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2017年9月11日 星期一

南二中105學年下學期高三自然組數學期末考詳解

試題來源: exam.naer.edu.tw

解:


x越大則f(x)越大,所以a>0;
圖形與Y軸交於正值,即f(0)=d>0
圖形有兩極值,代表f '(x)有兩實根,且一正一負(兩根之積<0),又正根離Y軸的距離大於負根離Y軸的距離(即兩根之和>0)
f(x)=3ax2+2bx+c有兩實根,即(2b)212ac>0b23ac>0
兩根之積<0 c3a<0c<0
兩根之和>0 b3a>0b<0
因此:a>, b<0, c<0, d>0,b23ac>0, 故選(B)(C)




解: f(x)=06x2+6x36=0(x+3)(x2)=0因此圖形在x=-3, x=2有極值。由f(2)=16+12-72+25=-19, f(-3)=-54+27+108+25=106,可知圖形如下


 故選(B)(C)(D)




解: {20(ax2+bx8)dx=1243(ax2+bx8)dx=64{[a3x3+b2x28x]|20=12(8a3+2b16)=12(64a3+8b32)(9a+9b224)=64{4a+3b=4274a+21b=432a=3,b=10因此(a,b)=(3,10)




解: 42(x3+2x+2)dx=[14x4+x2+2x]|42=(64+16+8)(4+4+4)=8812=76,答:(76)




解: |x+1|={x+1x1x1x123(|x+1|+x)dx=13(x1+x)dx+21(x+1+x)dx=13(1)dx+21(2x+1)dx=(2)+(6)=4,答:(4)




解: f(x)=x1(t1)(t24t+5)dt=x1(t1)(t5)(t+1)dt由上式可知x=2,5,-1時,f(x)有極值。又f(x)=x1(t1)[(t1)2+1]dt=x1(t1)3+(t+1)dt=[14(t1)4+12(t1)2]|x1=14(x1)4+12(x1)2f(2)<f(1)<f(5)x=2答:x=(2)




解: 11(x3+x+1)3(3x2+1)dx=[14(x3+x+1)4]|11=[814][14]=20(20)




解:
f(x)=x(x+2)(x-2),因此f(x)與X軸交於(0,0),(2,0)及(-2,0),可得圖形如下:

f(-1)至f(3)之間與x軸圍成的面積為31|f(x)|dx=01f(x)dx+20f(x)dx+32f(x)dx=[14x42x2]|01+[14x4+2x2]|20+[14x42x2]|32=74+4+254=12

答:(12)




解: f(x)=3x24x+1=(3x1)(x1),因此x=1,x=1/3有極值。
f(1)=1-2+1-1=-1,  f(1/3)=1/27-2/9+1/3-1=-23/27,兩者相加=-50/27
答:(50/27)




解: f(x)=3x2+2ax+b=3(x3)(x1)=3x212x+9a=6,b=9f(x)=x36x2+9x+cx=32f(3)=2754+27+c=2c=2
答:\bbox[red,2pt]{(5)}




解: 令\int _{ 1 }^{ 2 }{ f\left( x \right)  } dx=k\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 }{ \left[ 12x^{ 3 }-21{ x }^{ 2 }+2kx-20 \right]  } dx=k\\ \Rightarrow \left. \left[ 3x^{ 4 }-7{ x }^{ 3 }+kx^{ 2 }-20x \right]  \right| ^{ 2 }_{ 1 }=k\Rightarrow \left[ 48-56+4k-40 \right] -\left[ 3-7+k-20 \right] =k\\ \Rightarrow \left[ 4k-48 \right] -\left[ k-24 \right] =k\Rightarrow k=12\\ \Rightarrow f\left( x \right) =12x^{ 3 }-21{ x }^{ 2 }+24x-20\Rightarrow f\left( 1 \right) =\bbox[red,2pt]{-5}




解:
先求兩拋物線交點,即6x-x^2=x^2-2x\Rightarrow  2x(x-4)=0\Rightarrow x=0,x=4有交點。


兩拋物線所圍面積=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left[ \left( 6x-x^{ 2 } \right) -\left( x^{ 2 }-2x \right)  \right]  } dx=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left[ -2x^{ 2 }+8x \right]  } dx=\left. \left[ \frac { -2 }{ 3 } x^{ 3 }+4x^{ 2 } \right]  \right| ^{ 4 }_{ 0 }\\ =\frac { -128 }{ 3 } +64=\frac { 64 }{ 3 }
答:\bbox[red,2pt]{(\frac{64}{3})}




解:
上圖斜線區域與下圖是一樣的,目前水量相當於下圖斜線區域繞X軸所得之體積
斜線區域繞X軸所得之體積=\int _{ a/2 }^{ a }{ { \pi y }^{ 2 } } dx=\pi \int _{ a/2 }^{ a }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } dx=\pi \left[ { a }^{ 2 }\times \frac { a }{ 2 }  \right] -\pi \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right]  \right| ^{ a }_{ a/2 }\\ =\frac { { \pi a }^{ 3 } }{ 2 } -\frac { 7{ \pi a }^{ 3 } }{ 24 } =\frac { 5{ \pi a }^{ 3 } }{ 24 } 流出水量=半球體積減去上述體積,即\frac { 4{ \pi a }^{ 3 } }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 5{ \pi a }^{ 3 } }{ 24 } =\left( \frac { 2 }{ 3 } -\frac { 5 }{ 24 }  \right) { \pi a }^{ 3 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 11 }{ 24 } { \pi a^3 }}





解: 令g\left( t \right) =2t^{ 100 }+3t^{ 10 }-1\Rightarrow \lim _{ x\rightarrow -1 }{ \frac { F(x) }{ x+1 }  } =g\left( -1 \right) =2+3-1=4答:\bbox[red,2pt]{(4)}




解:
上圖每一矩形的寬皆為1/n,高分別為1^2, (1+1/n)^2, (1+2/n)^2, ..., [1+(n-1)/n]^2
下和=上圖所有矩形面積的和=\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ { \left( 1+\frac { k }{ n }  \right)  }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ { \left( 1+\frac { 2k }{ n } +\frac { { k }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } }  \right)  } } =\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ 1 } +\frac { 2 }{ n^{ 2 } } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ k } +\frac { 1 }{ n^{ 3 } } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ { k }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ n } \times n+\frac { 2 }{ n^{ 2 } } \times \frac { (n-1)n }{ 2 } +\frac { 1 }{ n^{ 3 } } \times \frac { (n-1)n(2n-1) }{ 6 } =1+\frac { n-1 }{ n } +\frac { (n-1)(2n-1) }{ 6{ n }^{ 2 } } \\ =1+1-\frac { 1 }{ n } +\frac { 2{ n }^{ 2 }-3n+1 }{ 6{ n }^{ 2 } } =2-\frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2n } +\frac { 1 }{ 6{ n }^{ 2 } } =\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 3 }{ 2n } +\frac { 1 }{ 6{ n }^{ 2 } } \\ \Rightarrow a=\frac { 7 }{ 3 } ,b=-\frac { 3 }{ 2 } ,c=\frac { 1 }{ 6 }

上圖每一矩形的寬皆為1/n,高分別為(1+1/n)^2, (1+2/n)^2, ..., [1+n/n]^2
上和=上圖所有矩形面積的和=\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( 1+\frac { k }{ n }  \right)  }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( 1+\frac { 2k }{ n } +\frac { { k }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } }  \right)  } } =\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ 1 } +\frac { 2 }{ n^{ 2 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ k } +\frac { 1 }{ n^{ 3 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ n } \times n+\frac { 2 }{ n^{ 2 } } \times \frac { (n+1)n }{ 2 } +\frac { 1 }{ n^{ 3 } } \times \frac { (n+1)n(2n+1) }{ 6 } =1+\frac { n+1 }{ n } +\frac { (n+1)(2n+1) }{ 6{ n }^{ 2 } } \\ =1+1+\frac { 1 }{ n } +\frac { 2{ n }^{ 2 }+3n+1 }{ 6{ n }^{ 2 } } =2+\frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2n } +\frac { 1 }{ 6{ n }^{ 2 } } =\frac { 7 }{ 3 } +\frac { 3 }{ 2n } +\frac { 1 }{ 6{ n }^{ 2 } } \\ \Rightarrow d=\frac { 7 }{ 3 } ,e=\frac { 3 }{ 2 } ,f=\frac { 1 }{ 6 } 因此a+b+c+d+e+f = 2(\frac{7}{3}+\frac{1}{6})=\bbox[red,2pt]{5}





解: 令g(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+a,由題意可知f(x)=g'(x)=x^2-4。因此\int _{ 2 }^{ x }{ f\left( t \right)  } dt=\int _{ 2 }^{ x }{ \left[ t^{ 2 }-4 \right]  } dt=\left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } t^{ 3 }-4t \right]  \right| ^{ x }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-4x+\frac { 16 }{ 3 } \Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{\frac { 16 }{ 3 }}
 令f(x)=0,則x^2-4=0,函數與X軸交於A=(2,0)及B(-2,0)兩點,圖形如下

該圖形繞X軸所圍體積為 \int _{ -2 }^{ 2 }{ \left[ f\left( x \right)  \right] ^{ 2 }\pi  } dx=\int _{ -2 }^{ 2 }{ \left[ x^{ 2 }-4 \right] ^{ 2 }\pi  } dx=\int _{ -2 }^{ 2 }{ \left[ x^{ 4 }-8x^{ 2 }+16 \right] \pi  } dx=\pi \left. \left[ \frac { 1 }{ 5 } x^{ 5 }-\frac { 8 }{ 3 } x^{ 3 }+16x \right]  \right| ^{ 2 }_{ -2 }\\ =\pi \left[ \frac { 32 }{ 5 } -\frac { 64 }{ 3 } +32 \right] -\pi \left[ -\frac { 32 }{ 5 } +\frac { 64 }{ 3 } -32 \right] =\pi \left[ \frac { 64 }{ 5 } -\frac { 128 }{ 3 } +64 \right] =\bbox[red,2pt]{\frac { 512 }{ 15 } \pi}



解:
把圖形逆時鐘豎起來,就會得到以下圖形(紅線區域為水)



紅色區域可以許多的綠色三角形所組成。以上圖\triangle ABC為例,依題意:\overline{OA}=半徑=4,且\angle CBA=45度
\overline{OB}=x\Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{4^2-x^2} \Rightarrow \triangle ABC= {\overline{AB}}^2\div 2={\sqrt{4^2-x^2}}^2\div 2。因此體積可由下式求得:
\int _{ -4 }^{ 4 }{ \left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sqrt { { 4 }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  }^{ 2 } \right]  } dx=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -4 }^{ 4 }{ \left[ 16-{ x }^{ 2 } \right]  } dx=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -4 }^{ 4 }{ 16 } dx-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -4 }^{ 4 }{ { x }^{ 2 } } dx\\ =64-\frac { 1 }{ 2 } \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right]  \right| ^{ 4 }_{ -4 }=64-\frac { 128 }{ 6 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 128 }{ 3 }}



-- end --

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