106年大學指考數學甲詳解

106學年度指定科目考試試題

數學甲

第壹部分：選擇題（占 76 分 ）
一、單選題

1. 從所有二位正整數中隨機選取一個數，設p是其十位數字小於個位數字的機率。關於p
值的範圍，試選出正確的選項。
(1)$0.22\le p<0.33$    (2) $0.33\le p<0.44$     (3) $0.44\le p<0.55$   (4) $0.55\le p<0.66$    (5) $0.66\le p<0.77$

解：
二位正整數10~99，共有90個，其中滿足十位數字小於個位數字的有
12~19，共8個
23~29，共7個
......
78~79，共2個
89~89，共1個
總共有8+7+6+...+1 = 36個，機率為36/90=0.4，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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2. 設$a=\sqrt[3]{10}$。關於$a^5$ 的範圍，試選出正確的選項。
？

(1) $25\le a^5<30$      (2)  $30\le a^5<35$     (3)  $35\le a^5<40$     (4)  $40\le a^5<45$      (5) $45\le a^5<50$

解：

方法一：

$\log{a^5}=\log{10^\frac{5}{3}=\frac{5}{3}\approx 1.67}$，而$\log{45}=1-\log{2}+2\log{3}$ = 1-0.301+2X0.4771 = 1.6532<1.67，故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

方法二：

$a^5=\sqrt[3]{100000}=5\sqrt[3]{800}$，由於$9^3=729<800<1000=10^3$，所以$5\times 9<a^5<5\times 10\Rightarrow 45<a^5<50$，故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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3. 試問在$0\le x\le 2\pi$的範圍中，$y=3\sin{x}$的函數圖形與$y=2\sin{2x}$的函數圖形有幾個
交點？
(1) 2 個交點    (2) 3 個交點    (3) 4 個交點   (4) 5 個交點  (5) 6 個交點
解：

$3\sin{x}=2\sin{2x}=4\sin{x}\cos{x}$，若$\sin{x}\ne 0 \Rightarrow \cos{x}=\frac{3}{4}$，在$0\le x<2\pi$的範圍中有兩個解；
若$\sin{x}= 0$，在$0\le x\le 2\pi$的範圍中有3個解$x=0,\pi, 2\pi$；
因此共有2+3=5個解，即5個交點，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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4. 已知一實係數三次多項式$f\left( x \right)$在$x=1$有極大值3，且圖形$y=f\left( x \right)$在$(4,f\left( 4 \right))$之切線方程式為$y-f\left( 4 \right)+5(x-4)=0$，試問$\int _{ 1 }^{ 4 }{ f^{ \prime \prime  }\left( x \right) dx }$之值為下列哪一選項？

(1) -5
(2) -3
(3) 0
(4) 3
(5) 5

解：

$f\left( x \right)$在$x=1$有極大值$\Rightarrow f^{ \prime }\left( 1 \right)  =0$

切線方程式為$y-f\left( 4 \right)+5(x-4)=0\Rightarrow$ 切線斜率=-5，即$f^{ \prime }\left( 4 \right)  =-5$

$\int _{ 1 }^{ 4 }{ f^{ \prime \prime }\left( x \right)} dx =f^{ \prime }\left( 4 \right)   -f^{ \prime }\left( 1 \right)  =-5-0=-5$

故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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二、多選題

5. 設$\vec{u}$與$\vec{v}$為兩非零向量，夾角為$120^\circ$。若$\vec{u}$與$\vec{u}+\vec{v}$垂直，試選出正確的選項。
(1)$\vec{u}$的長度是$\vec{v}$的長度2倍
(2)$\vec{v}$與$\vec{u}+\vec{v}$的夾角為$30^\circ$
(3)$\vec{u}$與$\vec{u}-\vec{v}$的夾角為銳角
(4)$\vec{v}$與$\vec{u}-\vec{v}$的夾角為銳角
(5)$\vec{u}+\vec{v}$的長度大於$\vec{u}-\vec{v}$的長度
解：

(1)$\vec{u}$的長度比$\vec{v}$的長度短

(2) $\vec{v}$與$\vec{u}+\vec{v}$的夾角為$120^\circ-90^\circ=30^\circ$

(3) 由上圖可知：$\vec{u}$與$\vec{u}-\vec{v}$的夾角為銳角

(4) $\vec{v}$與$\vec{u}-\vec{v}$的夾角超過$120^\circ$為鈍角

(5) 由上圖可知：$\vec{u}+\vec{v}$的長度小於$\vec{u}-\vec{v}$的長度

故選$\bbox[red,2pt]{(2,3)}$

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6. 已知複數z 滿足$z^n+z^{-n}+2=0$，其中$n$為正整數。將z用極式表示為$r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$，且$r>0$。試選出正確的選項。
(1) $r=1$
(2) $n$不能是偶數
(3) 對給定的$n$，恰有$2n$個不同的複數z 滿足題設

(4) $\theta$可能是$\frac{3\pi}{7}$

(5)  $\theta$可能是$\frac{4\pi}{7}$

解：

(1) $$z^{ n }+z^{ -n }+2=0\Rightarrow z^{ 2n }+1+2z^{ n }=0\Rightarrow { \left( z^{ n }+1 \right)  }^{ 2 }=0\Rightarrow z^{ n }=-1\\ \Rightarrow \left| z^{ n } \right| =\left| -1 \right| \Rightarrow r=1$$
(2) 若$n=2\Rightarrow z^2=-1\Rightarrow z=\pm i$，也就是說$n$可以是偶數
(3) $z^{ n }=-1=\cos { \pi  } +i\sin { \pi  } \Rightarrow z=\cos { \left( \frac { 2k+1 }{ n } \pi  \right)  } +i\sin { \left( \frac { 2k+1 }{ n } \pi  \right) ,k=0,1,\dots ,n-1 }$，因此有$n$個不同的複數z
(4) 若$n=7,k=1$時，$z=\cos { \left( \frac { 3 }{7 } \pi \right) } +i\sin { \left( \frac { 3 }{ 7 } \pi \right)}\Rightarrow \theta=\frac { 3 }{7 } \pi$
(5) 由(3)可知$\theta$不可能是$\frac{4\pi}{7}$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

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7. 設實係數三次多項式$f\left(x\right)$的首項係數為正。已知$y=f\left(x\right)$的圖形和直線$y=g\left(x\right)$在$x=1$相切，且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。

(1) $f\left(1\right)=g\left(1\right)$

(2)  $f'\left(1\right)=g'\left(1\right)$

(3) $f''\left(1\right)=0$

(4) 存在實數$a\ne 1$使得$f'\left(a\right)=g'\left(a\right)$

(5) 存在實數$a\ne 1$使得$f''\left(a\right)=g''\left(a\right)$

解：

(1) 切點即交點，因此$f\left(1\right)=g\left(1\right)$
(2)切線斜率=$f'\left(1\right)=g'\left(1\right)$
(3)令$h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$，兩圖形只有一個交點，所以$h\left(x\right)=0$只有一個解。又$h\left(1\right)=f\left(1\right)-g\left(1\right)=0$，所以$x=1$為$h\left(x\right)=0$的唯一解，也就是$h\left(x\right)=m(x-1)^3\Rightarrow h''\left(1\right)=0 = f''(1)-g''(1)\Rightarrow f''(1)=0\because g''(1)=0$
(4)$h\left(x\right)=m(x-1)^3\Rightarrow f(x)=m(x-1)^3+g(x)$，因此$f'\left(a\right)= g'\left(a\right) \Rightarrow 3m(a-1)^2+g'(a)=g'(a)\Rightarrow a$ 只能為1。
(5)$f''\left(a\right)=g''\left(a\right)\Rightarrow 6m(a-1)+g''(a)=g''(a)\Rightarrow a$ 只能為1。

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,3)}$


$$\bbox[5px,border:2px solid red]{關於(3)的額外補充}\\令h(x)=f(x)-g(x),由\cases{f(1)=g(1)\\ f'(1)=g'(1)} \Rightarrow \cases{h(1)=0\cdots(1) \\ h'(1)=0 \cdots(2)}\\ 由(1)可知x-1是h(x)的因式\Rightarrow h(x)=(x-1)(ax^2+bx+c) \\ \qquad\Rightarrow h'(x)= (ax^2+bx+c)+(x-1)(2ax+b)\\ 由(2)可知x-1也是h'(x)的因式,因此x-1也是ax^2+bx+c的因式 \\\Rightarrow h'(x)=(x-1)(px+r) \Rightarrow h(x)=(x-1)^2(ax+r) \Rightarrow x=1及x={-r\over a}皆為h(x)=0的實數根,\\但f(x)=g(x)只有一個實數根，因此{-r\over a}=1，即h(x)=a(x-1)^3$$

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三、選填題

A. 某高中一年級有忠、孝、仁、愛四班的籃球隊，擬由經抽籤決定的下列賽程進
行單淘汰賽（輸一場即被淘汰）：

假設忠班勝過其他任何一班的機率為$\frac{4}{5}$，孝班勝過其他任何一班的機率為$\frac{1}{5}$，仁、愛兩班的實力相當，勝負機率各為$\frac{1}{2}$。若任一場比賽皆須分出勝負，沒有和局。如果冠軍隊可獲得6000 元獎學金，亞軍隊可獲得4000 元獎學金，則孝班可獲得獎學金的期望值為？元

解：
孝班獲得冠軍的情形：忠孝之戰獲勝且冠軍戰也獲勝，機率為$\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}= \frac{1}{25}$，期望值為$\frac{1}{25}\times 6000=240$元；
孝班獲得亞軍的情形：忠孝之戰獲勝且冠軍戰失敗，機率為$\frac{1}{5}\times\frac{4}{5}= \frac{4}{25}$，期望值為$\frac{4}{25}\times 4000=640$元；

因此孝班獲得獎學金的期望值為240+640=880元。

答：$\bbox[red,2pt]{(880)}$

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B. 坐標平面上有三條直線$L、L_1、L_2$，其中$L$為水平線，$L_1、L_2$的斜率分別為$\frac{3}{4}、-\frac{4}{3}$。已知$L$被$L_1、L_2$所截出的線段長為30，則$L、L_1、L_2$所決定的三角形的面積為？

解：

假設三角形的高為$a$，如上圖。
由兩直線的斜率可知$\frac{4a}{3}+\frac{3a}{4}=30 \Rightarrow a=\frac{72}{5}\Rightarrow$ 面積=$15a=216$

答：$\bbox[red,2pt]{(216)}$

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C. 坐標平面上，x 坐標與y 坐標均為整數的點稱為格子點。令n 為正整數，$T_n$為平面上以直線$y=\frac{-1}{2n}x+3$，以及$x$軸、$y$軸所圍成的三角區域(包含邊界)，而$a_n$為$T_n$上的格子點數目，則$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{n}}=$？
解：

y=3 有1個格子點；
y=2 有2n+1個格子點；
y=1 有4n+1個格子點；
y=0 有6n+1個格子點；
總共有1+(2n+1)+(4n+1)+(6n+1) = 12n+4個格子點 $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { a_{ n } }{ n }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 12n+4 }{ n }  } =12$$

答：$\bbox[red,2pt]{(12)}$

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D、坐標空間中，平面$ax+by+cz=0$與平面$x=0、x+\sqrt{3}y=0$的夾角(介於$0^\circ到90^\circ$之間)都是$60^\circ$，且$a^2+b^2+c^2=12$，則$(a^2,b^2,c^2)$=？
解：


$ax+by+cz=0$的法向量$\vec{u}=(a,b,c)$

$x=0$的法向量$\vec{v}=(1,0,0)$

$x+\sqrt{3}y=0$的法向量$\vec{w}=(1,\sqrt{3},0)$ $$\begin{cases} \vec { u } \cdot \vec { v } =\left| \vec { u } \right| \left| \vec { v } \right| \cos { 60° } \\ \vec { u } \cdot \vec { w } =\left| \vec { u } \right| \left| \vec { w } \right| \cos { 60° } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( a,b,c \right) \cdot \left( 1,0,0 \right) =\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } } \times \frac { 1 }{ 2 } \\ \left( a,b,c \right) \cdot \left( 1,\sqrt { 3 } ,0 \right) =\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } } \times \sqrt { 4 } \times \frac { 1 }{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=\pm \sqrt { 3 } \\ a+\sqrt { 3 } b=2\sqrt { 3 } \end{cases}\Rightarrow \left( a,b \right) =\begin{cases} \left( \sqrt { 3 } ,1 \right) \\ \left( -\sqrt { 3 } ,3 \right) \end{cases}\Rightarrow \left( a,b,c \right) =\begin{cases} \left( \sqrt { 3 } ,1,2\sqrt { 2 } \right) \\ \left( -\sqrt { 3 } ,3,0 \right) \end{cases}\\ \Rightarrow \left( a^{ 2 },b^{ 2 },c^{ 2 } \right) =\begin{cases} \left( 3,1,8 \right) \\ \left( 3,9,0 \right) \end{cases}$$

答：$\bbox[red,2pt]{(3,1,8)或(3,9,0)}$

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第貳部分：非選擇題

一、在坐標平面上，考慮二階方陣$A=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$所定義的線性變換。對於平面上異於原點$O$的點$P_1$，設$P_1$經$A$變換成$P_2$，$P_2$經$A$變換成$P_3$。令$a=\overline{OP_1}$。

(1)試求$\sin{\angle P_1OP_3}$。

(2)試以$a$表示$\triangle P_1P_2P_3$的面積。

(3)假設$P_1$是圖形$y=\frac{1}{10}x^2-10$的動點，試求$\triangle P_1P_2P_3$面積的最小可能值。

解：

解：
由矩陣可知： $$A=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 4 }{ 5 }  & -\frac { 3 }{ 5 }  \\ \frac { 3 }{ 5 }  & \frac { 4 }{ 5 }  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos { \theta  }  & -\sin { \theta  }  \\ \sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  \end{bmatrix}$$ 即A為一旋轉矩陣，角度為$\theta$，旋轉狀態如上圖。

(1)$\sin{\angle P_1OP_3}=\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}=2\times\frac{3}{5} \times\frac{4}{5} = \bbox[red,2pt]{\frac{24}{25}}$

(2) $$\triangle P_{ 1 }P_{ 2 }P_{ 3 }=\triangle OP_{ 1 }P_{ 2 }+\triangle OP_{ 2 }P_{ 3 }-\triangle OP_{ 1 }P_{ 3 }\\ =\frac { 1 }{ 2 } a^{ 2 }\sin { \theta  } +\frac { 1 }{ 2 } a^{ 2 }\sin { \theta  } -\frac { 1 }{ 2 } a^{ 2 }\sin { 2\theta  } \\ =a^{ 2 }\times \frac { 3 }{ 5 } -a^{ 2 }\times \frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 4 }{ 5 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 3 }{ 25 } a^{ 2 }}$$

(3) $$P_{ 1 }=(m,\frac { 1 }{ 10 } m^{ 2 }-10)\Rightarrow a^{ 2 }={ \overline { OP_{ 1 } }  }^{ 2 }=m^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } m^{ 2 }-10 \right)  }^{ 2 }\\ =\frac { 1 }{ 100 } m^{ 4 }-m^{ 2 }+100=\frac { 1 }{ 100 } { \left( m^{ 2 }-50 \right)  }^{ 2 }+75\\ \Rightarrow \triangle P_{ 1 }P_{ 2 }P_{ 3 }=\frac { 3 }{ 25 } \times \left[ \frac { 1 }{ 100 } { \left( m^{ 2 }-50 \right)  }^{ 2 }+75 \right] =\frac { 3 }{ 2500 } { \left( m^{ 2 }-50 \right)  }^{ 2 }+9\\ \Rightarrow 最小值為\bbox[red,2pt]{9}$$

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二、坐標空間中，$O(0,0,0)$為原點。平面$z=h$(其中$0\le h\le1$)上有一以$(0,0,0)$為圓心的圓，在此圓上依逆時鐘順序取8 點構成正八邊形$P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7$，使得各線

段$\overline{OP_j}(0\le j\le 7)$的長度都是1。請參見示意圖。

(1) 試以h 表示向量內積$\vec{OP_0}\cdot\vec{OP_4}$

(2) 若$V(h)$為以O 為頂點、正八邊形$P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7$為底的正八角錐體積，試將$V(h)$表為$h$的函數（註:角錐體積=$\frac{1}{3}底面積\times 高$)。

(3)在$\vec{OP_0}$和$\vec{OP_4}$夾角不超過90度的條件下，試問正八角錐體積$V(h)$的最大值為何？

解：

在正八邊形中，$P_0$在$P_4$的正對面，如上圖。$O、P_0、P_4$三點構成的平面如下圖：

(1) $$\vec { OP_{ 0 } } \cdot \vec { OP_{ 4 } } =\left( \vec { OA } +\vec { AP_{ 0 } }  \right) \cdot \left( \vec { OA } +\vec { AP_{ 4 } }  \right) ={ \left| \vec { OA }  \right|  }^{ 2 }+\vec { OA } \cdot \vec { AP_{ 4 } } +\vec { AP_{ 0 } } \cdot \vec { OA } +\vec { AP_{ 0 } } \cdot \vec { AP_{ 4 } } \\ =h^{ 2 }+0+0-{ \left| \vec { AP_{ 0 } }  \right|  }^{ 2 }=h^{ 2 }-\left( 1-h^{ 2 } \right) =\bbox[red,2pt]{2h^{ 2 }-1}$$

(2)底面積=$8\times \frac{1}{2}\times (1-h^2)\times\sin{45^\circ}=2\sqrt{2}(1-h^2)$，因此角錐體積=$V(h)=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}(1-h^2)\times h=\bbox[red,2pt]{\frac{2\sqrt{2}}{3}(h-h^3)}$

(3)$V'(h)=0\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}}{3}(1-3h^2)=0 \Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{3}$

當$h=\frac{\sqrt{3}}{3}$時，體積$V(h)$有極值，但不一定是最大值。

由於$\vec{OP_0}$和$\vec{OP_4}$夾角不超過90度，即$\vec { OP_{ 0 } } \cdot \vec { OP_{ 4 } }\ge 0 \Rightarrow 2h^{ 2 }-1\ge 0\Rightarrow h\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$，而$\frac{\sqrt{3}}{3}$不在此範圍內，所以最值應為$V(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}})=\bbox[red,2pt]{\frac{1}{3}}$

-- END --