107學年度四技二專統測--數學(C)詳解

107學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗試題本數學(C)詳解

解：
$L_1:y=m_1x+b$，將(2,3)、(1,5)代入可得$\begin{cases} 3=2m_{ 1 }+b \\ 5=m_{ 1 }+b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m_{ 1 }=-2 \\ b=7 \end{cases}$
$L_2:y=m_2x+c$，將(1,0)、(0,4)代入可得$\begin{cases} 0=m_{ 2 }+c \\ 4=c \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m_{ 2 }=-4 \\ c=4 \end{cases}$
因此$m_2<m_1<0$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\begin{cases} L_{ 1 }:3x+4y=6 \\ L_{ 2 }:9x+12y=k \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} L_{ 1 }:3x+4y=6 \\ L_{ 2 }:3x+4y=\frac { k }{ 3 }  \end{cases}\Rightarrow d\left( L_{ 1 },L_{ 2 } \right) =\left| \frac { 6-\frac { k }{ 3 }  }{ 5 }  \right| =2\\ \Rightarrow \begin{cases} 6-\frac { k }{ 3 } =10 \\ 6-\frac { k }{ 3 } =-10 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} k=-12 \\ k=48 \end{cases}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\begin{cases} \begin{vmatrix} b_{ 2 } & c_{ 2 } \\ b_{ 3 } & c_{ 3 } \end{vmatrix}=13 \\ \begin{vmatrix} b_{ 1 } & c_{ 1 } \\ b_{ 3 } & c_{ 3 } \end{vmatrix}=7 \\ \begin{vmatrix} b_{ 1 } & c_{ 1 } \\ b_{ 2 } & c_{ 2 } \end{vmatrix}=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b_{ 2 }c_{ 3 }-b_{ 3 }c_{ 2 }=13 \\ b_{ 1 }c_{ 3 }-b_{ 3 }c_{ 1 }=7 \\ b_{ 1 }c_{ 2 }-b_{ 2 }c_{ 1 }=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & b_{ 1 } & c_{ 1 } \\ 2 & b_{ 2 } & c_{ 2 } \\ 3 & b_{ 3 } & c_{ 3 } \end{vmatrix}=b_{ 2 }c_{ 3 }+2b_{ 3 }c_{ 1 }+3b_{ 1 }c_{ 2 }-3b_{ 2 }c_{ 1 }-2b_{ 1 }c_{ 3 }-b_{ 3 }c_{ 2 }\\ =\left( b_{ 2 }c_{ 3 }-b_{ 3 }c_{ 2 } \right) +2\left( b_{ 3 }c_{ 1 }-b_{ 1 }c_{ 3 } \right) +3\left( b_{ 1 }c_{ 2 }-b_{ 2 }c_{ 1 } \right) =13+2\times \left( -7 \right) +3\times 2=5$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。
也可以利用行列式降階的方式: $$\begin{vmatrix} 1 & b_{ 1 } & c_{ 1 } \\ 2 & b_{ 2 } & c_{ 2 } \\ 3 & b_{ 3 } & c_{ 3 } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b_{ 2 } & c_{ 2 } \\ b_{ 3 } & c_{ 3 } \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} b_{ 1 } & c_{ 1 } \\ b_{ 3 } & c_{ 3 } \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} b_{ 1 } & c_{ 1 } \\ b_{ 2 } & c_{ 2 } \end{vmatrix}=13-2\times 7+3\times 2=5$$

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解： $$\begin{cases} a=\frac { 0+1\times 8+2\times 5+3\times 4 }{ 20 } =\frac { 30 }{ 20 }  \\ b=\frac { 0+1\times 4+2\times 6+3\times 5 }{ 20 } =\frac { 31 }{ 20 }  \\ c=\frac { 0+1\times 5+2\times 3+3\times 6 }{ 20 } =\frac { 29 }{ 20 }  \end{cases}\Rightarrow b>a>c$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

所圍區域ABCD如上圖，將其拆成一個梯形AECD及一個三角形BEC，分別求其面積；
梯形AECD面積=$(2+4)\times  4\div   2=12$；三角形BEC面積=$2\times   1\div   2=1$；
因此總面積=12+1=13，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
十球取出三球，共有$C^{10}_3=120$種取法；
編號2及編號3的球先拿出來，剩下8個球取1個球，共有$C^8_1=8$種取法；
因此編號2及編號3均被取出的機率為$\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$s=(5+6+7)\div 2=9\Rightarrow A=\sqrt{s(s-5)(s-6)(s-7)}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}\\A=(5+6+7)\times r\div 2\Rightarrow 6\sqrt{6}=9r\Rightarrow r=\frac{6\sqrt{6}}{9}\\ \Rightarrow A\cdot r=6\sqrt{6}\times \frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{216}{9}=24$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$$z=\cos { 10° } +i\sin { 10° } \Rightarrow \sum _{ n=0 }^{ 36 }{ { z }^{ n } } =\left( \cos { 0° } +\cos { 10° } +\cdots +\cos { 360° }  \right) +i\left( \sin { 0° } +\sin { 10° } +\cdots +\sin { 360° }  \right) \\ =\frac { 1-z^{ 37 } }{ 1-z } =\frac { 1-z }{ 1-z } =1\Rightarrow \cos { 0° } +\cos { 10° } +\cdots +\cos { 360° } =1$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$h=\pm 1,\pm 2\\ h=1\Rightarrow 1-1+k-2=0\Rightarrow k=2\\ h=-1\Rightarrow 1+1+k-2=0\Rightarrow k=0(不合,\because k>0)\\ h=2\Rightarrow 16-8+4k-2=0\Rightarrow k<0(不合,\because k>0)\\ h=-2\Rightarrow 16+8+4k-2=0\Rightarrow k<0(不合,\because k>0)$$ 因此$h=1,k=2\Rightarrow k+h=3$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} 3x+5y+z=15 \\ 2x+4y+z=12 \\ 5x+y+2z=3 \end{cases}\Rightarrow (1)-(2),(2)\times 2-(3)\Rightarrow \begin{cases} x+y=3 \\ -x+7y=21 \end{cases}\Rightarrow 8y=24\Rightarrow y=3$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\frac { 1+z }{ 1+\bar { z }  } =\frac { 1+\frac { 1 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } i }{ 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } i } =\frac { 3-\sqrt { 3 } i }{ 3+\sqrt { 3 } i } =\frac { { \left( 3-\sqrt { 3 } i \right)  }^{ 2 } }{ \left( 3+\sqrt { 3 } i \right) \left( 3-\sqrt { 3 } i \right)  } \\ =\frac { 6-6\sqrt { 3 } i }{ 12 } =\frac { 1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } =a+bi\Rightarrow a>0,b<0$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$x=\frac { \log _{ 10 }{ 7 }  }{ \log _{ 10 }{ 9 }  } =\log _{ 9 }{ 7 } \Rightarrow { 9 }^{ x }=7\Rightarrow { { 9 }^{ x } }^{ 2 }={ 7 }^{ 2 }\Rightarrow { 81 }^{ x }={ 7 }^{ 2 }=49$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ \left( { 2 }^{ n }+3n+2 \right)  } =\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ \left( { 2 }^{ n } \right)  } +3\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ n } +2\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ 1 } =\frac { 2-{ 2 }^{ 11 } }{ 1-2 } +3\times 55+2\times 10\\ =2\left( { 2 }^{ 10 }-1 \right) +165+20=2046+165+20=2231$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\begin{cases} A=C^{ 11 }_{ 5 }=\frac { 11! }{ 5!6! } =462 \\ B=C^{ 11 }_{ 6 }=\frac { 11! }{ 5!6! } =A \\ C=C^{ 11 }_{ 7 }=\frac { 11! }{ 4!7! } =330 \\ D=C^{ 12 }_{ 6 }=\frac { 12! }{ 6!6! } =924=A+B \end{cases}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

$${ \overline { AC } }^{ 2 }={ \overline { AO_{ 1 } } }^{ 2 }-{ \overline { O_{ 1 }C } }^{ 2 }={ \overline { AO_{ 2 } } }^{ 2 }-{ \overline { O_{ 2 }C } }^{ 2 }\Rightarrow 4-a^{ 2 }=9-(3-a)^{ 2 }\Rightarrow a=\frac { 2 }{ 3 } \\ \Rightarrow { \overline { AC } }^{ 2 }=4-a^{ 2 }==4-\frac { 4 }{ 9 } =\frac { 32 }{ 9 } \Rightarrow { \overline { AC } }=\frac { 4\sqrt { 2 } }{ 3 } \Rightarrow { \overline { AB } }=\frac { 8\sqrt { 2 } }{ 3 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

此題相當於求上圖之封閉區域面積，也就是兩個三角形的面積和，即 $$3\times   \frac{3}{2}\times   \frac{1}{2}+5\times\frac{5}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{9+25}{4}=\frac{17}{2}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。
當然也可以用分段積分來求解，即 $$\int _{ -4 }^{ 0 }{ \left| 2x+5 \right| } dx=\int _{ -4 }^{ -\frac { 5 }{ 2 } }{ \left| 2x+5 \right| } dx+\int _{ -\frac { 5 }{ 2 } }^{ 0 }{ \left| 2x+5 \right| } dx=\int _{ -\frac { 5 }{ 2 } }^{ -4 }{ 2x+5 } dx+\int _{ -\frac { 5 }{ 2 } }^{ 0 }{ 2x+5 } dx\\ =\left. \left[ x^{ 2 }+5x \right] \right| ^{ -4 }_{ -\frac { 5 }{ 2 } }+\left. \left[ x^{ 2 }+5x \right] \right| ^{ 0 }_{ -\frac { 5 }{ 2 } }=\left[ \left( 16-20 \right) -\left( \frac { 25 }{ 4 } -\frac { 25 }{ 2 } \right) \right] +\left[ 0-\left( \frac { 25 }{ 4 } -\frac { 25 }{ 2 } \right) \right] \\ =-4+\frac { 25 }{ 4 } +\frac { 25 }{ 4 } =\frac { 34 }{ 4 } =\frac { 17 }{ 2 }$$

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解：
直線L通過(9,5)及(3,1)，可求出其斜率為$\frac{5-1}{9-3}=\frac{2}{3}$，由於$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( 3+h \right) -f\left( 3 \right)  }{ h }  } =f^{ ' }\left( 3 \right)$也就是切線L的斜率，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$f^{ ' }\left( x \right) =x^{ 2 }-2x-3=(x-3)(x+1)\Rightarrow x=-1,3有極值\\ 又f^{ ' }\left( x \right) =x^{ 2 }-2x-3\Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-x^{ 2 }-3x+k\\ 由f\left( 0 \right) =6\Rightarrow k=6\Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-x^{ 2 }-3x+6\\ \Rightarrow 極小值=f\left( 3 \right) =9-9-9+6=-3\\ $$ 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\int _{ \frac { 1 }{ 4 } }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ { \left( 4x-1 \right) }^{ 3 } } dx=\left. \left[ \frac { 1 }{ 16 } { \left( 4x-1 \right) }^{ 4 } \right] \right| ^{ \frac { 1 }{ 2 } }_{ \frac { 1 }{ 4 } }=\frac { 1 }{ 16 } -0=\frac { 1 }{ 16 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

兩正根之積a+3>0且兩正根之和5-a>0，則$-3<a<5$；
判別式需大於等於0，即$(a-5)^2-4(a+3)\ge   0\Rightarrow   a^2-14a+13\ge   0\Rightarrow   (a-13)(a-1)\ge   0\Rightarrow   a\ge   13或a\le   1$
上述兩條條件的交集為$-3<a\le   1\Rightarrow   m=-3, n=1\Rightarrow   m+n=-3+1=-2$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
$$\tan { 19° } =a\Rightarrow \sin { 19° } =\frac { a }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } ,\cos { 19° } =\frac { 1 }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } \\ \sin { 2018° } =\sin { \left( 360°\times 5+218° \right) } =\sin { 218° } =\sin { \left( 180°+38° \right) } =-\sin { 38° } \\ =-2\sin { 19° } \cos { 19° } =-2\times \frac { a }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } =\frac { -2a }{ a^{ 2 }+1 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
$$f\left( x \right) =4\sin { x } +\cos { \left( 2x \right) } +7=4\sin { x } +1-2\sin ^{ 2 }{ x } +7=-2\left( \sin ^{ 2 }{ x } -2\sin { x } -4 \right) \\ =-2\left[ { \left( \sin { x } -1 \right) }^{ 2 }-5 \right] \Rightarrow \begin{cases} \sin { x } =1\Rightarrow M=-2\times -5=10 \\ \sin { x } =-1\Rightarrow m=-2\times -1=2 \end{cases}\Rightarrow M+m=12$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} a=\log _{ 0.3 }{ 0.5 } =\frac { \log { 0.5 }  }{ \log { 0.3 }  } =\frac { \log { 5 } -1 }{ \log { 3 } -1 } =\frac { 0.301 }{ 0.5229 } <1 \\ b=\log _{ 3 }{ 5 } =\frac { \log { 5 }  }{ \log { 3 }  } =\frac { 0.699 }{ 0.4771 } >1 \\ c=\log _{ 30 }{ 50 } =\frac { \log { 50 }  }{ \log { 30 }  } =\frac { \log { 5 } +1 }{ \log { 3 } +1 } =\frac { 1.699 }{ 1.4771 } >1 \end{cases}\Rightarrow a<c<b$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
至多出現一次，代表沒出現或只出現一次；
點數3沒出現：$5\times  5\times  5\times  5=625$種情形
點數3只出現1次：$4\times 1\times   5\times   5\times  5=500$種情形
共有625+500=1125種，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$x^{ 2 }+y^{ 2 }-6x+8y=0\Rightarrow (x-3)^{ 2 }+(y+4)^{ 2 }=5^{ 2 }\Rightarrow \begin{cases} x=5\cos { \theta  } +3 \\ y=5\sin { \theta  } -4 \end{cases}\\ \Rightarrow 4x+3y+5=4\left( 5\cos { \theta  } +3 \right) +3\left( 5\sin { \theta  } -4 \right) +5=20\cos { \theta  } +15\sin { \theta  } +5\\ =25\left( \frac { 4 }{ 5 } \cos { \theta  } +\frac { 3 }{ 5 } \sin { \theta  }  \right) +5=25\left( \sin { \alpha  } \cos { \theta  } +\cos { \alpha  } \sin { \theta  }  \right) +5\\ =25\sin { \left( \alpha +\theta  \right)  } +5\Rightarrow \begin{cases} M=25+5=30 \\ m=-25+5=-20 \end{cases}\Rightarrow M+m=10$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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