107學年基北區臺北市立麗山高級中學特招數學詳解

基北區臺北市立麗山高級中學

107 學年度高級中等學校特色招生考試

數學能力測驗詳解

解：

$${ \left( n+\sqrt { n }  \right)  }^{ 2 }\le 1600\Rightarrow n+\sqrt { n } \le 40\\ n=34\Rightarrow n+\sqrt { n } =34+5.X=39.X\le 40\\ n=35\Rightarrow n+\sqrt { n } =35+5.X=40.X>40$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：

正五邊形的每個內角均為$(5-2)\times   180\div   5=108^\circ   \Rightarrow   \angle   A=108^\circ$；
$\triangle   AFB\Rightarrow   \angle  AFB=180-108-16=56^\circ\Rightarrow   \angle   GFA=108-56=52^\circ$
$\angle   BFP=180-52-56=72^\circ\Rightarrow   \angle   EFP=\angle GFA=52^\circ$
$\triangle   EFP\Rightarrow   \angle   P=180-\angle   E-\angle EFP=180-108-52=20^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

珍奶一杯$40\times 0.8=32$元、紅茶一杯$30\times 0.8=24$元；

珍奶4杯花費$32\times 4=128$元，並獲贈2杯綠茶；紅茶3杯花費$24\times 3=72$元。

目前已花費128+72=200元，並得到4+2+3=9杯飲料，剩下320-200=120元剛好買5杯紅茶。

總共買了9+5=14杯飲料，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：
假設男社員只有2人: 男社長171公分及另1人169公分，則平均170公分；
假設女社員只有2人:女副社長158及另1人172公分，則平均165公分；
$a=(169+158+172)\div 3=166.3, b=(171+169+172)\div 3=170.6, c=(169+172)\div 2=170.5$
因此$b>c>a$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：
假設$L:  y=a,   M:   x=b\Rightarrow   B=(18,   2a-6),  C=(2b-18,6)\Rightarrow   \overline{BC}$中點坐標$(b,   a)=(-6,-1)$，因此$a=-1,b=-6,   B=(18,-8),   C=(-30,  6)$；
$\triangle   ABC$周長$=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=14+48+ \sqrt{48^2+14^2}= 62+50=112$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

正六邊形的每一內角為$(6-2)\times   180\div   6=120^\circ$，令其邊長為$a$，如上圖。
直角$\triangle   CDI\Rightarrow h=\overline{DI}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，由$\triangle   HEG$面積可知:   $8=\overline{GE}\times   h\div   2=\frac{a}{2}\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div   2\Rightarrow  \sqrt{3}a^2=64$
 梯形$ABCF$面積$=(\overline{AB}+\overline{CF})\times   h\div   2=(a+(a/2+a+a/2))\times\frac{\sqrt{3}a}{2}\div   2   =\frac{3}{4}\times \sqrt{3}a^2=\frac{3}{4}\times   64=48$
四邊形$ABCH$面積=梯形$ABCF-\triangle  AHF$面積=48-12=36，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

$|x-1|=a$代表x與1的距離為a；$|x-y|=b$代表x與y的距離為b；由於a>b，相關位置如上圖，不會出現$y<1<x$的情形，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：
男員工$a\Rightarrow$女員工$a-35\Rightarrow 戴眼鏡員工a+10$；
戴眼鏡男員工$b\Rightarrow$未戴眼鏡男員工$b-5\Rightarrow b+b-5=a\Rightarrow b=\frac{a+5}{2}\Rightarrow$未戴眼鏡男員工$b-5=\frac{a+5}{2}-5=\frac{a-5}{2}$；
戴眼鏡女員工=戴眼鏡員工-戴眼鏡男員工-$a+10-\frac{a+5}{2}=\frac{a+15}{2}\Rightarrow$未戴眼鏡女員工=$a+10-\frac{a+15}{2}=\frac{a-85}{2}$；
因此戴眼鏡男員工減未戴眼鏡女員工=$\frac{a+5}{2}-\frac{a-85}{2}=\frac{90}{2}=45$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

$101011\times 101011=10203222121\Rightarrow a=1101011$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：
最小的正因數為1、最大的正因數就是自己。因此$a_1=1,a_{27}$就是該正整數，又$a_1\times a_{27}=a_2\times a_{26}=\cdots=a_{13}\times a_{15}=a_{14}^2$；
$b_{10}$有10個因數，且$10=5\times 2\Rightarrow b_{10}=m^4\times n$，其中m與n為質數。
從$b_4,b_7$的公因數為$4=2^2$，且$b_7=3b_4$可知$m=2,n=3$，即$b_{10}=2^4\times 3=48=a_{14}$；
因此$a_{27}=a_{14}^2=48^2=2^8\times 3^2\Rightarrow a_{26}=2^7\times 3^2\Rightarrow a_{25}=2^8\times 3$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

原函式圖形如上圖左，向下移動3單位後如上圖右。注意P點位置，原P點y坐標介於1與3之間，往下移動3單位後，P點的y坐標為負值。因此移動後的函式有兩相異正根，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解： $$\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-64\times 24 }{ 16 } =\frac { { 2 }^{ 10 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 9 }\times 3 }{ { 2 }^{ 4 } } ={ 2 }^{ 6 }\times { 3 }^{ 3 }-{ 2 }^{ 5 }\times 3=1632$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

四邊形OABC面積=$\triangle OAB+\triangle OBC = 8\times 6\div 2+8\times 9\div 2=24+36=60$

線段$\overline{AB}$的長度為$\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}$，令P至$\overline{AB}$的距離為h，則$\triangle APB=\overline{AB}\times h\div 2=6\sqrt{5}\times h\div 2=60\div 2\Rightarrow h=\frac{60}{6\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

由於$\overline{OB}$為$\angle COA$的角平分線，因此我們可以在$\overline{OA}$上找到一點D，使得$\triangle OBC$與$\triangle OBD$全等，見上圖。
$\overline{OC}=\sqrt{5^2+12^2}=13\Rightarrow D=(13,0)\Rightarrow \overline{DA}=16-13=3$
由於$\triangle OBC$與$\triangle ODB$面積相等，所以$\triangle DAB=12\Rightarrow 3n\div 2=12 \Rightarrow n=8$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

假設$\overline{CH}=\overline{AG}=a$，在直角$\triangle AGC$中，${\overline{AC}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{HC}}^2\Rightarrow 34^2=a^2+(14+a)^2\Rightarrow (a-16)(a+30)=0 \Rightarrow a=16$
在直角$\triangle ABG$中，${\overline{AB}}^2= {\overline{AG}}^2+{\overline{BG}}^2 \Rightarrow 20^2=16^2+{\overline{BG}}^2\Rightarrow \overline{BG}=12$
因此$\overline{BC}=12+14+16=42\Rightarrow \overline{EF}=(\overline{AD}+\overline{BC})\div 2 =(14+42)\div 2=28\Rightarrow$梯形AEFD面積=$(\overline{AD}+ \overline{EF}) \times\frac{\overline{AG}}{2}\div 2 = (14+28)\times 8\div 2 =168$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

原號碼牌順序為等差數列$<a_n>$
小潔拿走5張牌的號碼總和為600，即$a_1+a_2+\cdots+a_5=(2a_1+4d)\times 5\div 2=600\Rightarrow a_1+2d=120$；
阿芳抽取的牌為$a_8, a_{12},a_{16},...\Rightarrow$第10張牌為$a_{44}=1596\Rightarrow a_1+43d=1596$
由上二式可求得$a_1=48,d=36\Rightarrow a_{48}=a_{44}+4d=1596+36\times 4=1596+144=1740$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：
假設長為$a$、寬為$b$，則 $$\begin{cases} \sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } } =2\sqrt { 5 }  \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+b^{ 2 }=20 \\ ab=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \left( a+b \right)  }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }+2ab=20+2\times 6=32 \\ { \left( a-b \right)  }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }-2ab=20-2\times 6=8 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=4\sqrt { 2 }  \\ a-b=2\sqrt { 2 }  \end{cases}\Rightarrow a^{ 2 }-b^{ 2 }=\left( a+b \right) \left( a-b \right) =4\sqrt { 2 } \times 2\sqrt { 2 } =16$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

令$\angle DAO=a,\angle OAE=b,\angle EAB=c$，如上圖。
在等腰$\triangle OAD\Rightarrow 2a+\angle AOD=180\Rightarrow 2a+50=180\Rightarrow a=65^\circ$
$\triangle DAF\Rightarrow a+b+82=180\Rightarrow 65+b=98\Rightarrow b=33^\circ$
在等腰$\triangle OAB\Rightarrow 2(b+c)+\angle AOB=180\Rightarrow 2(33+c)+46=180 \Rightarrow c=34^\circ$
因此$\angle DAF-\angle BAE=a-c=65-34=31^\circ$， 故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：

$A=(-7,-2), B=(-3,6), D=(7,26)$，颱風眼走到D點後，C就進入暴風圈，見上圖。

$\overline{AB}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\Rightarrow$颱風每小時走了$\sqrt{5}$；

$\overline{AD}=\overline{AC}-\sqrt{5}=\sqrt{14^2+28^2}-\sqrt{5}=13\sqrt{5}$，需要走13小時。從下午6時(18:00)+13小時，即隔日的7時，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：

由於O為兩三角形的外心，所以A、B、C、D共圓，且圓心為O，如上圖。
對同弧的圓心角是圓周角的2倍，即$\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ$；
$\overline{OA}=\overline{OB}$=半徑$\Rightarrow \triangle OAB$為等腰，因此$\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ$。$\alpha = 51-18=33^\circ,  \beta = 51-19=32^\circ$，$\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：
$4=1\times 4=4\times 1=2\times 2$有三種組合；$15=1\times 15=15\times 1=3\times 5=5\times 3$有種組合，因此可能的值有$3\times 4=\bbox[red,2pt]{12}$種。

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解：

正六邊形的每一內角為$120^\circ\Rightarrow \triangle DCG$三內角為$30^\circ-60^\circ-90^\circ$，見上圖。
因此$\overline{DG}=\frac{a}{2},\overline{GC}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow$原長方形的長為$\frac{a}{2}+a+\frac{a}{2}=2a$，寬為$\frac{\sqrt{3}a}{2}\times 2=\sqrt{3}a$，其面積為$2a\times\sqrt{3}a=100\sqrt{3}\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{5\sqrt{2}}$。

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解：

$2018=2\times 1009$，由於1009是質數，所以n至少是1009+2=$\bbox[red,2pt]{1011}$。
也就是把正整數分成1010類(1-1010中第1個符合條件的是1008+1010=2018)，在連續1011個正整數中一定可以找到a和b，使得a+b是2018的倍數。

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解：
第23個圖形的外框每邊有23+5=28顆棋子，外框共有28+27+27+26=108顆棋子；
圖形中間的交叉共有26+26=52顆棋子，因此總共會需要108+52=$\bbox[red,2pt]{160}$顆棋子。

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解：

黑塊是五邊形，12個黑塊有$12\times 5=60$個邊；
假設六邊形的白塊有$n$個，每一個白塊有三個邊與黑塊相鄰，即$(6-3)\times n=60 \Rightarrow n=20$，也就是白塊共有$\bbox[red,2pt]{20}$塊。

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解：

$\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow \angle ACB=\angle ABC=66^\circ$

$\angle ACB=66^\circ=\angle CAD\Rightarrow \overline{AD}//\overline{BC}\Rightarrow \angle ADB=\angle DBC=33^\circ$

$\angle ADB=33^\circ=\angle ABC\Rightarrow \triangle ABD$為等腰 $\Rightarrow \overline{AB} =\overline{AD}$

$\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}\Rightarrow \triangle ACD$為等腰$\Rightarrow \angle ACD=(180-\angle DAC)\div 2=(180-66)\div 2=\bbox[red,2pt]{57^\circ}$。

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解：

假設$\overline{DF}=a\Rightarrow \overline{GD}=a\Rightarrow \overline{AG}=2a$；
在直角$\triangle GAD$中，${\overline{AD}}^2={\overline{GA}}^2+{\overline{GD}}^2 \Rightarrow 100=5a^2\Rightarrow a=2\sqrt{5}$
$\angle 2+\angle 3=90^\circ=\angle 3+\angle 4\Rightarrow \angle 2=\angle 4\Rightarrow \triangle PFD\sim\triangle DGQ\Rightarrow \frac{\overline{PF}}{\overline{FD}}=\frac{\overline{GD}}{\overline{GA}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \overline{PF}=\frac{a}{2}$
AFPD面積=正方形AEFG面積-$\triangle PFD-\triangle DGA=4a^2-\frac{a^2}{4}-a^2= \frac{11a^2}{4} =\frac{11}{4}\times(2\sqrt{5})^2=\bbox[red,2pt]{55}$

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解：
甲走到X軸(一、四象限交接處): 走了100公尺，花了15秒，此時乙走了$15\times \frac{100}{12}= 125$公尺，已到了第三象限；
甲走到Y軸(一、二象限交接處): 走了200公尺，花了30秒，此時乙走了$30\times \frac{100}{12}= 250$公尺，已到了第四象限；
依此類推，甲走了一圈回到A點: 走了400公尺，此時乙走了500公尺，在X軸(二、四象限交接處)；乙再走100公尺到了Y軸(三、四象交接處)，此時甲還在第四象限(距A點$12\times\frac{100}{15}=80$公尺處)。只要再一秒鐘，甲、乙都在第四象限，因此兩人第一次位在同一象限是在第$\bbox[red,2pt]{4}$象限。

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解：

直線$\overline{AB}$的斜率為$-\frac{2}{3}\Rightarrow \overline{BP}$的斜率為$\frac{2}{3}$，因此$\overline{BP}$直線方程式為$y=\frac{2}{3}-2$；
同理，直線$\overline{CD}$的斜率為$-\frac{5}{6}\Rightarrow \overline{DP}$的斜率為$\frac{5}{6}$，因此$\overline{DP}$直線方程式為$y=\frac{5}{6}-5$；
再求兩直線的交點，可得P坐標為$(\bbox[red,2pt]{18,10})$。

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解：

$\overline{AD}=\overline{BC}\Rightarrow   \overline{EF}:\overline{HK}=\frac{1}{4}:\frac{3}{5}=   5:12$，因此假設$\overline{EF}=5a,   \overline{HK}=12a$，並假設經過L的水平線與$\overline{AD}$的距離為$h_1$與$\overline{BC}$的距離是$h_2$，見上圖。
$\triangle   LEF\sim\triangle   LKH\Rightarrow   \triangle   LEF:\triangle   LKH={\overline{EF}}^2 :   {\overline{HK}}^2   =   25:144\Rightarrow   \triangle   LKH=144$；
同理可知$h_1:h_2=\overline{EF}:\overline{HK}=5:12$；
$\triangle   LEF   =\overline{5a}\times   h_1\div   2=25\Rightarrow   ah_1=10\Rightarrow$平行四邊形   AMND的面積=$\overline{AD}\times   h_1=5a\times   4\times   h_1=20ah_1=200$；
同理$\triangle   LKH   =\overline{12a}\times   h_2\div   2=144\Rightarrow   ah_2=24\Rightarrow$平行四邊形  MNCB的面積=$\overline{BC}\times   h_2=12a\times  \frac{5}{3}\times   h_2=20ah_2=480$；

因此ABCD面積=$200+480=\bbox[red,2pt]{680}$。

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- END -