基北區臺北市立麗山高級中學
107 學年度高級中等學校特色招生考試
數學能力測驗詳解
解：
$${ \left( n+\sqrt { n } \right) }^{ 2 }\le 1600\Rightarrow n+\sqrt { n } \le 40\\ n=34\Rightarrow n+\sqrt { n } =34+5.X=39.X\le 40\\ n=35\Rightarrow n+\sqrt { n } =35+5.X=40.X>40$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
正五邊形的每個內角均為\((5-2)\times 180\div 5=108^\circ \Rightarrow \angle A=108^\circ\)；
\(\triangle AFB\Rightarrow \angle AFB=180-108-16=56^\circ\Rightarrow \angle GFA=108-56=52^\circ\)
\(\angle BFP=180-52-56=72^\circ\Rightarrow \angle EFP=\angle GFA=52^\circ\)
\(\triangle EFP\Rightarrow \angle P=180-\angle E-\angle EFP=180-108-52=20^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
珍奶4杯花費\(32\times 4=128\)元，並獲贈2杯綠茶；紅茶3杯花費\(24\times 3=72\)元。
目前已花費128+72=200元，並得到4+2+3=9杯飲料，剩下320-200=120元剛好買5杯紅茶。
解：
假設男社員只有2人: 男社長171公分及另1人169公分，則平均170公分；
假設女社員只有2人:女副社長158及另1人172公分，則平均165公分；
\(a=(169+158+172)\div 3=166.3, b=(171+169+172)\div 3=170.6, c=(169+172)\div 2=170.5\)
因此\(b>c>a\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
假設\(L: y=a, M: x=b\Rightarrow B=(18, 2a-6), C=(2b-18,6)\Rightarrow \overline{BC}\)中點坐標\((b, a)=(-6,-1)\)，因此\(a=-1,b=-6, B=(18,-8), C=(-30, 6)\)；
\(\triangle ABC\)周長\(=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=14+48+ \sqrt{48^2+14^2}= 62+50=112\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
正六邊形的每一內角為\((6-2)\times 180\div 6=120^\circ\)，令其邊長為\(a\)，如上圖。
直角\(\triangle CDI\Rightarrow h=\overline{DI}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)，由\(\triangle HEG\)面積可知: \(8=\overline{GE}\times h\div 2=\frac{a}{2}\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div 2\Rightarrow \sqrt{3}a^2=64\)
梯形\(ABCF\)面積\(=(\overline{AB}+\overline{CF})\times h\div 2=(a+(a/2+a+a/2))\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div 2 =\frac{3}{4}\times \sqrt{3}a^2=\frac{3}{4}\times 64=48\)
四邊形\(ABCH\)面積=梯形\(ABCF-\triangle AHF\)面積=48-12=36，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
\(|x-1|=a\)代表x與1的距離為a；\(|x-y|=b\)代表x與y的距離為b；由於a>b，相關位置如上圖，不會出現\(y<1<x\)的情形，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
男員工\(a\Rightarrow\)女員工\(a-35\Rightarrow 戴眼鏡員工a+10\)；
戴眼鏡男員工\(b\Rightarrow \)未戴眼鏡男員工\(b-5\Rightarrow b+b-5=a\Rightarrow b=\frac{a+5}{2}\Rightarrow \)未戴眼鏡男員工\(b-5=\frac{a+5}{2}-5=\frac{a-5}{2}\)；
戴眼鏡女員工=戴眼鏡員工-戴眼鏡男員工-\(a+10-\frac{a+5}{2}=\frac{a+15}{2}\Rightarrow\)未戴眼鏡女員工=\(a+10-\frac{a+15}{2}=\frac{a-85}{2}\)；
因此戴眼鏡男員工減未戴眼鏡女員工=\(\frac{a+5}{2}-\frac{a-85}{2}=\frac{90}{2}=45\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
解：
最小的正因數為1、最大的正因數就是自己。因此\(a_1=1,a_{27}\)就是該正整數，又\( a_1\times a_{27}=a_2\times a_{26}=\cdots=a_{13}\times a_{15}=a_{14}^2\)；
\(b_{10}\)有10個因數，且\(10=5\times 2\Rightarrow b_{10}=m^4\times n\)，其中m與n為質數。
從\(b_4,b_7\)的公因數為\(4=2^2\)，且\(b_7=3b_4\)可知\(m=2,n=3\)，即\(b_{10}=2^4\times 3=48=a_{14}\)；
因此\(a_{27}=a_{14}^2=48^2=2^8\times 3^2\Rightarrow a_{26}=2^7\times 3^2\Rightarrow a_{25}=2^8\times 3\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
原函式圖形如上圖左，向下移動3單位後如上圖右。注意P點位置，原P點y坐標介於1與3之間，往下移動3單位後，P點的y坐標為負值。因此移動後的函式有兩相異正根，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：$$\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-64\times 24 }{ 16 } =\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 9 }\times 3 }{ { 2 }^{ 4 } } ={ 2 }^{ 6 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 5 }\times 3=1632$$故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
四邊形OABC面積=\(\triangle OAB+\triangle OBC = 8\times 6\div 2+8\times 9\div 2=24+36=60\)
總共買了9+5=14杯飲料，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
假設男社員只有2人: 男社長171公分及另1人169公分，則平均170公分；
假設女社員只有2人:女副社長158及另1人172公分，則平均165公分；
\(a=(169+158+172)\div 3=166.3, b=(171+169+172)\div 3=170.6, c=(169+172)\div 2=170.5\)
因此\(b>c>a\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
假設\(L: y=a, M: x=b\Rightarrow B=(18, 2a-6), C=(2b-18,6)\Rightarrow \overline{BC}\)中點坐標\((b, a)=(-6,-1)\)，因此\(a=-1,b=-6, B=(18,-8), C=(-30, 6)\)；
\(\triangle ABC\)周長\(=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=14+48+ \sqrt{48^2+14^2}= 62+50=112\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
正六邊形的每一內角為\((6-2)\times 180\div 6=120^\circ\)，令其邊長為\(a\)，如上圖。
直角\(\triangle CDI\Rightarrow h=\overline{DI}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)，由\(\triangle HEG\)面積可知: \(8=\overline{GE}\times h\div 2=\frac{a}{2}\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div 2\Rightarrow \sqrt{3}a^2=64\)
梯形\(ABCF\)面積\(=(\overline{AB}+\overline{CF})\times h\div 2=(a+(a/2+a+a/2))\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div 2 =\frac{3}{4}\times \sqrt{3}a^2=\frac{3}{4}\times 64=48\)
四邊形\(ABCH\)面積=梯形\(ABCF-\triangle AHF\)面積=48-12=36，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
\(|x-1|=a\)代表x與1的距離為a；\(|x-y|=b\)代表x與y的距離為b；由於a>b，相關位置如上圖，不會出現\(y<1<x\)的情形，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
男員工\(a\Rightarrow\)女員工\(a-35\Rightarrow 戴眼鏡員工a+10\)；
戴眼鏡男員工\(b\Rightarrow \)未戴眼鏡男員工\(b-5\Rightarrow b+b-5=a\Rightarrow b=\frac{a+5}{2}\Rightarrow \)未戴眼鏡男員工\(b-5=\frac{a+5}{2}-5=\frac{a-5}{2}\)；
戴眼鏡女員工=戴眼鏡員工-戴眼鏡男員工-\(a+10-\frac{a+5}{2}=\frac{a+15}{2}\Rightarrow\)未戴眼鏡女員工=\(a+10-\frac{a+15}{2}=\frac{a-85}{2}\)；
因此戴眼鏡男員工減未戴眼鏡女員工=\(\frac{a+5}{2}-\frac{a-85}{2}=\frac{90}{2}=45\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
\(101011\times 101011=10203222121\Rightarrow a=1101011\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
最小的正因數為1、最大的正因數就是自己。因此\(a_1=1,a_{27}\)就是該正整數，又\( a_1\times a_{27}=a_2\times a_{26}=\cdots=a_{13}\times a_{15}=a_{14}^2\)；
\(b_{10}\)有10個因數，且\(10=5\times 2\Rightarrow b_{10}=m^4\times n\)，其中m與n為質數。
從\(b_4,b_7\)的公因數為\(4=2^2\)，且\(b_7=3b_4\)可知\(m=2,n=3\)，即\(b_{10}=2^4\times 3=48=a_{14}\)；
因此\(a_{27}=a_{14}^2=48^2=2^8\times 3^2\Rightarrow a_{26}=2^7\times 3^2\Rightarrow a_{25}=2^8\times 3\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
解：$$\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-64\times 24 }{ 16 } =\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 9 }\times 3 }{ { 2 }^{ 4 } } ={ 2 }^{ 6 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 5 }\times 3=1632$$故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
四邊形OABC面積=\(\triangle OAB+\triangle OBC = 8\times 6\div 2+8\times 9\div 2=24+36=60\)
線段\(\overline{AB}\)的長度為\(\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}\)，令P至\(\overline{AB}\)的距離為h，則\(\triangle APB=\overline{AB}\times h\div 2=6\sqrt{5}\times h\div 2=60\div 2\Rightarrow h=\frac{60}{6\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
由於\(\overline{OB}\)為\(\angle COA\)的角平分線，因此我們可以在\(\overline{OA}\)上找到一點D，使得\(\triangle OBC\)與\(\triangle OBD\)全等，見上圖。
\(\overline{OC}=\sqrt{5^2+12^2}=13\Rightarrow D=(13,0)\Rightarrow \overline{DA}=16-13=3\)
由於\(\triangle OBC\)與\(\triangle ODB\)面積相等，所以\(\triangle DAB=12\Rightarrow 3n\div 2=12 \Rightarrow n=8\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
假設\(\overline{CH}=\overline{AG}=a\)，在直角\(\triangle AGC\)中，\({\overline{AC}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{HC}}^2\Rightarrow 34^2=a^2+(14+a)^2\Rightarrow (a-16)(a+30)=0 \Rightarrow a=16\)
在直角\(\triangle ABG\)中，\({\overline{AB}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{BG}}^2 \Rightarrow 20^2=16^2+{\overline{BG}}^2\Rightarrow \overline{BG}=12 \)
因此\(\overline{BC}=12+14+16=42\Rightarrow \overline{EF}=(\overline{AD}+\overline{BC})\div 2 =(14+42)\div 2=28\Rightarrow\)梯形AEFD面積=\((\overline{AD}+ \overline{EF}) \times\frac{\overline{AG}}{2}\div 2 = (14+28)\times 8\div 2 =168\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
原號碼牌順序為等差數列\(<a_n>\)
小潔拿走5張牌的號碼總和為600，即\(a_1+a_2+\cdots+a_5=(2a_1+4d)\times 5\div 2=600\Rightarrow a_1+2d=120\)；
阿芳抽取的牌為\(a_8, a_{12},a_{16},...\Rightarrow\)第10張牌為\(a_{44}=1596\Rightarrow a_1+43d=1596\)
由上二式可求得\(a_1=48,d=36\Rightarrow a_{48}=a_{44}+4d=1596+36\times 4=1596+144=1740\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
假設長為\(a\)、寬為\(b\)，則$$\begin{cases} \sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } } =2\sqrt { 5 } \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+b^{ 2 }=20 \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \left( a+b \right) }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }+2ab=20+2\times 6=32 \\ { \left( a-b \right) }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }-2ab=20-2\times 6=8 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=4\sqrt { 2 } \\ a-b=2\sqrt { 2 } \end{cases}\Rightarrow a^{ 2 }-b^{ 2 }=\left( a+b \right) \left( a-b \right) =4\sqrt { 2 } \times 2\sqrt { 2 } =16$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
令\(\angle DAO=a,\angle OAE=b,\angle EAB=c\)，如上圖。
在等腰\(\triangle OAD\Rightarrow 2a+\angle AOD=180\Rightarrow 2a+50=180\Rightarrow a=65^\circ\)
\(\triangle DAF\Rightarrow a+b+82=180\Rightarrow 65+b=98\Rightarrow b=33^\circ\)
在等腰\(\triangle OAB\Rightarrow 2(b+c)+\angle AOB=180\Rightarrow 2(33+c)+46=180 \Rightarrow c=34^\circ\)
因此\(\angle DAF-\angle BAE=a-c=65-34=31^\circ\)， 故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
解：
由於O為兩三角形的外心，所以A、B、C、D共圓，且圓心為O，如上圖。
對同弧的圓心角是圓周角的2倍，即\(\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ\)；
\(\overline{OA}=\overline{OB}\)=半徑\(\Rightarrow \triangle OAB\)為等腰，因此\(\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ\)。\( \alpha = 51-18=33^\circ, \beta = 51-19=32^\circ\)，\(\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
\(4=1\times 4=4\times 1=2\times 2\)有三種組合；\(15=1\times 15=15\times 1=3\times 5=5\times 3\)有種組合，因此可能的值有\(3\times 4=\bbox[red,2pt]{12}\)種。
解：
正六邊形的每一內角為\(120^\circ\Rightarrow \triangle DCG\)三內角為\(30^\circ-60^\circ-90^\circ\)，見上圖。
因此\(\overline{DG}=\frac{a}{2},\overline{GC}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow\)原長方形的長為\(\frac{a}{2}+a+\frac{a}{2}=2a\)，寬為\(\frac{\sqrt{3}a}{2}\times 2=\sqrt{3}a\)，其面積為\(2a\times\sqrt{3}a=100\sqrt{3}\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{5\sqrt{2}}\)。
解：
\(2018=2\times 1009\)，由於1009是質數，所以n至少是1009+2=\(\bbox[red,2pt]{1011}\)。
也就是把正整數分成1010類(1-1010中第1個符合條件的是1008+1010=2018)，在連續1011個正整數中一定可以找到a和b，使得a+b是2018的倍數。
解：
第23個圖形的外框每邊有23+5=28顆棋子，外框共有28+27+27+26=108顆棋子；
圖形中間的交叉共有26+26=52顆棋子，因此總共會需要108+52=\(\bbox[red,2pt]{160}\)顆棋子。
解：
黑塊是五邊形，12個黑塊有\(12\times 5=60\)個邊；
假設六邊形的白塊有\(n\)個，每一個白塊有三個邊與黑塊相鄰，即\((6-3)\times n=60 \Rightarrow n=20\)，也就是白塊共有\(\bbox[red,2pt]{20}\)塊。
解：
解：
假設\(\overline{DF}=a\Rightarrow \overline{GD}=a\Rightarrow \overline{AG}=2a\)；
在直角\(\triangle GAD\)中，\({\overline{AD}}^2={\overline{GA}}^2+{\overline{GD}}^2 \Rightarrow 100=5a^2\Rightarrow a=2\sqrt{5}\)
\(\angle 2+\angle 3=90^\circ=\angle 3+\angle 4\Rightarrow \angle 2=\angle 4\Rightarrow \triangle PFD\sim\triangle DGQ\Rightarrow \frac{\overline{PF}}{\overline{FD}}=\frac{\overline{GD}}{\overline{GA}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \overline{PF}=\frac{a}{2}\)
AFPD面積=正方形AEFG面積-\(\triangle PFD-\triangle DGA=4a^2-\frac{a^2}{4}-a^2= \frac{11a^2}{4} =\frac{11}{4}\times(2\sqrt{5})^2=\bbox[red,2pt]{55}\)
解：
甲走到X軸(一、四象限交接處): 走了100公尺，花了15秒，此時乙走了\(15\times \frac{100}{12}= 125\)公尺，已到了第三象限；
甲走到Y軸(一、二象限交接處): 走了200公尺，花了30秒，此時乙走了\(30\times \frac{100}{12}= 250\)公尺，已到了第四象限；
依此類推，甲走了一圈回到A點: 走了400公尺，此時乙走了500公尺，在X軸(二、四象限交接處)；乙再走100公尺到了Y軸(三、四象交接處)，此時甲還在第四象限(距A點\(12\times\frac{100}{15}=80\)公尺處)。只要再一秒鐘，甲、乙都在第四象限，因此兩人第一次位在同一象限是在第\(\bbox[red,2pt]{4}\)象限。
解：
直線\(\overline{AB}\)的斜率為\(-\frac{2}{3}\Rightarrow \overline{BP}\)的斜率為\(\frac{2}{3}\)，因此\(\overline{BP}\)直線方程式為\(y=\frac{2}{3}-2\)；
同理，直線\(\overline{CD}\)的斜率為\(-\frac{5}{6}\Rightarrow \overline{DP}\)的斜率為\(\frac{5}{6}\)，因此\(\overline{DP}\)直線方程式為\(y=\frac{5}{6}-5\)；
再求兩直線的交點，可得P坐標為\((\bbox[red,2pt]{18,10})\)。
解：
\(\overline{AD}=\overline{BC}\Rightarrow \overline{EF}:\overline{HK}=\frac{1}{4}:\frac{3}{5}= 5:12\)，因此假設\(\overline{EF}=5a, \overline{HK}=12a\)，並假設經過L的水平線與\(\overline{AD}\)的距離為\(h_1\)與\(\overline{BC}\)的距離是\(h_2\)，見上圖。
\(\triangle LEF\sim\triangle LKH\Rightarrow \triangle LEF:\triangle LKH={\overline{EF}}^2 : {\overline{HK}}^2 = 25:144\Rightarrow \triangle LKH=144\)；
同理可知\(h_1:h_2=\overline{EF}:\overline{HK}=5:12\)；
\(\triangle LEF =\overline{5a}\times h_1\div 2=25\Rightarrow ah_1=10\Rightarrow \)平行四邊形 AMND的面積=\(\overline{AD}\times h_1=5a\times 4\times h_1=20ah_1=200\)；
同理\(\triangle LKH =\overline{12a}\times h_2\div 2=144\Rightarrow ah_2=24\Rightarrow \)平行四邊形 MNCB的面積=\(\overline{BC}\times h_2=12a\times \frac{5}{3}\times h_2=20ah_2=480\)；
解：
由於\(\overline{OB}\)為\(\angle COA\)的角平分線，因此我們可以在\(\overline{OA}\)上找到一點D，使得\(\triangle OBC\)與\(\triangle OBD\)全等，見上圖。
\(\overline{OC}=\sqrt{5^2+12^2}=13\Rightarrow D=(13,0)\Rightarrow \overline{DA}=16-13=3\)
由於\(\triangle OBC\)與\(\triangle ODB\)面積相等，所以\(\triangle DAB=12\Rightarrow 3n\div 2=12 \Rightarrow n=8\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
假設\(\overline{CH}=\overline{AG}=a\)，在直角\(\triangle AGC\)中，\({\overline{AC}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{HC}}^2\Rightarrow 34^2=a^2+(14+a)^2\Rightarrow (a-16)(a+30)=0 \Rightarrow a=16\)
在直角\(\triangle ABG\)中，\({\overline{AB}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{BG}}^2 \Rightarrow 20^2=16^2+{\overline{BG}}^2\Rightarrow \overline{BG}=12 \)
因此\(\overline{BC}=12+14+16=42\Rightarrow \overline{EF}=(\overline{AD}+\overline{BC})\div 2 =(14+42)\div 2=28\Rightarrow\)梯形AEFD面積=\((\overline{AD}+ \overline{EF}) \times\frac{\overline{AG}}{2}\div 2 = (14+28)\times 8\div 2 =168\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
小潔拿走5張牌的號碼總和為600，即\(a_1+a_2+\cdots+a_5=(2a_1+4d)\times 5\div 2=600\Rightarrow a_1+2d=120\)；
阿芳抽取的牌為\(a_8, a_{12},a_{16},...\Rightarrow\)第10張牌為\(a_{44}=1596\Rightarrow a_1+43d=1596\)
由上二式可求得\(a_1=48,d=36\Rightarrow a_{48}=a_{44}+4d=1596+36\times 4=1596+144=1740\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
假設長為\(a\)、寬為\(b\)，則$$\begin{cases} \sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } } =2\sqrt { 5 } \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+b^{ 2 }=20 \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \left( a+b \right) }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }+2ab=20+2\times 6=32 \\ { \left( a-b \right) }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }-2ab=20-2\times 6=8 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=4\sqrt { 2 } \\ a-b=2\sqrt { 2 } \end{cases}\Rightarrow a^{ 2 }-b^{ 2 }=\left( a+b \right) \left( a-b \right) =4\sqrt { 2 } \times 2\sqrt { 2 } =16$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
在等腰\(\triangle OAD\Rightarrow 2a+\angle AOD=180\Rightarrow 2a+50=180\Rightarrow a=65^\circ\)
\(\triangle DAF\Rightarrow a+b+82=180\Rightarrow 65+b=98\Rightarrow b=33^\circ\)
在等腰\(\triangle OAB\Rightarrow 2(b+c)+\angle AOB=180\Rightarrow 2(33+c)+46=180 \Rightarrow c=34^\circ\)
因此\(\angle DAF-\angle BAE=a-c=65-34=31^\circ\)， 故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
\(A=(-7,-2), B=(-3,6), D=(7,26)\)，颱風眼走到D點後，C就進入暴風圈，見上圖。
\(\overline{AB}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\Rightarrow\)颱風每小時走了\(\sqrt{5}\)；
\(\overline{AD}=\overline{AC}-\sqrt{5}=\sqrt{14^2+28^2}-\sqrt{5}=13\sqrt{5}\)，需要走13小時。從下午6時(18:00)+13小時，即隔日的7時，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
對同弧的圓心角是圓周角的2倍，即\(\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ\)；
\(\overline{OA}=\overline{OB}\)=半徑\(\Rightarrow \triangle OAB\)為等腰，因此\(\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ\)。\( \alpha = 51-18=33^\circ, \beta = 51-19=32^\circ\)，\(\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
\(4=1\times 4=4\times 1=2\times 2\)有三種組合；\(15=1\times 15=15\times 1=3\times 5=5\times 3\)有種組合，因此可能的值有\(3\times 4=\bbox[red,2pt]{12}\)種。
解：
因此\(\overline{DG}=\frac{a}{2},\overline{GC}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow\)原長方形的長為\(\frac{a}{2}+a+\frac{a}{2}=2a\)，寬為\(\frac{\sqrt{3}a}{2}\times 2=\sqrt{3}a\)，其面積為\(2a\times\sqrt{3}a=100\sqrt{3}\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{5\sqrt{2}}\)。
解：
也就是把正整數分成1010類(1-1010中第1個符合條件的是1008+1010=2018)，在連續1011個正整數中一定可以找到a和b，使得a+b是2018的倍數。
解：
第23個圖形的外框每邊有23+5=28顆棋子，外框共有28+27+27+26=108顆棋子；
圖形中間的交叉共有26+26=52顆棋子，因此總共會需要108+52=\(\bbox[red,2pt]{160}\)顆棋子。
解：
假設六邊形的白塊有\(n\)個，每一個白塊有三個邊與黑塊相鄰，即\((6-3)\times n=60 \Rightarrow n=20\)，也就是白塊共有\(\bbox[red,2pt]{20}\)塊。
解：
\(\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow \angle ACB=\angle ABC=66^\circ\)
\(\angle ACB=66^\circ=\angle CAD\Rightarrow \overline{AD}//\overline{BC}\Rightarrow \angle ADB=\angle DBC=33^\circ\)
\(\angle ADB=33^\circ=\angle ABC\Rightarrow \triangle ABD\)為等腰 \(\Rightarrow \overline{AB} =\overline{AD}\)
\(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}\Rightarrow \triangle ACD\)為等腰\(\Rightarrow \angle ACD=(180-\angle DAC)\div 2=(180-66)\div 2=\bbox[red,2pt]{57^\circ}\)。
解：
假設\(\overline{DF}=a\Rightarrow \overline{GD}=a\Rightarrow \overline{AG}=2a\)；
在直角\(\triangle GAD\)中，\({\overline{AD}}^2={\overline{GA}}^2+{\overline{GD}}^2 \Rightarrow 100=5a^2\Rightarrow a=2\sqrt{5}\)
\(\angle 2+\angle 3=90^\circ=\angle 3+\angle 4\Rightarrow \angle 2=\angle 4\Rightarrow \triangle PFD\sim\triangle DGQ\Rightarrow \frac{\overline{PF}}{\overline{FD}}=\frac{\overline{GD}}{\overline{GA}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \overline{PF}=\frac{a}{2}\)
AFPD面積=正方形AEFG面積-\(\triangle PFD-\triangle DGA=4a^2-\frac{a^2}{4}-a^2= \frac{11a^2}{4} =\frac{11}{4}\times(2\sqrt{5})^2=\bbox[red,2pt]{55}\)
解：
甲走到X軸(一、四象限交接處): 走了100公尺，花了15秒，此時乙走了\(15\times \frac{100}{12}= 125\)公尺，已到了第三象限；
甲走到Y軸(一、二象限交接處): 走了200公尺，花了30秒，此時乙走了\(30\times \frac{100}{12}= 250\)公尺，已到了第四象限；
依此類推，甲走了一圈回到A點: 走了400公尺，此時乙走了500公尺，在X軸(二、四象限交接處)；乙再走100公尺到了Y軸(三、四象交接處)，此時甲還在第四象限(距A點\(12\times\frac{100}{15}=80\)公尺處)。只要再一秒鐘，甲、乙都在第四象限，因此兩人第一次位在同一象限是在第\(\bbox[red,2pt]{4}\)象限。
解：
同理，直線\(\overline{CD}\)的斜率為\(-\frac{5}{6}\Rightarrow \overline{DP}\)的斜率為\(\frac{5}{6}\)，因此\(\overline{DP}\)直線方程式為\(y=\frac{5}{6}-5\)；
再求兩直線的交點，可得P坐標為\((\bbox[red,2pt]{18,10})\)。
解：
\(\triangle LEF\sim\triangle LKH\Rightarrow \triangle LEF:\triangle LKH={\overline{EF}}^2 : {\overline{HK}}^2 = 25:144\Rightarrow \triangle LKH=144\)；
同理可知\(h_1:h_2=\overline{EF}:\overline{HK}=5:12\)；
\(\triangle LEF =\overline{5a}\times h_1\div 2=25\Rightarrow ah_1=10\Rightarrow \)平行四邊形 AMND的面積=\(\overline{AD}\times h_1=5a\times 4\times h_1=20ah_1=200\)；
同理\(\triangle LKH =\overline{12a}\times h_2\div 2=144\Rightarrow ah_2=24\Rightarrow \)平行四邊形 MNCB的面積=\(\overline{BC}\times h_2=12a\times \frac{5}{3}\times h_2=20ah_2=480\)；
因此ABCD面積=\(200+480=\bbox[red,2pt]{680}\)。
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