107學年度大園國際高中特招數學科詳解

107學年度大園國際高級中等學校特色招生

數學科詳解

第一部分：選擇題

1. 計算$\left[(-10)^5\div (-5)^4\right]-\left[2^5-3^7\times(-\frac{2}{3})^5\right]$之值為何？
(A) -160    (B)  -480    (C)  160  (D) 480
解：

$$\left[ (-10)^{ 5 }\div (-5)^{ 4 } \right] -\left[ 2^{ 5 }-3^{ 7 }\times (-\frac { 2 }{ 3 } )^{ 5 } \right] =\frac { { -2 }^{ 5 }\times { 5 }^{ 5 } }{ { 5 }^{ 4 } } -2^{ 5 }-\frac { 3^{ 7 }\times { 2 }^{ 5 } }{ 3^{ 5 } } ={ -2 }^{ 5 }\times 5-2^{ 5 }-3^{ 2 }\times { 2 }^{ 5 }\\ ={ 2 }^{ 5 }\left( -5-1-3^{ 2 } \right) ={ 2 }^{ 5 }\times \left( -15 \right) =32\times \left( -15 \right) =-480$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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2. 已知兩圓的周長比為1:4，則此兩圓的面積比為何？

(A) 1:2   (B)  1:4    (C)  1:8  (D) 1:16

解：

周長比=半徑比$\Rightarrow$面積比=半徑平方比=1:16，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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3.   已知$a、b、c$為三數，若多項式$2x^2+ax+1)(3x+b)=6x^3+cx^2+13-5$，則$a+b+c$之值為何？

(A)  -3   (B) -7   (C) -19   (D) -23

解：

$x=0\Rightarrow   b=-5$
$x=1\Rightarrow   (3+a)(b+3)=14+c\Rightarrow   2a+c+20=0$
$x=-1\Rightarrow   (3-a)(b-3)=c-24\Rightarrow   c=8a$
由上二式可求得$a=-2,c=-16\Rightarrow   a+b+c=-2-5-16=-23$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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4.  已知市售的手機接頭與充電線皆無故障才可使手機充電。緯緯有顏色、款式皆相同的接頭與充電線各3個，其中接頭與充電線各有1個故障，但外觀皆與正常的無差異。緯緯想同時取1個接頭與1條充電線，若每一接頭、充電線取出的機會相同，則取出接頭與充電線恰好可使手機充電的機率為何？

$(A)\frac{1}{3}\; (B)\frac{2}{3}\;(C)\frac{4}{9}\; (D)\frac{5}{9}$

解：
取到正常的接頭機率為$\frac{2}{3}$，取到正常的充電線機率也是$\frac{2}{3}$，因此恰好可允電的機率為$\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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5.  籃球比賽中，投進罰球一球可得1分。若某隊參加籃球比賽，該場比賽全隊投進罰球3球及2分球、3分球各若干球，所有投進的球共計31球，總得分65分，則該場比賽全隊2分球投進多少球？

(A)  19  (B) 22    (C) 28   (D)  41

解：
假設投進二分球$a$球、三分球$b$球，則 $$\begin{cases} 3+2a+3b=65 \\ 3+a+b=31 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a+3b=62 \\ a+b=28 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=22 \\ b=6 \end{cases}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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6.   小靜參加某登山社團，右圖為該社團成員年齡的盒狀圖。經過四年後，若未有社員退出與加入，則下列哪一個年齡的統計量不會改變？

(A)眾數    (B) 中位數    (C)   平均數     (D)四位距
解：

四年後，年齡均加4，因此眾數、中位數及平均數都比四年前多4，只有四位距不變，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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7. 已知$a、b、c$為三數，且$a<0$，二次函數$y=ax^2+bx+c$圖形與x軸交於A、B兩點，今將二次函數圖形向左平多若干個單位後，與x軸交於C、D兩點，再次向上平移數個單位後，與x軸交於E、F兩點。則比較$\overline{AB}$、$\overline{CD}$、$\overline{EF}$長度的大小關係，下例何者正確？
$(A)\overline{AB}<\overline{CD}<\overline{EF}$
$(B)\overline{AB}=\overline{CD}<\overline{EF}$
$(C)\overline{AB}<\overline{CD}=\overline{EF}$
$(D)\overline{AB}=\overline{CD}=\overline{EF}$
解：

原圖形(綠色)向左平移成紅色，再向上平移成藍色，由上圖可知$\overline{AB}=\overline{CD}$且$\overline{CD}<\overline{EF}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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8,   已知$a=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，$b=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$，$c=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，判斷$a、b、c$三數大小關係為下列何者？

$(A)a>b>c\;(B)a>c>b\;(C)c>a>b\;(D)c>b>a$

解：
只有$b<1$，所以$b$最小；$a$與$c$的分子相同，且$\sqrt{2}<\sqrt{3}\Rightarrow   a>c$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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9.  求方程式$x^2+6x-999991=0$的正根？
$(A)x991\;(B)x=993\;(C)x=997\;(D)x=1003$
解：

$999991=1003\times 997\Rightarrow x^{ 2 }+6x-999991=(x-997)(x+1003)\Rightarrow$正根是997，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

令$\overline{DC}=a,\overline{BC}=b\Rightarrow   a^2+b^2=100$。
大圓面積+小圓面積=$(\frac{b}{2})^2\pi+(\frac{a}{2})^2\pi=\frac{1}{4}(a^2+b^2)\pi=\frac{1}{4}\times   100\pi=25\pi$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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11.  右圖為製作一人份木瓜牛奶的食譜，已知筱雯有冰塊1000克，牛奶1400克，木瓜塊4000克。根據此食譜，若她用這些材料製作若干千人份的木瓜牛奶，則木瓜塊最少會剩下多少克？

(A)  160    (B) 640   (C) 1120   (D) 1360
解：

冰塊可作成$1000\div 80\approx 12$人份、木瓜塊可作成$4000\div 240\approx 16$人份、牛奶可作成$1400\div 120 \approx 11$人份。因此這些材料最多可作成11人份，木瓜塊會剩下$4000 -240\times 11=1360$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

$16n+17n=198\Rightarrow 33n=198\Rightarrow n=6$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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13.

解：

$$\begin{cases} a=\frac { 6\times { 10 }^{ 2017 } }{ 2.4\times { 10 }^{ 2018 } } =\frac { 1 }{ 0.4\times { 10 } } =0.25 \\ b=\frac { 1.2\times { 10 }^{ -2017 } }{ 3\times { 10 }^{ -2018 } } =\frac { 0.4\times { 10 } }{ 1 } =4 \end{cases}\Rightarrow b>1>a>0$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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14. 如圖，四邊形ABCD為圓內接四邊形，E為$\overline{BC}$上一點，$\overline{AE}、\overline{AC}$分別為$\angle  BAD、\angle   DCE$的角平分線。若$\angle   BAD=84^\circ，\angle   CAD=20^\circ$，則$\angle   AEB$的度數為何？

解：

$\overline{AE}$是$\angle BAD$的角平分線$\Rightarrow \angle BAE=\angle EAD=\beta \Rightarrow 84=2\beta\Rightarrow \beta=42$；
$\overline{AC}$是$\angle DCE$的角平分線$\Rightarrow \angle DCA=\angle ACE=\alpha$；
$\angle B= \widehat {AD}+ \widehat { DC }=\alpha+20$

$\angle D=\widehat {AB}+ \widehat { BC }=\alpha+\beta+\beta-20=\alpha+2\beta-20$  

$\triangle ADC\Rightarrow 20+\alpha+(\alpha-2\beta-20)=180\Rightarrow \alpha+\beta=90$ 

$\triangle ABE\Rightarrow \angle AEB=180-\angle B-\angle BAE=180-(\alpha+20)-\beta=160-(\alpha+\beta) =160-90=70^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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15.

解：

正五邊形的每個內角均為$(5-2)\times 180\div 5=108^\circ \Rightarrow \angle A=108^\circ$；
$\triangle AFB\Rightarrow \angle AFB=180-108-16=56^\circ\Rightarrow \angle GFA=108-56=52^\circ$
$\angle BFP=180-52-56=72^\circ\Rightarrow \angle EFP=\angle GFA=52^\circ$
$\triangle EFP\Rightarrow \angle P=180-\angle E-\angle EFP=180-108-52=20^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

作$\overline{DH}//\overline{AB}$，分別交$\overline{EF}$及$\overline{BC}$於P點及H點，如上圖。
$\overline{DH}//\overline{AB}\Rightarrow \overline{EP}=\overline{AD}=30$
$\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{BH}=130-30=100$
$\overline{DF}:\overline{DC}=\overline{PF}:\overline{HC}\Rightarrow 3:5=\overline{PF}:100 \Rightarrow \overline{PF}=60$
$\overline{EF}=\overline{EP}+\overline{PF}=30+60=90$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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17.

解：

由於O為兩三角形的外心，所以A、B、C、D共圓，且圓心為O，如上圖。
對同弧的圓心角是圓周角的2倍，即$\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ$；
$\overline{OA}=\overline{OB}$=半徑$\Rightarrow \triangle OAB$為等腰，因此$\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ$。$\alpha = 51-18=33^\circ,  \beta = 51-19=32^\circ$，$\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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18. 如圖，矩形ABCD中，E為$\overline{BC}$上一點，$\overline{CE}>\overline{BE}$，且$\angle AED=90^\circ$。若$\overline{AD}=25$，$\triangle AED$面積為150，則$\overline{AE}$的長度為何？

(A) 12  (B) 15  (C) 16  (D) 20

解：

$\triangle AED$面積為150$\Rightarrow 25h\div 2=150\Rightarrow h=12$
$a^2+b^2=25^2\Rightarrow (x^2+h^2)+(h^2+(25-x)^2)=25^2\Rightarrow 2\times 12^2+x^2+(25-x)^2 = 25^2$
$\Rightarrow x^2-25x+144=0\Rightarrow (x-16)(x-9)=0\Rightarrow x=9\Rightarrow a^2=h^2+x^2=12^2+9^2=225\Rightarrow a=15$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
全班有$n$人，平均$a$分，則$\frac{5\times 12+na}{n}=a+3\Rightarrow \frac{60}{n}+a=a+3\Rightarrow n=20$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

顯然C為$\overline{AB}$的中點，坐標為$(-8\div 2,-10\div 2)=(-4,-5)$，見上圖。
因此經過O、C的直線方程式為$5x=4y\Rightarrow y=\frac{5}{4}x$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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21. 如圖，$\triangle ABC$中，D、E兩點分別在$\overline{BC}$、$\overline{AD}$上，$\overline{AB}=\overline{AC}$，$\overline{CD}=\overline{CE}$。若$\angle ACE=35^\circ$，$\angle BAD=10^\circ$，則$\angle CAE$的度數為何？

$(A)30^\circ\;(B)35^\circ\;(C)40^\circ\;(D)45^\circ$
解：

$\angle ECD=a\Rightarrow \angle ABC=\angle ACB=35+a$
$\angle ADC=b=\angle ABC+\angle BAD=35+a+10=45+a$
$\triangle CDE\Rightarrow b+b+a=180\Rightarrow 2(45+a)+a=180\Rightarrow a=30$
$\angle A+\angle B+\angle C=180\Rightarrow (10+\angle CAE)+2(a+35)=180\Rightarrow \angle CAE =40^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

直線$\overline{BB'}$與$\overline{AA'}$交於C點，因此C=(7,4)；
ABB'A'面積=$\triangle ABC-\triangle B'CA' =\overline{BC}\times\overline{AC}\div 2-\overline{B'C}\times\overline{A'C}\div 2$
$=  6\times 9\div 2-2\times 1\div 2= 27-1=26$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

三角形ACB為直角三角形，因此其外接圓圓心為斜邊的中點，即O點為圓心；令半徑長度為$a$，即$\overline{OB}=\overline{OC}=a$，因此$h^2=a^2-7^2=30^2-(a-7)^2\Rightarrow a^2-7a-450=0\Rightarrow (a-25)(a+18)=0\Rightarrow 25$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

在直角三角形AGO中，${\overline{AG}}^2={\overline{AO}}^2-{\overline{AG}}^2 =25^2-15^2 =400 \Rightarrow \overline{AG}=20$；

同理，在直角三角形FOC中，${\overline{FC}}^2={\overline{OC}}^2-{\overline{FO}}^2 =25^2-7^2 =576 \Rightarrow \overline{FC}=24$；

$\overline{AE}-\overline{CE}=(\overline{AG}-\overline{EG})-(\overline{FC}-\overline{FE}) =(20-7)-(24-15) =13-9=4$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

令$\angle C=a\Rightarrow \angle ADB=a+9$，且$\angle DBC=\angle BAE=b$；
$\angle AEB=\angle DCB=a$、$\angle DBE =\angle BAE=b$且$\overline{BE}=\overline{DC}$，所以$\triangle BAE$與$\triangle DBC$全等；
$\angle AFB=\angle FBE+\angle FEB=a+b=\angle FAD+\angle FDA=33+a+9\Rightarrow a+b= 42+a \Rightarrow b=42^\circ$；
$\triangle BAE$與$\triangle DBC$全等$\Rightarrow \overline{BA}=\overline{BD}\Rightarrow b+33=a+9$
$\Rightarrow 42+33=a+9\Rightarrow a=66\Rightarrow \angle ABE=180-a-b=180-66-42=72$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

$\overline{EF}//\overline{CD}\Rightarrow \angle FGD=180-55=125^\circ$
$\overline{FG}//\overline{BC}\Rightarrow \angle C=\angle FGD=125^\circ$
$\angle A=360-56-56-125=123^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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27. 某班公車路線先後行經甲、乙兩站，已知有一輛該班路線的公車，在甲站停靠時，上、下車人數比為3:1，在乙站停靠時，上、下車人數比為4:7。若車上原有若干人，經過甲、乙兩站後，車上人數和原有人數相同，則甲、乙兩站上車的人數比為何？
(A) 1:2   (B) 3:11  (C) 9:8   (D) 33:16
解：
假設車上原有$x$人，甲站上、下車人數為$3m,m$，乙站上、下車人數為$4n,7n$；
經過甲站後，車上人數變為$x+3m-m=x+2m$，再經過乙站後，車上人數變為$x+2m+4n-7n =x+2m-3n$。由題意知:$x+2m-3n=x\Rightarrow m=\frac{3}{2}m$。
甲、乙兩站上車的人數比為$3m:4n = 3\times\frac{3}{2}n:4n=9:8$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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28. 若有一數列的第$n$項可用$(n+\sqrt{n})^2$表示，則此數列有多少項會介於1~1600之間？
(A)  34  (B) 35  (C) 39  (D) 40
解：
$a_n=(n+\sqrt{n})^2\Rightarrow 1\le (n+\sqrt{n})^2\le 1600\Rightarrow 1\le n+\sqrt{n}\le 40$
$n=34\Rightarrow n+\sqrt{n}=34+\sqrt{34}=34+5.X=39.X<40$
$n=35\Rightarrow n+\sqrt{n}=35+\sqrt{35}=35+5.X=40.X>40$
故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

$\frac{ABFD面積}{ABCD面積}=\frac{2ab}{21b}=\frac{4}{7}\Rightarrow a=6$
在直角$\triangle BFE\Rightarrow \overline{BF}^2=\overline{BE}^2+\overline{EF}^2\Rightarrow 100=a^2+b^2=36+b^2\Rightarrow b=8$
在直角$\triangle BEC\Rightarrow \overline{BC}^2=\overline{BE}^2+\overline{EC}^2 =64+225=289 \Rightarrow \overline{BC}=17$
ABCD周長$=10+10+17+17=54$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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30. 已知$a$、$b$為介於100與400之間的兩正整數，且$a$、$b$皆有奇數個正因數。若$a$、$b$的最大公因數為36，則$a$、$b$的最小公倍數為何？
$(A) 2^3\times 3^3$
$(B) 2^3\times 3^4$
$(C) 2^4\times 3^4$
$(D) 2^6\times 3^4$

解：
$a$、$b$皆有奇數個正因數代表$a=m^2,b=n^2, m,n$分別是$a$、$b$的因數；
假設$a$、$b$的最小公倍數為$k\Rightarrow 36k=ab=m^2n^2\Rightarrow k=\left(\frac{mn}{6}\right)^2$
由於$k$是某個數的平方，因此(A)及(B)不合；又$a$、$b$為介於100與400之間，因此$m$、$n$介於10與20之間，即$100\le m\times n\le 400\Rightarrow 16\le \frac{mn}{6}\le 66 \Rightarrow 16^2\le k\le 66^2=4356<2^6\times 3^4=5184$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

(1)
$\overline{AD}//\overline{BC}\Rightarrow \angle DAC=\angle ACB=\angle 1$；
$\angle B+\angle 1=90^\circ=\angle ACD+\angle 1\Rightarrow \angle B=\angle ACD$
(2) 由於$\angle B=\angle ACD, \angle BAC=\angle D=90^\circ\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle DCA$ (AAA)，因此$\overline{BC}:\overline{CA}=\overline{CA}:\overline{AD} \Rightarrow \overline{AC}^2=25\times 16\Rightarrow \overline{AC}=\bbox[red,2pt]{20}$

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2. 坐標平面上，二次函數$y=(x-1)(5-x)$的圖形頂點為A，且此函數圖形與一水平線相交於B、C兩點，$\overline{BC}=2k$。$\triangle ABC$面積為$16k$，則$k$值為何？請完整寫出解過程？
解：

$y=(x-1)(5-x)=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4\Rightarrow A=(3,2)\Rightarrow$該函數與X軸交於P=(1,0)及Q=(5,0)，如上圖。
$\triangle ABC$面積$=2k\times h\div 2=16k\Rightarrow h=16\Rightarrow B=(3-k,4-h)=(3-k,-12)$代入函式可得$-12=(2-k)(2+k)\Rightarrow k^2=16\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{4}$

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- END -