朱式幸福: 90年第2次國中基測數學詳解

90年第2次國民中學基本學力測驗-數學詳解

試題來源:師大心測中心

解：

{\begin{matrix} 4 x + 3 y = 10 \dots (1) 3 x - y = 1 \dots (2) \end{matrix} 3 \times 式 (2) - --- \to {\begin{matrix} 4 x + 3 y = 10 \dots (1) 9 x - 3 y = 3 \dots (3) \end{matrix} 式 (1) + 式 (3) - ----- \to 13 x = 13 \Rightarrow x = 1 x = 1 代 回 式 (2) \Rightarrow 3 - y = 1 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x + y = 1 + 2 = 3, 故 選 (A) 。

$\begin{cases}4x+3y=10\cdots(1)\\3x-y=1\cdots(2)\end{cases}\xrightarrow{3\times式(2)} \begin{cases}4x+3y=10\cdots(1)\\9x-3y=3\cdots(3)\end{cases}\xrightarrow{式(1)+式(3)}13x=13\Rightarrow x=1\\ x=1代回式(2)\Rightarrow 3-y=1\Rightarrow y=2\Rightarrow x+y=1+2=3,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$

解：

(2 x - b)^{2} = 4 x^{2} - 4 b + b^{2} = 4 x^{2} - a x + 9 \Rightarrow {\begin{matrix} 4 b = a b^{2} = 9 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} 4 b = a b = \pm 3 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} b = 3 \Rightarrow a = 12 b = - 3 \Rightarrow a = - 12 \end{matrix} 由 題 意 知 a > 0, 因 此 {\begin{matrix} a = 12 b = 3 \end{matrix} \Rightarrow 2 a - b = 24 - 3 = 21, 故 選 (C) .

$(2x-b)^2=4x^2-4b+b^2=4x^2-ax+9\Rightarrow\begin{cases}4b=a\\b^2=9\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}4b=a\\b=\pm 3\end{cases}\\ \Rightarrow\begin{cases}b=3\Rightarrow a=12\\b=-3\Rightarrow a=-12\end{cases}由題意知a>0,因此 \begin{cases}a=12\\b=3\end{cases}\Rightarrow 2a-b=24-3=21,故選\bbox[red,2pt]{(C)}.$

解：

4 \div {(- \frac{2}{3})}^{3} \times (- 2) + (- 4^{2}) = 4 \div (- \frac{8}{27}) \times (- 2) + (- 16) = 4 \times \frac{- 27}{8} \times (- 2) - 16 = \frac{- 27}{2} \times (- 2) - 16 = 27 - 16 = 11, 故 選 (C)

$4\div\left(-\frac{2}{3}\right)^3\times(-2)+(-4^2)= 4\div\left(-\frac{8}{27}\right)\times(-2)+(-16) =4\times\frac{-27}{8} \times(-2)-16\\ =\frac{-27}{2}\times(-2)-16=27-16=11,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$

解：

ABCD為矩形、△BCD為直角、△ODC為等腰，沒有等腰直角三角形，故選(D)。

解：

∠C=180-70-40=70°，如上圖，△ABC為等腰。

AB=BC>AC，故選(B)。

解：

(C)的公差為0、公比為1，既是等差數列也是等比數列，故選(C)。

解：

a^{2} = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13 \Rightarrow a = \sqrt{13} < \sqrt{16} = 4 又 {3.5}^{2} = 12.25 \Rightarrow 3.5 < a < 4, 故 選 (B)

$a^2=2^2+3^2=4+9=13\Rightarrow a=\sqrt{13}<\sqrt{16}=4\\ 又3.5^2=12.25\Rightarrow 3.5<a<4,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$

解：

6公升的山泉水需要買2個桶子，

330 = 水桶錢+水錢=60×2+ 6×a⇒a=35，故選(A)。

解：

圖(三)為等腰，∠Q=∠R=75，∠P=30

(B)也是等腰，且三內角也是30、75、75，故選(B)。

解：

兩種羽毛球共10打⇒x+y=10

比賽用球買x打，需300x元、練習用球買y打，需250y元，共需300x+250y元；由於價目看反，需要300y+250x元，比原價多100元，即300y+250x = 300x+250y+100，故選(C)。

解：

大 姊, 二 姊, 小 妹 的 零 用 錢 分 別 為 a, b 及 c \Rightarrow ⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} a + b + c = 7800 2 a = 3 b 3 b = 4 c \end{matrix} \Rightarrow ⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} a + b + c = 7800 a = 3 b / 2 c = 3 b / 4 \end{matrix} 將 {\begin{matrix} a = 3 b / 2 c = 3 b / 4 \end{matrix} 代 入 a + b + c = 7800 \Rightarrow 3 b / 2 + b + 3 b / 4 = 7800 \Rightarrow \frac{13}{4} b = 7800 \Rightarrow b = \frac{7800 \times 4}{13} = 2400 \Rightarrow a = \frac{3}{2} \times 2400 = 3600, 故 選 (C)

$大姊,二姊,小妹的零用錢分別為a,b及c\Rightarrow \begin{cases}a+b+c=7800\\2a=3b\\3b=4c\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a+b+c=7800\\a=3b/2\\c=3b/4\end{cases}\\將\begin{cases}a=3b/2\\c=3b/4\end{cases}代入a+b+c=7800\Rightarrow 3b/2+ b+3b/4=7800\Rightarrow \frac{13}{4}b=7800\\ \Rightarrow b=\frac{7800\times 4}{13}=2400\Rightarrow a=\frac{3}{2}\times 2400=3600,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$

解：

玉山坐標（121 , 23.5）向西飛行0.5個單位→(121-0.5 , 23.5)，再向北飛行1個單位→(121-0.5 , 23.5+1)=(120.5, 24.5)，故選(B)。

解：

乙：y＝x²＋2x－1=(x+1)²－2⇒甲向左平移1、再向下平移2，就與乙重疊。

丙=甲×(-1)，即甲、丙對稱x軸，需經由翻轉，而非平移，故選(A)。

解：

假 設 ∠ A = a ， 由 3 ∠ C = 2 ∠ A 可 得 ∠ C = \frac{2}{3} a ； 又 ∠ B 的 外 角 = 120^{\circ} = ∠ A + ∠ C = a + \frac{2}{3} a = \frac{5}{3} a \Rightarrow a = \frac{3}{5} \times 120^{\circ} = 72^{\circ} ， 故 選 (D)

$假設\angle A=a，由3\angle C=2\angle A可得\angle C={2\over 3}a；\\又\angle B的外角=120^\circ =\angle A+\angle C= a+{2\over 3}a={5\over 3}a \Rightarrow a={3\over 5}\times 120^\circ =72^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$

解：

c=2×3²×5²×7、e＝3×5²×7、f=5×5×7

只有(A)正確，故選(A)。

解：

第1個圖形需要3根吸管

第2個圖形需要5根吸管

第3個圖形需要7根吸管

...

第n個圖形需要1+2n根吸管

當n=10時，需要21根吸管，故選(B)。

解：

矩形較長的邊長為3a+2b，故選(A)。

解：

B、C皆為切點，所以∠1=∠2=90，因此∠1+∠2=180，故選(A)。

解：

紙的長度比竹筷的兩倍長少1公分⇒長=2x-1

寬比竹筷長多2公分⇒寬=x+2

紙的面積為3000平方公分⇒(2x-1)(x+2)=3000⇒2x²+3x-2＝3000⇒2x²+3x-3002，故選(D)。

解：

只有(C)不會重複遮蓋，故選(C)。

解：

¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ P Q = 16 = ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ P R +

$\overline{PQ}=16=\overline{PR}+$ 直徑

\Rightarrow ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ P R = 16 - 2 \times 6 = 4

$\Rightarrow \overline{PR}=16-2\times 6=4$

在直角△OAP中,

{¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ O P}^{2} = {¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ O A}^{2} + {¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A P}^{2} \Rightarrow 10^{2} = 6^{2} + {¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A P}^{2} \Rightarrow ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A P = 8

${\overline{OP}}^2= {\overline{OA}}^2 + {\overline{AP}}^2\Rightarrow 10^2=6^2+{\overline{AP}}^2 \Rightarrow \overline{AP}=8$
直線與圓心距離

= ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A P - ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ P R = 8 - 4 = 4 <

$=\overline{AP}-\overline{PR} = 8-4 = 4 <$ 半徑⇒有兩個交點，故選

(A)

$\bbox[red,2pt]{(A)}$ 。

解：將A(0,1)代入函數可得c=1，即y=-(1/3)x²+2x+1 = (-1/3)(x-3)²+4

⇒頂點坐標為(3, 4)，故選(B)。

解：

在 直 角 △ A B C 中 \Rightarrow {¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ B C}^{2} = {¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A B}^{2} + {¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A C}^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 \Rightarrow ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ B C = 5 又 △ A B C 面 積 = ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A B \times ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A C \div 2 = ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ B C \times ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A E \div 2 \Rightarrow 4 \times 3 = ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A E \times 5 \Rightarrow ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A E = 12 / 5 灰 色 面 積 = 四 分 之 一 圓 面 積 = {(\frac{12}{5})}^{2} π \div 4 = \frac{36}{25} π, 故 選 (D)

$在直角\triangle ABC中\Rightarrow \overline{BC}^2= \overline{AB}^2+\overline{AC}^2 = 4^2+3^2=25 \Rightarrow \overline{BC}=5\\ 又\triangle ABC面積=\overline{AB}\times\overline{AC}\div 2 = \overline{BC}\times\overline{AE}\div 2 \Rightarrow 4\times 3= \overline{AE}\times 5 \Rightarrow \overline{AE}=12/5\\ 灰色面積=四分之一圓面積= \left(\frac{12}{5}\right)^2\pi\div 4=\frac{36}{25}\pi,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$

解：

任一頂點可作出四條對角線，如上圖，a=4，5個三角形，b=5；內角和=5×180=900=c，故選(B)。

解：

A=(3, 0), B=(0, 4)
直角△OAB的三邊分別為3, 4, 5(斜邊)
△OAB的內切圓圓心就是內心，

△ A B C = △ O I A + △ O I B + △ A I B

$\triangle ABC=\triangle OIA+\triangle OIB+\triangle AIB$

\Rightarrow ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ O A \times ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ O B = (¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ O A + ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ O B + ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A B) \times r \Rightarrow 12 = 12 r \Rightarrow r = 1

$\Rightarrow \overline{OA}\times\overline{OB}= (\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{AB})\times r \Rightarrow 12=12r\Rightarrow r=1$
△AIB的面積=

¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A B \times r \div 2 = 5 \times 1 \div 2 = 5 / 2

$\overline{AB}\times r\div 2 = 5\times 1\div 2 = 5/2$ ，故選

(B)

$\bbox[red,2pt]{(B)}$ 。

解：

(A) ◯ : ¯ ¯¯¯¯¯¯¯ ¯ D F ∥ ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A B \Rightarrow {\begin{matrix} ∠ F D G = ∠ G B A ∠ D F G = ∠ G A B \end{matrix} (內 錯 角 相 等) \Rightarrow △ A B G \sim F D G (B) ◯ : ¯ ¯¯¯¯¯¯¯ ¯ A D ∥ ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ B E \Rightarrow {\begin{matrix} ∠ A D B = ∠ D B E ∠ D A E = ∠ A E B \end{matrix} (內 錯 角 相 等) \Rightarrow △ A G D \sim E G B (C) ◯ : {\begin{matrix} ¯ ¯¯¯¯¯¯¯ ¯ A D ∥ ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ B E \Rightarrow ∠ D A E = ∠ A E B ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ A B ∥ ¯ ¯¯¯¯¯¯¯ ¯ C D \Rightarrow ∠ E F C = ∠ E A B ， 又 ∠ A F D = ∠ E F C \Rightarrow ∠ A F D = ∠ E A B \end{matrix} \Rightarrow △ A F D \sim △ E A B ， 故 選 (D)

$(A)\bigcirc: \overline{DF} \parallel \overline{AB} \Rightarrow \cases{\angle FDG =\angle GBA\\ \angle DFG =\angle GAB} (內錯角相等)\Rightarrow \triangle ABG\sim FDG \\(B)\bigcirc: \overline{AD} \parallel \overline{BE} \Rightarrow \cases{\angle ADB =\angle DBE\\ \angle DAE =\angle AEB} (內錯角相等)\Rightarrow \triangle AGD\sim EGB\\ (C)\bigcirc: \cases{\overline{AD}\parallel \overline{BE} \Rightarrow \angle DAE=\angle AEB\\ \overline{AB}\parallel \overline{CD} \Rightarrow \angle EFC=\angle EAB，又\angle AFD=\angle EFC \Rightarrow \angle AFD=\angle EAB}\\ \qquad \Rightarrow \triangle AFD\sim \triangle EAB\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$