105年普考--天文氣象--微積分詳解

105年公務人員普通考試

類科：天文、氣象  科目：微積分

一、求適當的實數$a$ 和$b$滿足下列極限等式 $$\lim_{x\to 1}{\frac{\sqrt{ax+b}-3}{x-1}}=1。$$

解： $$令f\left( x \right) =\sqrt { ax+b } -3,g\left( x \right) =x-1\Rightarrow \lim _{ x\to 1 }{ \frac { \sqrt { ax+b } -3 }{ x-1 }  } =1\Rightarrow \lim _{ x\to 1 }{ \frac { f\left( x \right)  }{ g\left( x \right)  }  } =1\\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( 1 \right) =g\left( 1 \right) =0 \\ f'\left( 1 \right) =g'\left( 1 \right) =1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \sqrt { a+b } =3 \\ \frac { a }{ 2\sqrt { a+b }  } =1 \end{cases}\Rightarrow \frac { a }{ 2\times 3 } =1\Rightarrow a=6\Rightarrow b=3$$ 答：$\bbox[red,2pt]{a=6,b=3}$

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二、求函數$f(x)=\sin{x}$在$x=\pi/2$的泰勒級數(Taylor series)，且決定此級數的收斂區間 (interval of convergence)。
解： $$令t=x-\frac { \pi  }{ 2 } \Rightarrow \sin { x } =\sin { \left( t+\frac { \pi  }{ 2 }  \right)  } =\cos { t } =1-\frac { { t }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { t }^{ 4 } }{ 4! } -\frac { { t }^{ 6 } }{ 6! } +\cdots \\ =\bbox[red,2pt]{1-\frac { { \left( x-\frac { \pi  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { \left( x-\frac { \pi  }{ 2 }  \right)  }^{ 4 } }{ 4! } -\frac { { \left( x-\frac { \pi  }{ 2 }  \right)  }^{ 6 } }{ 6! } +\cdots }$$ 收斂區間為所有實數$\bbox[red,2pt]{R}$。

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三、在定義為$x^2+4y^2\le 24$的金屬橢圓盤上，每點的溫度函數為$T(x,y)=x^2+2x+y^2$。求在金屬橢圓盤上溫度函數$T$ 最高溫和最低溫的值，並且求分別對應最高溫和最低溫的點。
解：
$$T\left( x,y \right) =x^{ 2 }+2x+y^{ 2 }\Rightarrow \begin{cases} T_{ x }(x,y)=2x+2 \\ T_{ y }(x,y)=2y \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} T_{ xx }(x,y)=2 \\ T_{ xy }(x,y)=0 \\ T_{ yy }(x,y)=2 \end{cases}\\ \Rightarrow d(x,y)=T_{ xx }\cdot T_{ yy }-T_{ xy }^{ 2 }=4>0\Rightarrow T有相對極小值,無相對極大值\\ \begin{cases} T_{ x }(x,y)=0 \\ T_{ y }(x,y)=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x+2=0 \\ 2y=0 \end{cases}\Rightarrow (x,y)=(-1,0)有相對極小值T(-1,0)=-1$$ 由於T有相對極小值,無相對極大值，因此其最大值發生在邊界點，即橢圓邊線上，也就是 $$x^{ 2 }+4y^{ 2 }=24\Rightarrow \frac { x^{ 2 } }{ { (2\sqrt { 6 } ) }^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ \sqrt { 6 } ^{ 2 } } =1\Rightarrow x=2\sqrt { 6 } \cos { \theta  } ,y=\sqrt { 6 } \sin { \theta  } \\ \Rightarrow T\left( 2\sqrt { 6 } \cos { \theta  } ,\sqrt { 6 } \sin { \theta  }  \right) =18\cos ^{ 2 }{ \theta  } +4\sqrt { 6 } \cos { \theta  } +6\\ \Rightarrow \theta =0^{ \circ  }時,即(x,y)=(2\sqrt { 6 } ,0),T有最大值18+4\sqrt { 6 } +6=24+4\sqrt { 6 }$$ 答：最高溫為$\bbox[red,2pt]{24+4\sqrt { 6 }}$，對應最高溫的點為$\bbox[red,2pt]{(2\sqrt { 6 } ,0)}$；最低溫為$\bbox[red,2pt]{-1}$，對應最低溫的點為$\bbox[red,2pt]{(-1,0)}$。

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四、假設一個$xyz$空間實體（solid）D 是由兩個圓柱 $$x^2+y^2\le 1及x^2+z^2\le 1$$ 所交集出來的空間區域。求此實體 D 的體積為何。
解：
假設該體積為V，則 $$\frac { 1 }{ 8 } V=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ -x }^{ x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } }  } dy } dx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ 2x\cdot \sqrt { 1-x^{ 2 } }  } dx=\left. \left[ -\frac { 2 }{ 3 } { \left( 1-x^{ 2 } \right)  }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }\\ =0-\left( -\frac { 2 }{ 3 }  \right) =\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow V=\bbox[red,2pt]{\frac { 16 }{ 3 }}$$

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五、計算下列不定積分： $$(一)\int{\frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}}dx\\(二)\int{e^{2x}\cos{3x}}dx$$
解：
(一) $$x=3\sin { \left( u \right)  } \Rightarrow dx=3\cos { (u) } du\Rightarrow \int { \frac { x^{ 2 } }{ \sqrt { 9-x^{ 2 } }  }  } dx=\int { \frac { 9\sin ^{ 2 }{ \left( u \right)  }  }{ \sqrt { 9-9\sin ^{ 2 }{ \left( u \right)  }  }  } \cdot 3\cos { (u) }  } du\\ =\int { \frac { 9\sin ^{ 2 }{ \left( u \right)  }  }{ \sqrt { 9\cos ^{ 2 }{ \left( u \right)  }  }  } \cdot 3\cos { (u) }  } du=\int { \frac { 9\sin ^{ 2 }{ \left( u \right)  }  }{ 3\cos { (u) }  } \cdot 3\cos { (u) }  } du=\int { 9\sin ^{ 2 }{ \left( u \right)  }  } du\\ =9\int { \frac { 1 }{ 2 } -\frac { \cos { \left( 2u \right)  }  }{ 2 }  } du=\frac { 9 }{ 2 } u-\frac { 9 }{ 2 } \int { \cos { \left( 2u \right)  }  } du=\frac { 9 }{ 2 } u-\frac { 9 }{ 4 } \sin { \left( 2u \right)  } \\ =\frac { 9 }{ 2 } u-\frac { 9 }{ 4 } \cdot 2\sin { \left( u \right)  } \cos { \left( u \right)  } =\frac { 9 }{ 2 } u-\frac { 9 }{ 2 } \sin { \left( u \right)  } \cos { \left( u \right)  } \\ =\frac { 9 }{ 2 } \arcsin { \frac { x }{ 3 }  } -\frac { 9 }{ 2 } \sin { \left( \arcsin { \frac { x }{ 3 }  }  \right)  } \cos { \left( \arcsin { \frac { x }{ 3 }  }  \right)  } =\frac { 9 }{ 2 } \arcsin { \frac { x }{ 3 }  } -\frac { 3 }{ 2 } x\cdot \frac { \sqrt { 9-x^{ 2 } }  }{ 3 } \\ =\bbox[red,2pt]{\frac { 9 }{ 2 } \arcsin { \frac { x }{ 3 }  } -\frac { 1 }{ 2 } x\cdot \sqrt { 9-x^{ 2 } } +c}$$
(二) $$(1)\begin{cases} u=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x } \\ v=\cos { 3x }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=e^{ 2x }dx \\ dv=-3\sin { 3x } dx \end{cases}\Rightarrow \int { e^{ 2x }\cos { 3x }  } dx=\int { v } du=vu-\int { u } dv\\=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\cos { 3x } +\frac { 3 }{ 2 } \int { e^{ 2x }\sin { 3x }  } dx\\ (2)\begin{cases} u=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x } \\ v=\sin { 3x }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=e^{ 2x }dx \\ dv=3\cos { 3x } dx \end{cases}\Rightarrow \int { e^{ 2x }\sin { 3x }  } dx=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\sin { 3x } -\frac { 3 }{ 2 } \int { e^{ 2x }\cos { 3x }  } dx\\ 由(1)及(2)可知\int { e^{ 2x }\cos { 3x }  } dx=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\cos { 3x } +\frac { 3 }{ 2 } \int { e^{ 2x }\sin { 3x }  } dx\\=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\cos { 3x } +\frac { 3 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\sin { 3x } -\frac { 3 }{ 2 } \int { e^{ 2x }\cos { 3x }  } dx \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\cos { 3x } +\frac { 3 }{ 4 } e^{ 2x }\sin { 3x } -\frac { 9 }{ 4 } \int { e^{ 2x }\cos { 3x }  } dx\Rightarrow \frac { 13 }{ 4 } \int { e^{ 2x }\cos { 3x }  } dx=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\cos { 3x } +\frac { 3 }{ 4 } e^{ 2x }\sin { 3x } \\ \Rightarrow \int { e^{ 2x }\cos { 3x }  } dx=\frac { 4 }{ 13 } \left( \frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\cos { 3x } +\frac { 3 }{ 4 } e^{ 2x }\sin { 3x }  \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 2 }{ 13 } e^{ 2x }\cos { 3x } +\frac { 3 }{ 13 } e^{ 2x }\sin { 3x }+c}$$

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未公布標準答案，解題僅供參考