 長 度 。
(3) (5 分 ) 假 設 孫 悟 空 將 神 針 體 積 最 小 時 定 形 成 金 箍 棒, 試 求 金 箍 棒 的 長 度 。
解:
假設神針原始尺寸為{底圓半徑r0=12長度h0,經過k秒後變為{r=12−k,0≤k≤8h=h0+20k;(1)當底圓半徑為10公分時體積最大,即r=12−k=10⇒r=2,也就是開始2秒後;(2)圓柱體體積V(k)=r2hπ=(12−k)2(h0+20k)π⇒V′(k)=−2(12−k)(h0+20k)π+20(12−k)2π由題意知V(2)有極大值⇒V′(2)=0⇒−20×(h0+40)+2000=0⇒h0=60⇒原長度為60公分(3)V′(k)=−2(12−k)(h0+20k)π+20(12−k)2π=60π(k−12)(k−2)⇒{V(2)為極大值V(12)為極小值⇒V(8)為最小值,k∈[0,8],此時長度h=h0+20k=60+20×8=220公分-- END (僅供參考) --
真的很不錯!練歷屆都是來看這個訂正的
回覆刪除我是闕劭奇我要滿級分
回覆刪除應第六題的第五個選項應該是遞增遞減再遞增喔~
回覆刪除筆誤,已修訂, 謝謝
刪除