104年大學指考數學乙詳解

104學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題（占 76 分 ）
一、單選題

解：
四邊形依序(a,b,c,d)= (1,2,1,2), (1,2,3,2), (2,1,2,1), (2,1,2,3),(2,3,2,1),(2,3,2,3), (3,2,1,2),(3,2,3,2)，共有八種標示法。

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

$$a_{ n }=2+4+6+\cdots +2n-2=2\left( 1+2+\cdots +n-1 \right) =n\left( n-1 \right) =n^{ 2 }-n\\ \Rightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { a_{ n } }{ { n }^{ 2 } } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n^{ 2 }-n }{ { n }^{ 2 } } } =1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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二、多選題

解：

半糖且去冰最多有28人(所有去冰的都是半糖)，最少有37+28-50=15(沒有不是半糖也不去冰)。
因此機率的範圍為$\frac{15}{50}\le p\le \frac{28}{50}\Rightarrow 0.3\le p\le0.56$，，故選$\bbox[red,2pt]{(2,3)}$

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解：
$$\left( 1 \right) \frac { f\left( 4 \right)  }{ f\left( 2 \right)  } =\frac { 3000 }{ 2000 } =\frac { 3 }{ 2 } \neq 2\\ \left( 2 \right) \frac { f\left( 48 \right)  }{ f\left( 24 \right)  } =\frac { 3000 }{ 2000 } =\frac { 3 }{ 2 } \neq 2\\ \left( 3 \right) \frac { f\left( 2n \right)  }{ f\left( 2n-2 \right)  } =\frac { 100{ \sqrt { 2 }  }^{ 2n } }{ 100{ \sqrt { 2 }  }^{ 2n-2 } } ={ \sqrt { 2 }  }^{ 2 }=2\\ \left( 4 \right) \log { f\left( t \right)  } =3+\frac { \log { \left( \frac { 3t }{ 2 } +1 \right)  }  }{ 2 } =\log { 1000 } +\log { \sqrt { \frac { 3t }{ 2 } +1 }  } =\log { 1000\sqrt { \frac { 3t }{ 2 } +1 }  } \\ \Rightarrow f\left( t \right) =1000\sqrt { \frac { 3t }{ 2 } +1 } \Rightarrow \frac { f\left( 4 \right)  }{ f\left( 2 \right)  } =\frac { \sqrt { 7 }  }{ 2 } \neq 2\\ \left( 5 \right) \log { f\left( t \right)  } =3+\frac { \log { 2 }  }{ 24 } t=\log { 1000 } +\log { { 2 }^{ \frac { t }{ 24 }  } } \Rightarrow f\left( t \right) =1000\times { 2 }^{ \frac { t }{ 24 }  }\\ \Rightarrow \frac { f\left( n+24 \right)  }{ f\left( n \right)  } ={ 2 }^{ \frac { n+24 }{ 24 } -\frac { n }{ 24 }  }={ 2 }^{ \frac { 24 }{ 24 }  }=2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,5)}$

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解：

(1)與(3)相同，都是變為原來的2.06倍
(2)與(4)相同，都是變為原來的$(1.03)^2$倍
(5)產品之間無相關性，此選項錯誤

故選$\bbox[red,2pt]{(2,4)}$

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解：
g(x)為一次式，可令其為g(x)=ax+b，依題意$f\left( x \right) =p\left( x \right) \left( x-1 \right) { \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+ax+b$ $$\left( 1 \right) \begin{cases} f\left( 1 \right) =a+b \\ f\left( 2 \right) =2a+b \end{cases}\Rightarrow 可求出a及b\Rightarrow 可求出g\left( x \right) \\ \left( 2 \right) f\left( 2 \right) =g\left( 2 \right) \\ \left( 3 \right) f\left( 1 \right) =1+g\left( 1 \right) \neq g\left( 1 \right) \\ \left( 4 \right) f\left( x \right) =p\left( x \right) \left( x-1 \right) { \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+g\left( x \right) ={ \left( x-2 \right)  }^{ 2 }\left[ p\left( x \right) \left( x-1 \right) +1 \right] +g\left( x \right) \\ \left( 5 \right) f\left( x \right) =p\left( x \right) \left( x-1 \right) { \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+g\left( x \right) =p\left( x \right) \left( x-1 \right) { \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) -x+2+g\left( x \right) \\ =\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) \left[ p\left( x \right) \left( x-2 \right) +1 \right] +g\left( x \right) -x+2\Rightarrow 餘式為g\left( x \right) -x+2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,4)}$

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解：

(1) 2009至2015年，男選手增加了3990-3410=580人，女選手增加了2860-1950=910人，因此女選手增加的比較多；
(2) 平一年增加了$\frac{3990-3410}{2015-2009}=\frac{580}{6}=96.6$人；
(3) $$\begin{matrix}  & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 \\ 男 & 3410 & 3420 & 3540 & 3710 & 3830 & 3920 & 3990 \\ 女 & 1950 & 2000 & 2240 & 2370 & 2650 & 2780 & 2860 \\ 差距 & 1460 & 1420 & 1300 & 1340 & 1180 & 1140 & 1130 \end{matrix}$$ 差距並未「逐年」縮小
(4)

女生的斜率比較大，其迴歸直線斜率也會比較大
(5)

由年度男女合計可知其平均值超過6000

故選$\bbox[red,2pt]{(4,5)}$

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解：

假設$y=0$的兩根為$\alpha及\beta$，則$\alpha+\beta=\frac{a}{7}, \alpha\beta=-\frac{1}{21}$。因此兩根為一正一負，故假設$\alpha>0及\beta<0$，即$0<\alpha<1,-1<\beta<0 \Rightarrow -1<\alpha+\beta<1 \Rightarrow -1<\frac{a}{7}<1$，$a$可為-6,-5, ..., 5, 6，共13個。

答：$\bbox[red,2pt]{13}$個

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解：
$$\vec { AC } \cdot \vec { AD } =\left| \vec { AC } \right| \Rightarrow \left| \vec { AD } \right| \cos { \angle CAD } =1\Rightarrow \left| \vec { AD } \right| \cos { 60° } =1\\ \Rightarrow \left| \vec { AD } \right| \times \frac { 1 }{ 2 } =1\Rightarrow \left| \vec { AD } \right| =2\Rightarrow \left| \vec { AC } \right| =4,\left| \vec { AB } \right| =2\sqrt { 3 } \\ \Rightarrow \vec { AC } \cdot \vec { AB } =4\times 2\sqrt { 3 } \times \cos { 30° } =4\times 2\sqrt { 3 } \times \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =12$$
答：$\bbox[red,2pt]{12}$

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解：

假設不適應的男生有$a$人，其它數據如上表。

依題意：性別與適應狀況獨立，即p(男生且不適應)=p(男生)$\times$p(不適應) $\Rightarrow \frac{a}{50}=\frac{30}{50}\times \frac{35}{50 }\Rightarrow a=21$

因此《12》=$\bbox[red,2pt]{9}$、《13、14》=$\bbox[red,2pt]{21}$、《15》=$\bbox[red,2pt]{6}$、《16、17》=$\bbox[red,2pt]{14}$。

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解：

最短平台150公分，上升150/50=3公分=0.03公尺，見上圖左

最高坡道75公分，水平距離為$0.75\times 12=9$公尺，見上圖右

若用兩個坡道及三個平台，上升高度為$0.75\times 3+0.03\times 3=1.59$公尺，不足2-1.59=0.41公尺。因此我們需要再一個平台，則不足0.41-0.03=0.38公尺，再加一個坡道，其水平距離為 $0.38\times 12=4.56$公尺。

所以水平長度為$1.5\times 4+9\times 2+4.56=28.56$公尺

答：$\bbox[red,2pt]{28.56}$公尺

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解：

(1)假設領隊規劃 $x$人轉搭甲航空公司的班機、 $y$人轉搭乙航空公司的班機，其餘的$25-x-y$乘客轉搭丙航空公司的班機，依其條件之線性規劃不等式為 $$\begin{cases} x,y,25-x-y\ge 0 \\ 4500x+5500y+8000\left( 25-x-y \right) \le 150000 \\ 400x+200y\le 8000 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x,y\in Z \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ x+y\le 25 \\ 7x+5y\ge 100 \\ 2x+y\le 40 \end{cases}$$ 目標函數為$f\left( x,y \right) =3x+4y+6(25-x-y)=150-3x-2y$

(2)

可行區域所有頂點分別為A、B、C、D、E，如上圖，其中

$A=(\frac{100}{7},0), B=(20,0), C=(15,10), D=(0,25), E=(0,20)$

(3)$f\left( A \right) > f\left( B \right)=150-60=90, f\left( C \right)=150-45-20=85; f\left( E \right)>f\left( D \right)=150-50=100$，因此最少等待天數為$\bbox[red,2pt]{85}$天。

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-- END --