105年專科學力鑑定考試--微積分詳解

105年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試

專業科目(一)：微積分 詳解

解： $$g\left( x \right) =\frac { x+17f\left( x \right)  }{ f\left( x \right)  } \Rightarrow g'\left( x \right) =\frac { 1+17f'\left( x \right)  }{ f\left( x \right)  } -\frac { \left( x+17f\left( x \right)  \right) f'\left( x \right)  }{ f^{ 2 }\left( x \right)  } \\ \Rightarrow g'\left( 3 \right) =\frac { 1+17f'\left( 3 \right)  }{ f\left( 3 \right)  } -\frac { \left( 3+17f\left( 3 \right)  \right) f'\left( 3 \right)  }{ f^{ 2 }\left( 3 \right)  } =\frac { 1+17\times 4 }{ 2 } -\frac { \left( 3+17\times 2 \right) \times 4 }{ 4 } \\ =\frac { 69 }{ 2 } -37=-\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow 故選：\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解： $$f\left( x \right) =\begin{cases} \cos { x }  & x<0 \\ a+x^{ 2 } & 0\le x<1 \\ bx & 1\le x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \lim _{ x\to 0 }{ f\left( x \right)  } =\cos { 0 } =a+0 \\ \lim _{ x\to 1 }{ f\left( x \right)  } =a+1=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=a+1=2 \end{cases}\\\Rightarrow a+b=3\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解：
$$f\left( x \right) =\frac { x^{ 3 } }{ x^{ 2 }-3 } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { 3x^{ 2 } }{ x^{ 2 }-3 } -\frac { 2x^{ 4 } }{ { \left( x^{ 2 }-3 \right)  }^{ 2 } } \Rightarrow f''\left( x \right) =\frac { 6x }{ x^{ 2 }-3 } -\frac { 14x^{ 3 } }{ { \left( x^{ 2 }-3 \right)  }^{ 2 } } +\frac { 8x^{ 5 } }{ { \left( x^{ 2 }-3 \right)  }^{ 3 } } \\ f'\left( x \right) =0\Rightarrow \frac { 3x^{ 2 } }{ x^{ 2 }-3 } -\frac { 2x^{ 4 } }{ { \left( x^{ 2 }-3 \right)  }^{ 2 } } =0\Rightarrow 3x^{ 2 }\left( x^{ 2 }-3 \right) -2x^{ 4 }=0\Rightarrow x^{ 2 }\left( x+3 \right) \left( x-3 \right) =0\Rightarrow x=0,\pm 3\\ \Rightarrow \begin{cases} f''\left( 0 \right) =0 \\ f''\left( 3 \right) >0 \\ f''\left( -3 \right) <0 \end{cases}\Rightarrow f\left( -3 \right) =\frac { -27 }{ 6 } =-\frac { 9 }{ 2 } 為相對極大值\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解： $$f\left( x \right) ={ \left( x+\sqrt { 3+x^{ 2 } }  \right)  }^{ 2 }\Rightarrow f'\left( x \right) ={ 2\left( x+\sqrt { 3+x^{ 2 } }  \right)  }\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 2x }{ \sqrt { 3+x^{ 2 } }  }  \right) \\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) =2\left( 1+\sqrt { 4 }  \right) \left( 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 4 }  }  \right) =2\times 3\times \frac { 3 }{ 2 } =9\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解： $$y=x^{ 2 }\sin { 3x } \Rightarrow y'=2x\sin { 3x } +3x^{ 2 }\cos { 3x } \Rightarrow y'|_{ x=\pi /2 }=\pi \sin { \frac { 3\pi  }{ 2 }  } +\frac { 3\pi ^{ 2 } }{ 4 } \cos { \frac { 3\pi  }{ 2 }  } =-\pi \\ \Rightarrow y\left( \pi /2 \right) =\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 } \sin { \frac { 3\pi  }{ 2 }  } =-\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 } \Rightarrow 過\left( \frac { \pi  }{ 2 } ,-\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 }  \right) 且斜率為-\pi 的直線方程式為\\ y+\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 } =-\pi \left( x-\frac { \pi  }{ 2 }  \right) 即y=-\pi x+\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 }  \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解： $$\int _{ 0 }^{ 3 }{ x\left| x-2 \right|  } dx=\int _{ 0 }^{ 2 }{ x\left( 2-x \right)  } dx+\int _{ 2 }^{ 3 }{ x\left( x-2 \right)  } dx=\int _{ 0 }^{ 2 }{ -x^{ 2 }+2x } dx+\int _{ 2 }^{ 3 }{ x^{ 2 }-2x } dx\\ =\left. \left[ -\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }+x^{ 2 } \right]  \right| ^{ 2 }_{ 0 }+\left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-x^{ 2 } \right]  \right| ^{ 3 }_{ 2 }=\left( -\frac { 8 }{ 3 } +4 \right) +\left( 9-9 \right) -\left( \frac { 8 }{ 3 } -4 \right) =\frac { 8 }{ 3 } \\ \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$f\left( x \right) =\frac { 1+\cos { x }  }{ 1-\cos { x }  } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { -\sin { x }  }{ 1-\cos { x }  } -\frac { \left( 1+\cos { x }  \right) \left( \sin { x }  \right)  }{ { \left( 1-\cos { x }  \right)  }^{ 2 } } \\ \int _{ \frac { \pi  }{ 3 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ f''\left( x \right)  } dx=\left. \left[ f'\left( x \right)  \right]  \right| ^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }_{ \frac { \pi  }{ 3 }  }=\left. \left[ \frac { -\sin { x }  }{ 1-\cos { x }  } -\frac { \left( 1+\cos { x }  \right) \left( \sin { x }  \right)  }{ { \left( 1-\cos { x }  \right)  }^{ 2 } }  \right]  \right| ^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }_{ \frac { \pi  }{ 3 }  }\\ =\left( -1-1 \right) -\left( \frac { -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  }{ \frac { 1 }{ 2 }  } -\frac { \frac { 3 }{ 2 } \times \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  }{ \frac { 1 }{ 4 }  }  \right) =-2-\left( -4\sqrt { 3 }  \right) =-2+4\sqrt { 3 }  \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解： $$\lim _{ x\to 1 }{ \frac { 1 }{ x-1 } \left( \frac { 1 }{ x+3 } -\frac { 2 }{ 3x+5 }  \right)  } =\lim _{ x\to 1 }{ \frac { 1 }{ x-1 } \left( \frac { x-1 }{ \left( x+3 \right) \left( 3x+5 \right)  }  \right)  } \\ =\lim _{ x\to 1 }{ \left( \frac { 1 }{ \left( x+3 \right) \left( 3x+5 \right)  }  \right)  } =\frac { 1 }{ 4\times 8 } =\frac { 1 }{ 32 }\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解： $$f\left( x \right) =\frac { { \sqrt { 2x-1 } \left( 2x+1 \right)  }^{ 3 } }{ { \left( 3x-1 \right)  }^{ 4 } } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { { \frac { \left( 2x+1 \right) ^{ 3 } }{ \sqrt { 2x-1 }  } +{ 6\sqrt { 2x-1 } \left( 2x+1 \right)  }^{ 2 } } }{ { \left( 3x-1 \right)  }^{ 4 } } -\frac { { 12\left( \sqrt { 2x-1 } \left( 2x+1 \right) ^{ 3 } \right)  } }{ { \left( 3x-1 \right)  }^{ 5 } } \\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) =\frac { 27+54 }{ 16 } -\frac { 12\times 27 }{ 32 } =\frac { -162 }{ 32 } =-\frac { 81 }{ 16 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解： $$\begin{cases} u=x \\ dv=\sin { \left( 2x \right)  } dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=dx \\ v=-\frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( 2x \right)  }  \end{cases}\Rightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ x } \sin { \left( 2x \right)  } dx=-\frac { 1 }{ 2 } x\cos { \left( 2x \right)  } +\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \cos { \left( 2x \right)  }  } dx\\ =\left. \left[ -\frac { 1 }{ 2 } x\cos { \left( 2x \right)  } +\frac { 1 }{ 4 } \sin { \left( 2x \right)  }  \right]  \right| ^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }_{ 0 }=\frac { \pi  }{ 4 }  \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解： $$x=2\cos { \theta  } \Rightarrow dx=-2\sin { \theta  } d\theta \Rightarrow \int { \frac { x^{ 3 } }{ \sqrt { 4-x^{ 2 } }  }  } dx=\int { \frac { 8\cos ^{ 3 }{ \theta  }  }{ 2\sin { \theta  }  } \times  } -2\sin { \theta  } d\theta =-8\int { \cos ^{ 3 }{ \theta  }  } d\theta \\ =-8\left[ \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta  } \sin { \theta  }  }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \sin { \theta  }  \right] \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x^{ 3 } }{ \sqrt { 4-x^{ 2 } }  }  } dx=-8\left. \left[ \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta  } \sin { \theta  }  }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \sin { \theta  }  \right]  \right| ^{ \frac { \pi  }{ 3 }  }_{ \frac { \pi  }{ 2 }  }\\ =-8\left( \frac { \frac { 1 }{ 4 } \times \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \times \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } -\frac { 2 }{ 3 }  \right) =-8\left( \frac { 9\sqrt { 3 }  }{ 24 } -\frac { 2 }{ 3 }  \right) =-3\sqrt { 3 } +\frac { 16 }{ 3 }  \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解： $$\int _{ -\frac { \pi  }{ 6 }  }^{ \frac { \pi  }{ 6 }  }{ \left( 2-\cos { x } -\sin { x }  \right)  } dx=\left. \left[ 2x-\sin { x } +\cos { x }  \right]  \right| ^{ \frac { \pi  }{ 6 }  }_{ -\frac { \pi  }{ 6 }  }=\left( \frac { \pi  }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) -\left( -\frac { \pi  }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) \\ =\frac { 2\pi  }{ 3 } -1\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解： $$6^{ 2 }\times 2\times \pi -\int _{ 0 }^{ 2 }{ y^{ 2 }\pi  } dx=72\pi -\int _{ 0 }^{ 2 }{ 9x^{ 2 }\pi  } dx=72\pi -\left. \left[ 3x^{ 3 }\pi  \right]  \right| ^{ 2 }_{ 0 }=72\pi -24\pi =48\pi \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$\because \begin{cases} x=r\cos { \theta  }  \\ y=r\sin { \theta  }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { r }^{ 2 }=x^{ 2 }+y^{ 2 } \\ \cos { 2\theta  } =\cos ^{ 2 }{ \theta  } -\sin ^{ 2 }{ \theta  } =\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ r^{ 2 } } =\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } }  \end{cases}\\ \therefore { r }^{ 2 }=\cos { 2\theta  } \Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }=\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } \Rightarrow { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 }=x^{ 2 }-y^{ 2 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$\frac { 1 }{ 2 } \int { r^{ 2 } } d\theta =\frac { 1 }{ 2 } \int { \left( 9-12\sin { \theta  } +4\sin ^{ 2 }{ \theta  }  \right)  } d\theta =\frac { 9 }{ 2 } \theta +6\cos { \theta  } +2\int { \sin ^{ 2 }{ \theta  }  } d\theta \\ =\frac { 9 }{ 2 } \theta +6\cos { \theta  } +2\left( -\frac { 1 }{ 2 } \sin { \theta  } \cos { \theta  } +\frac { \theta  }{ 2 }  \right) =\frac { 11 }{ 2 } \theta +6\cos { \theta  } -\frac { 1 }{ 2 } \sin { 2\theta  } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ r^{ 2 } } d\theta =\left. \left[ \frac { 11 }{ 2 } \theta +6\cos { \theta  } -\frac { 1 }{ 2 } \sin { 2\theta  }  \right]  \right| ^{ 2\pi  }_{ 0 }=11\pi\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解： $$f\left( x \right) =\frac { 5 }{ 2x-3 } =\left( -\frac { 5 }{ 3 }  \right) \left( \frac { 1 }{ 1-\frac { 2 }{ 3 } x }  \right) =\left( -\frac { 5 }{ 3 }  \right) \left( 1+\frac { 2 }{ 3 } x+{ \left( \frac { 2 }{ 3 } x \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 2 }{ 3 } x \right)  }^{ 3 }+\cdots  \right) \\ \Rightarrow a_{ 3 }=\left( -\frac { 5 }{ 3 }  \right) { \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 3 }=-\frac { 5 }{ 3 } \times \frac { 8 }{ 27 } =-\frac { 40 }{ 81 }  \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解： $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2 }{ \left( 3n+1 \right) \left( 3n-2 \right)  }  } =\frac { 2 }{ 3 } \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ 3n-2 } -\frac { 1 }{ 3n+1 }  \right)  } \\ =\frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 1 } -\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 7 } -\frac { 1 }{ 10 } +\cdots  \right) =\frac { 2 }{ 3 }  \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$u=x^{ 3 }y+y^{ 2 }z^{ 3 }-xz^{ 2 }\Rightarrow \frac { du }{ dt } =3x^{ 2 }\frac { dx }{ dt } y+x^{ 3 }\frac { dy }{ dt } +2y\frac { dy }{ dt } z^{ 3 }+3y^{ 2 }z^{ 2 }\frac { dz }{ dt } -\frac { dx }{ dt } z^{ 2 }-2xz\frac { dz }{ dt } \\ =3{ \left( 3t-1 \right)  }^{ 2 }\times 3\times \left( 1-t \right) +{ \left( 3t-1 \right)  }^{ 3 }\times \left( -1 \right) +2\left( 1-t \right) \times \left( -1 \right) \times { \left( t^{ 2 }+1 \right)  }^{ 3 }+3{ \left( 1-t \right)  }^{ 2 }{ \left( t^{ 2 }+1 \right)  }^{ 2 }\left( 2t \right) -3{ \left( t^{ 2 }+1 \right)  }^{ 2 }-2\left( 3t-1 \right) \left( t^{ 2 }+1 \right) \left( 2t \right) \\ \Rightarrow \left.\frac { du }{ dt }\right|_ {t=0}=9+1-2+0-3-0=5\Rightarrow故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$f\left( x,y,z \right) =xz\sin { \left( yz \right)  } \Rightarrow f_{ z }\left( x,y,z \right) =x\sin { \left( yz \right)  } +xyz\cos { \left( yz \right)  } \\ \Rightarrow f_{ z }\left( 2,1,\pi  \right) =2\sin { \left( \pi  \right)  } +2\pi \cos { \left( \pi  \right)  } =-2\pi \Rightarrow故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解： $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ x }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ 1+y^{ 2 } }  }  } dydx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left. \left[ \arctan { \left( y \right)  }  \right]  \right| ^{ 1 }_{ x } } dx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \frac { \pi  }{ 4 } -\arctan { \left( x \right)  }  \right)  } dx\\ =\left. \left[ \frac { \pi  }{ 4 } x-x\arctan { \left( x \right)  } +\frac { 1 }{ 2 } \ln { \left| 1+x^{ 2 } \right|  }  \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }=\left( \frac { \pi  }{ 4 } -\frac { \pi  }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } \ln { 2 }  \right) -\left( 0 \right) =\frac { 1 }{ 2 } \ln { 2 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

---

解題僅供參考