國中數學: 由三角形三邊長求面積

題目：已知三角形三邊長分別為a, b, c，求此三角形面積。

解答：

在BC邊上畫一高AD，令BD=x, DC=y, 高為h，則

$${ a }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ h }^{ 2 }\quad and\quad b^{ 2 }={ y }^{ 2 }+{ h }^{ 2 }\Rightarrow { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }\\ \Rightarrow { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }=\left( x+y \right) \left( x-y \right) =c\left( x-y \right) \\ \Rightarrow \left( x-y \right) =\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ c } \\ \Rightarrow \begin{cases} x+y=c \\ x-y=\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ c }  \end{cases}\Rightarrow x=\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }{ 2c }$$

$$\triangle ABC=\frac { 1 }{ 2 } c\times h=\frac { 1 }{ 2 } c\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } c\sqrt { \left( a+x \right) \left( a-x \right)  } \\ =\frac { 1 }{ 2 } c\sqrt { \left( a+\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }{ 2c }  \right) \left( a-\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }{ 2c }  \right)  } \\ =\frac { 1 }{ 2 } c\sqrt { \left( \frac { { a }^{ 2 }+2ac+{ c }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ 2c }  \right) \left( \frac { { -a }^{ 2 }+2ac-{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }{ 2c }  \right)  } \\ =\frac { 1 }{ 2 } c\sqrt { \left( \frac { { \left( a+c \right)  }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ 2c }  \right) \left( \frac { { b }^{ 2 }-{ \left( a-c \right)  }^{ 2 } }{ 2c }  \right)  } \\ =\frac { 1 }{ 2 } c\sqrt { \left( \frac { \left( a+b+c \right) \left( a-b+c \right)  }{ 2c }  \right) \left( \frac { \left( a+b-c \right) \left( -a+b+c \right)  }{ 2c }  \right)  } \\ =\frac { 1 }{ 4 } \sqrt { \left( a+b+c \right) \left( a-b+c \right) \left( a+b-c \right) \left( -a+b+c \right)  } \\ =\frac { 1 }{ 4 } \sqrt { \left( 2s \right) \left( 2s-2b \right) \left( 2s-2c \right) \left( 2s-2a \right)  } ,s={ \left( a+b+c \right)  }/{ 2 }\\ =\sqrt { s\left( s-a \right) \left( s-b \right) \left( s-c \right)  }$$

總論：三角形三邊長分別為a, b, c, 令s=(a+b+c)/2，則面積為