103年國中特招數學詳解

103學年度高級中等學校特色招生考試

第一部分：選擇題(1~29題)

解答：$$17-2\times [9-3\times 3\times (-7)]\div 3 =17-2\times [9-9\times (-7)]\div 3 = 17-2\times [9+63]\div 3\\ = 17-2\times 72\div 3 =17-2\times 24 =17-48 =-31，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{P(5,a)在Q(b,7)的右邊\Rightarrow 5\gt b\gt 0 \Rightarrow -5\lt -b\lt 0 \Rightarrow 1\lt 6-b\lt 6\\ P(5,a)在Q(b,7)的下邊\Rightarrow 7\gt a \Rightarrow 7-10\gt a-10 \Rightarrow -3\gt a-10} \\\Rightarrow \cases{6-b \gt 0\\ a-10\lt 0} \Rightarrow (6-b,7-10)=(正,負)\Rightarrow 第四象限，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$(-\sqrt 8)^3+(-\sqrt 4)^4 =(-2\sqrt 2)^3 +(-2)^4 =-16\sqrt 2+16 =16-16\sqrt 2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{x^2-4x+3 =(x-1)(x-3)\\ x^2+2x-3=(x+3)(x-1)} \Rightarrow 公因式為x-1=x-c \Rightarrow c=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$圓內接直角\triangle ABD \Rightarrow \overline{BD}為直徑 \Rightarrow \overline{BD}= 2\times 10=20\\ \Rightarrow \overline{AB}^2= \overline{BD}^2-\overline{AD}^2 =20^2-12^2=256 \Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{256}=16\\ \Rightarrow 梯形面積= (\overline{AD}+\overline{BC})\times \overline{AB}\div 2= (12+35)\times 16\div 2=47\times 8=376， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$早上7點至下午3點，共播放音樂8小時，相當於用掉了{8\over 36}={2\over 9}電量，還剩下1-{2\over 9}={7\over 9}的電量\\，可以玩遊戲6\times {7\over 9}={14\over 3}=4{2\over 3} =4小時又40分(60\times {2\over 3}=40)；\\下午3點再加上4小時又40分=晚上7點40分，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$\cases{\triangle BCD面積是ABCD的一半\\ \triangle BCD面積是BEFD的一半} \qquad \quad \Rightarrow ABCD面積=BEFD面積；\\\cases{\triangle DEF面積是BEFD的一半\\ \triangle DEF面積是EGHD的一半} \qquad \quad\Rightarrow BEFD面積=EGHD面積；\\因此三個平行四邊形面積相等，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$假設小明買了a個麵包，花費15a元；若多買一個麵包就可以打九折\\，也就是花費(a+1)\times 15\times 0.9={27\over 2}(a+1)元；\\兩者相差45元，即15a-{27\over 2}(a+1)=45 \Rightarrow 30a-27(a+1)=90 \Rightarrow 3a=117 \\\Rightarrow a=39，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$假設\cases{圓柱體底面半徑為r \\乙的高為h\\ 甲的高為9h}\Rightarrow \cases{底面圓周長=2\pi r\\ 底面圓面積=r^2\pi} \Rightarrow \cases{\cases{S_1=2r^2\pi(2個圓底) +2\pi r\times 9h\\ S_2=2r^2\pi(2個圓底) +2\pi r\times h} \\ \cases{V_1=r^2\pi \times 9h\\ V_2=r^2\pi \times h}}\\ \Rightarrow \cases{9S_2 \gt S_1\\ 9V_2=V_1}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

A

$$\overline{MN}為摺線\Rightarrow \angle AC'N=\angle C=80^\circ；又\angle AC'N=\angle B+\angle C'NB \Rightarrow 80^\circ=70^\circ +\angle C'NB\\ \Rightarrow \angle C'NB=80^\circ-70^\circ=10^\circ；\\\overline{MN}為摺線\Rightarrow \angle MNC'=\angle MNC = a \Rightarrow \angle C'NB+2a=180^\circ \Rightarrow 2a=180^\circ-10^\circ=170^\circ \\ \Rightarrow a=170^\circ \div 2=85^\circ \Rightarrow \angle MNB = a+10^\circ = 95^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$假設甲、乙、丙三箱的球數都是a，依題意\cases{甲箱紅球數=a/4\\ 乙箱紅球數=0\\ 丙箱紅球數=7a/12}，\\全部倒在甲箱內共有紅球{1\over 4}a +{7\over 12}a ={10\over 12}a\\ 在總球數3a中，取到{10\over 12}a的機率為{{10\over 12}a\over 3a} ={5\over 18}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$\overline{AB}=\overline{AC} \Rightarrow \overline{AO}為\angle A的角平分線，即\angle OAC=\angle OAB= 70^\circ\div 2=35^\circ\\ 又O為外心 \Rightarrow \overline{OA}=\overline{OC} \Rightarrow \angle OCA=\angle OAC=35^\circ \cdots(1)\\ \triangle OCP為正三角形\Rightarrow \angle POC=60^\circ \cdots(2)\\由(1)及(2)可得 \angle ODC= 180^\circ-60^\circ -35^\circ =85^\circ \Rightarrow \angle ADP=\angle ODC=85^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$只考慮十位與個位數字\Rightarrow (03)^2+(05)^2 +(07)^2=9+25+ 49=83 \Rightarrow 十位數字=8\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$|c-1|-|a-1|=|a-c| \Rightarrow |c-1| = |a-1|+|a-c| \Rightarrow  \overline{BC}= \overline{BA} +\overline{AC}\\ \Rightarrow A在B、C之間\Rightarrow 三點相對位置為CAB或BAC，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{a=(-3)^{13} -(-3)^{14} = -3^{13}-3^{14} =-3^{13}(1+3) =-4\times 3^{13} \lt 0\\ b=(-0.6)^{12}-(-0.6)^{14} =0.6^{12}-0.6^{14} =0.6^{12}(1-0.6^2) =0.64\times 0.6^{12} \lt 1\\ c=(-1.5)^{11}-(-1.5)^{13} =-1.5^{11}+1.5^{13} =1.5^{11}(-1 +1.5^2) =1.25\times 1.5^{11} \gt 1} \\ \Rightarrow \cases{a\lt 0\\ 0\lt b\lt 1 \\c\gt 1} \Rightarrow c\gt b\gt a，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$2x^3-ax^2-5x+5 = (2x^2+ax-1)(x-b)+3 = 2x^3+(a-2b)x^2-(ab+1)x+b+3\\ \Rightarrow \cases{a-2b=-a\\ ab+1=5\\ b+3=5} \Rightarrow \cases{b=2\\ a=b=2} \Rightarrow a+b=4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$1,2,3,4,6,8,12,16,24 的最小公倍數為48 =2^4\times 3\Rightarrow a=48\times k,k為整數\\而720=48\times 15，因此假設k與15的最大公因數為s，則720與a的最大公因數就是48s \\ 若 \cases{s=3 \Rightarrow 48\times 3就是a的因數\Rightarrow 9是a的因數，但9不在小於25因數之中 \\ s=5 \Rightarrow 5是a的因數，但5不在小於25因數之中 }\\\Rightarrow s=1 (s\ne 3且s\ne 5,所以s\ne 15)\Rightarrow 48就是最大公因數 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$上圖兩著色三角形相以\Rightarrow {0.5\over 5} ={a\over 10} \Rightarrow a=1\Rightarrow 甲剩油比乙多1公升，故選\bbox[red,2pt]{(A)}\\其實兩車行駛5公里油耗相差0.5公里，在行駛10公里後兩車油量相等\\，再行駛10公里(已行駛20公里)，兩車油耗相差0.5\times 2=1$$

解答：

$$\cases{\overline{BC}=\overline{AC}\\ \overline{AD}=\overline{BE}\\\overline{CD}=\overline{CE}} \Rightarrow \triangle ACD \cong \triangle BCE (SSS) \Rightarrow \cases{\angle A=\angle B=b\\ \angle D=\angle E=c \\ \angle ACD=\angle BCE \Rightarrow \angle BCA=\angle ECD=a\\ \angle BPD=d} \\ \cases{\angle ACE=55^\circ \\ \angle BCD=155^\circ } \Rightarrow 2a+55^\circ = 155^\circ  \Rightarrow a=50^\circ\\又\triangle ACD內角和=a+b+c+55^\circ=180^\circ \Rightarrow a+b+c=125^\circ\\ 四邊形BCDP內角和= 2a+55^\circ +b+c+d =a+55^\circ +(a+b+c)+d = 360^\circ \\ \Rightarrow 50^\circ +55^\circ +125^\circ +d=360^\circ \Rightarrow d=130^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$4x^2+12x-1147=(2x-31)(2x+37)=0 \Rightarrow \cases{a=31/2\\ b=-37/2} \\\Rightarrow 3a+b={93-37\over 2} ={56\over 2}=28，故選\bbox[red,2pt]{(B)}\\如果無法計算出1147=31\times 37，只能用各選項來試算。由於已知\cases{a+b=-12/4=-3\\ ab=-1147/4}\\例: ​(A)\cases{3a+b=22\\ a+b=-3} \Rightarrow \cases{a=25/2\\ b=-31/2} \Rightarrow ab\ne -1147/4 \Rightarrow 3a+b\ne 22$$

解答：

$$在直角\triangle ADC中，由於\cases{\overline{AD}=4 \\\overline{DC}=3 } \Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{4^2+3^2} =5 =\overline{BC} \Rightarrow \overline{BD}= \overline{BC} -\overline{DC}=5-3=2\\ \cases{直角\triangle FDB: \overline{FB}^2= \overline{BD}^2+\overline{FD}^2 =4+\overline{FD}^2\\ 直角\triangle FCD: \overline{FC}^2= \overline{CD}^2+\overline{FD}^2 =9+\overline{FD}^2} \Rightarrow \overline{FC} \gt \overline{FB} \Rightarrow \angle FBD \gt \angle FCD，故選\bbox[red,2pt]{(A)}\\ 另外F是等腰\triangle CAB的垂心，即\overline{CG}\bot \overline{AB} \Rightarrow \cases{\angle A=\angle B\\ \angle CGA=\angle CGB=90^\circ} \Rightarrow \angle FCD=\angle FCE$$

解答：$$\cases{甲數列首項a，等差d\\ 乙數列首項1，等差d} \Rightarrow \cases{甲數列前6項之和= 6a+15d\\ 乙數列前6項之和=6+15d} \Rightarrow (6a+15d)-(6+15d)={3\over 2} \\ \Rightarrow 6a={15\over 2} \Rightarrow a={15\over 12}={5\over 4}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{衣服x元打4折變為 0.4x元\\褲子 y元打6折變為 0.6y元} \Rightarrow 兩者合買再省100元，實際付出0.4x+0.6y-100元\\原來要付出x+y元，因此少付(x+y)-(0.4x+0.6y-100)=500 \\\Rightarrow 0.6x+0.4y+100=500，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$y=ax^2+2ax+1 =a(x+1)^2+1-a \Rightarrow 頂點A(-1,1-a) \Rightarrow A在y軸左邊 \Rightarrow L_4為y軸\\ 圖形經過B(0,1) \Rightarrow y截距為正值\Rightarrow L_2為x軸，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{9.98^2=99.6004\\ 9.99^2=99.8001} \Rightarrow 99.8^2 \lt 99.7 \lt 9.99^2 \Rightarrow 99.8 \lt \sqrt{99.7} \lt 9.99 \\\Rightarrow 99.8 \times 100\lt 100\sqrt{99.7} \lt 9.99 \times 100\Rightarrow 998 \lt \sqrt{997000} \lt 999 \\ \Rightarrow \sqrt{997000} 的整數部分為998 \Rightarrow 個位數字=8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：

$$假設\cases{\triangle BDE面積=a\\ \triangle ABE面積=b \\ \triangle ACD面積=c}；由於\overline{AE}:\overline{ED}=2:1 \Rightarrow  b:a = 2:1 \Rightarrow b=2a；\\又\cases{\angle BAD= \angle DAC\\ \angle ABE=\angle C} \Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle ACD \Rightarrow b:c = \overline{AE}^2: \overline{AD}^2 =2^2:3^2=4:9 \\\Rightarrow c={9\over 4}b ={9\over 4}\times 2a={9\over 2}a \Rightarrow {\triangle BDE\over \triangle ABC} ={a \over a+b+c} = {a \over a+2a+{9\over 2}a} ={a\over {15\over 2}a} ={ 2\over 15}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$由於\angle AOB+\angle BOC=180^\circ，再加上\overset{\Large{\frown}}{BC}= 2\overset{\Large{\frown}}{AB} \Rightarrow \angle BOC= 2\angle AOB \\，因此可得 \cases{\angle AOB =60^\circ \\ \angle BOC=120^\circ} \\ 75\pi = r\theta = 2\theta  \Rightarrow \theta ={75\over 2}\pi =2\pi \times 18 +{3\over 2}\pi \Rightarrow 圓O轉了18圈又270 度 \\由於270^\circ \gt \angle AOB+\angle BOC+\angle COD， 因此與地面相切的位置位於\overset{\Large{\frown}}{DA}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$六人得分由小到大為:a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\\ 由盒狀圖可知\cases{a_1=120\\ a_6=210}，另\cases{6\times 25\%=1.5 \Rightarrow Q_1=a_2=145\\ 6\times 75\%=4.5 \Rightarrow Q_3=a_5=195}，\\再加上中位數=175= (a_3+a_4)\div 2 \Rightarrow a_3+a_4=350 \\ 小蓁得分= (a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ a_5+a_6)\div 6 =(120+145 +350+195+210)\div 6\\= 1020\div 6=170 (也就是a_3,a_4=350-a_3=180)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$令\overline{AP} =a \Rightarrow \overline{OA}=2\overline{AP}=2a \Rightarrow \cases{\overline{OB}=\overline{OA}=2a \\ \overline{PB}=\overline{PO}=2a+a=3a} \\ \Rightarrow \cases{\overline{OB}^2+\overline{BP}^2=4a^2+ 9a^2=13a^2 \\ \overline{OP}^2=9a^2} \Rightarrow \overline{OB}^2+\overline{BP}^2\ne \overline{OP}^2 \Rightarrow \angle OBP\ne 90^\circ\\ \Rightarrow B不是切點 \Rightarrow 甲的作法錯誤$$

$$B在\overline{OP}的中垂線上\Rightarrow \overline{BP} =\overline{OB}=2a \Rightarrow \cases{\overline{OB}^2+\overline{BP}^2=4a^2+ 4a^2=8a^2 \\ \overline{OP}^2=9a^2}\\ \Rightarrow \overline{OB}^2+\overline{BP}^2\ne \overline{OP}^2 \Rightarrow \angle OBP\ne 90^\circ \Rightarrow B不是切點 \Rightarrow 乙的作法錯誤 \\因此兩人的作法都是錯的，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

第二部分：非選擇題(1~2題)

解答：$$假設\cases{1盒有a顆巧克力\\工作人員有b位}；\\依題意:5盒巧克力每人分15顆，會剩下80顆，即5a=15b+80 \Rightarrow a=3b+16 \\ 少訂2盒(即訂了3盒)每人12顆，只有小佳拿不到12顆，但至少拿3顆以上\\，即3\le 3a-12(b-1)\lt 12; 將a=3b+16 代入不等式，可得3 \le 9b+48-12b+12 \lt 12 \\\Rightarrow 3\le -3b+60 \lt 12 \Rightarrow -57 \le -3b \lt -48 \Rightarrow 16\lt b\le 19 \Rightarrow b=17,18,19，\\即工作人員人數可能為\bbox[red,2pt]{17,18,19}$$

解答：

$$假設\cases{\angle OBA=a\\ \angle OBC=b}，由於\cases{O、P對稱於\overline{AB} \Rightarrow \cases{\angle ABP= \angle OBA=a \\ \overline{BP}= \overline{BO}=3{1\over 2}} \\O、R對稱於\overline{BC} \Rightarrow \cases{\angle CBR= \angle OBC=b \\ \overline{BR}= \overline{BO}=3{1\over 2}}} \\ \Rightarrow \overline{PB}+\overline{BR}=3{1\over 2}+3{1\over 2} =7;\\因此若P、B、R在一直線上(即2a+2b=180^\circ\Rightarrow a+b=90^\circ \Rightarrow \angle ABC=90^\circ)\\，則\overline{PR}=\overline{PB} +\overline{BR}=7，否則\overline{PB} +\overline{BR} \gt \overline{PR}(三角形兩邊之和大於第三邊)；\\結論:\bbox[red,2pt]{\angle ABC=90^\circ 時，\overline{PR}=7；其他情形皆是\overline{PR}\lt 7，\overline{PR}不可能大於7}；$$

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解題僅供參考，其他升高中試題及詳解