2018年6月25日 星期一

107年臺南區特招數學詳解

臺南區107 學年度高級中等學校特色招生聯合考試
數學科詳解
1. 已知\(x=\sqrt{7}+\sqrt{6}, y=\sqrt{6}-\sqrt{7}\),則\(2x^2-xy+2y^2\)之值為何?
(A) 43  (B) 51  (C) 53  (D) 59
解:$$\begin{cases} x=\sqrt { 7 } +\sqrt { 6 }  \\ y=\sqrt { 6 } -\sqrt { 7 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x-y=2\sqrt { 7 }  \\ xy=-1 \end{cases}\\ 2x^{ 2 }-xy+2y^{ 2 }=2\left( x^{ 2 }-2xy+y^{ 2 } \right) +3xy=2{ \left( x-y \right)  }^{ 2 }+3xy=2\cdot { \left( 2\sqrt { 7 }  \right)  }^{ 2 }-3\cdot 1\\ =2\times 28-3=56-3=53$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



2. 近來臺南水情吃緊,老師希望班上同學了解曾文水庫年供水量的噸數。同學上網搜尋維基百科,得知曾文水庫年供水量含下列三種:
(一) 自來水\(1.2\times 10^8\) 立方公尺
(二) 工業用水\(2.7\times 10^7\) 立方公尺
(三) 灌溉用水\(9\times 10^8\) 立方公尺
已知1 立方公尺的水重量為1 噸,請問曾文水庫的年供水量為多少噸?
:$$1.2\times 10^{ 8 }+2.7\times 10^{ 7 }+9\times 10^{ 8 }=1.2\times 10^{ 8 }+0.27\times 10^{ 8 }+9\times 10^{ 8 }\\ =\left( 1.2+0.27+9 \right) \times 10^{ 8 }=10.47\times 10^{ 8 }=1.047\times 10^{ 9 }$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


3. 已知二元一次方程式\(x^2-kx+2915=0\)的兩根皆為二位的正整數,則正整數 k 之值為何?
(A) 108
(B) 110
(C) 112
(D) 114

\(2915=5\times 11\times 53=55\times 53\Rightarrow  x^2-kx+2915=(x-53)(x-55)\Rightarrow k=53+55=108\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


4. 台電每期計算用電量以度為單位,採取四捨五入至整數位,電費計算方式依下表累進計算。例如:用電量 200 度時,電費為\(110\times 2.1+(200-110)\times 2.5 =456\)元。
已知阿志當期電費為 1483 元,請問他當期用電度數為何?
(A) 494 度
(B) 524 度
(C) 560 度
(D) 564 度
:假設阿志用了\(x\)度的電,則$$\begin{cases} 110\times 2.1=231 \\ \left( 330-111+1 \right) \times 2.5=550 \\ \left( 500-331+1 \right) \times 3=510 \\ \left( 700-501+1 \right) \times 3.2=640 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 231 \\ 231+550=781 \\ 781+510=1291 \\ 1291+640=1931 \end{cases}\Rightarrow 501<x<700\\ \Rightarrow \left( x-501+1 \right) \times 3.2+1291=1483\Rightarrow x=560$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。


5. 爸爸在市場買了一箱小番茄,弟弟吃掉了\(\frac{1}{3}\),哥哥比弟弟多吃了2 顆,媽媽再吃掉了 x 顆後,爸爸發現箱子內的小番茄還剩下原來的\(\frac{1}{4}\),則箱子內原有多少顆小番茄?(以 x 表示)


假設小番茄原來有\(y\)顆,則弟弟吃掉了\(\frac{y}{3}\)顆、哥哥吃掉了\(\frac{y}{3}+2\)顆、媽媽吃掉了\(x\)顆。剩下番茄\(y-\frac{y}{3}-\frac{y}{3}-2-x\)顆,該值為\(\frac{y}{4}\),即$$y-\frac { y }{ 3 } -\frac { y }{ 3 } -2-x=\frac { y }{ 4 } \Rightarrow x=y-\frac { y }{ 3 } -\frac { y }{ 3 } -2-\frac { y }{ 4 } =\frac { y }{ 12 } -2\\ \Rightarrow y=\left( x+2 \right) \times 12=12x+24$$故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。


6. 報載:”逢甲商圈墾丁化?年商機值險跌出百億”,下圖為逢甲商圈 2014 年至 2016 年的旅客人次與貢獻的年商機值 ( 例如 2014 年的年商機值為 109 億元 ),則關於每 1 萬人次平均所貢獻的年商機值,最高的年度與最低的年度各為何者?

(A) 2014 年最高,2015 年最低
(B) 2014 年最高,2016 年最低
(C) 2016 年最高,2015 年最低
(D) 2015 年最高,2016 年最低

每萬人平均所貢獻的年商機值:
2014年:   \(\frac{109}{1220}\approx   0.089\)、2015年:\(\frac{104}{1328}\approx   0.078\)、2016年:   \(\frac{101}{1218}\approx   0.082\);因此2014年>2016年>2015年,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

7. 有甲、乙兩個杯子,各裝若干量的水,若把甲杯中\(\frac{1}{3}\)的水倒進乙杯中,再將乙杯中\(\frac{1}{3}\)的水倒回甲杯中,則兩杯的水量相等,試問甲杯與乙杯原來水量的比為何?
(A) 2:3
(B) 3:2
(C) 3:4
(D) 3:5
:假設甲、乙原來的水量各為\(a\)及\(b\),則
甲杯中\(\frac{1}{3}\)的水倒進乙杯中: 甲水量變為\(\frac{2a}{3}\)、乙水量變為\(b+\frac{a}{3}\)
將乙杯中\(\frac{1}{3}\)的水倒回甲杯中: 甲水量變為\(\frac{2a}{3}+\frac{b+\frac{a}{3}}{3}\)、乙水量變為\(\frac{2(b+\frac{a}{3})}{3}\)
兩杯的水量相等,即$$\frac { 2a }{ 3 } +\frac { b+\frac { a }{ 3 }  }{ 3 } =\frac { 2(b+\frac { a }{ 3 } ) }{ 3 } \Rightarrow 2a+b+\frac { a }{ 3 } =2b+\frac { 2a }{ 3 } \\ \Rightarrow b=\frac { 5a }{ 3 } \Rightarrow a:b=3:5$$
,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



:$$x=8\Rightarrow k=4+8-16=-4\\x=6\Rightarrow k=6+4-12-2\\x=5\Rightarrow k=7+2-10=-1\\x=4\Rightarrow k=8+0-8=0$$由於\(5\le x\le 11\Rightarrow x\ne -4\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。




小瓢蟲十分鐘走的距離為\(\overline{AB}=2\overline{BB_1}=2(45-40)=10\),也就是一分鐘走一公分;
二十分鐘後,小瓢蟲走到C點,即\(\overline{AC}=20\Rightarrow \overline{AF}=20\div 2=10 \Rightarrow \overline{CE}=40-10=30\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



由上圖可知可拼成\(14\times 9\)的矩形,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。



令\(<a_n>\)為20位同學數學由低至高的成績數列,則
\(20\times\frac{1}{4}=5\Rightarrow \)第1四分位數為\((a_5+a_6)\div 2=(72+74)\div   2=73\)、中位數為\((a_{10}+a_{11})\div   2=(77+78)\div   2=77.5\)、又\(20\times\frac{3}{4}=15\Rightarrow \)第3四分位數為\((a_{15}+a_{16})\div 2=(85+87)\div   2=86\)、四分位距=86-73=13;
剩下19位同學成績後,則
\(19\times\frac{1}{4}=4.75\Rightarrow \)第1四分位數為\(a_5=72\)、中位數為\(a_{10} =77\)、又\(19\times\frac{3}{4}=14.25\Rightarrow \)第3四分位數為\(a_{15}=85\)、四分位距=85-72=13;
只有四分位距不變,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



假設\(Q=(4,a), 2<a<1\Rightarrow \triangle QPB=4\times a\div 2=2a\)
圖形總面積為9,右下角面積為2a+1,因此\(2a+1=9/2\Rightarrow   a=\frac{7}{4}\Rightarrow   \overline{AQ}=2-a=\frac{1}{4}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



8取2共有\(C^8_2=28\)種情形,十位數比個位數小的質數(個位數只能是3與7),只有13、23、17、37、47、67,共六個質數,所以機率為\(\frac{6}{28}=\frac{3}{14}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。





$$\frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{AP}}{\overline{AD}}\Rightarrow \frac{2}{\overline{AF}}=\frac{4}{10}\Rightarrow \overline{AF}=5\Rightarrow \overline{EF}=5-2=3\\ \frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{EP}}{\overline{FD}} \Rightarrow \frac{2}{5}=\frac{2\sqrt{3}}{\overline{FD}}\Rightarrow \overline{FD}=5\sqrt{3}\Rightarrow \overline{FG}=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\\\Rightarrow EFGH面積=\overline{EF}\times \overline{FG}=3\times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$$故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



令\(\overline{AC}=a\),如下圖:
正六邊形ABCDEF面積為\(\frac{\sqrt{3}a^2}{2}\)
\(\overline{AC}=a\Rightarrow \overline{AP}=2a\Rightarrow \overline{SP}=a, \overline{AS}=\sqrt{3}a\Rightarrow \overline{DS}=\sqrt{3}a-\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{3}\)
\(\overline{SQ}=\overline{DQ}-\overline{DS}=\frac{2a}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}a}{3}=\frac{\sqrt{3}a}{3}\)
因此\(\triangle PQR=\overline{SP}\times\overline{SQ}=a\times\frac{\sqrt{3}a}{3}=\frac{\sqrt{3}a^2}{3}\Rightarrow\Rightarrow \frac{六邊形ABCDEF}{\triangle PQR}=\frac{\frac{\sqrt{3}a^2}{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{3}}=\frac{3}{2}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



第n列有n個數字,因此第n列的最後(右)的數字為\(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
第20列的最後數字為\(20\times 21\div 2=210\),第19列的最右數字為\(19\times 20\div 2=190\)
因此200在第20列,該列數字和為\(191+192+\cdots+210=(210+191)\times 20\div 2=4010\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。




圖形向上\(\Rightarrow a>0\),y截距為負值\(\Rightarrow c<0\),頂點在y軸上\(\Rightarrow \frac{-b}{2a}=0\Rightarrow b=0\)
函數\(y=(ax^2+bx+c)+(cx^2+bx+a)=(a+c)x^2+(a+c)\)
若\(a+c=0\)則圖形為(A)、若\(a+c<0\)則圖形為(B)、若\(a+c=0\)則圖形為(C),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。


解:
由於\(\angle B=\angle D=90^\circ\),則ABCD共圓,且\(\overline{AC}\)為直徑,A、C中點O為圓心,如上圖。
\(\triangle ABC\Rightarrow {\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2\Rightarrow {\overline{AC}}^2=32+4=36\Rightarrow \overline{AC}=6\Rightarrow \)半徑\(r=3\)
\(\angle A=60^\circ\Rightarrow \angle BOD=120^\circ(圓心角為2倍圓周角)\Rightarrow \angle EOD=60^\circ\Rightarrow \)
\(\overline{ED}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \overline{BD}=3\sqrt{3}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



P為重心\(\Rightarrow   \frac{\overline{AP}}{\overline{AF}}= \frac{2}{3}=\frac{\overline{PR}}{\overline{FD}}\Rightarrow   \overline{PR}=\frac{2}{3}\overline{FD}=\frac{1}{3}\overline{BD}\);
同理Q為重心\(\Rightarrow \overline{RQ}=\frac{1}{3}\overline{DC}\);因此\(\overline{PQ}=   \overline{PR}+\overline{RQ}=\frac{1}{3}(\overline{BD}+\overline{DC})=\frac{1}{3}\overline{BC}\Rightarrow \overline{BC}=3\overline{PQ}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。



甲作法: OC長為半徑畫圓不一定與AB相切
乙作法: 也不一定相切
兩作法皆錯誤,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。




假設\(\overline{AP}=a\Rightarrow \overline{PB}=8-a\);
\(\frac{\overline{AP}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{BC}}= \frac{\overline{AQ}}{\overline{AC}}\Rightarrow \frac{a}{8}=\frac{\overline{PQ}}{9}=\frac{\overline{AQ}}{7}\Rightarrow \overline{PQ}=\frac{9a}{8},\overline{AQ}=\frac{7a}{8}\Rightarrow \overline{QC}=7-\frac{7a}{8}\)
三角形周長=梯形周長\(\Rightarrow \overline{AP}+\overline{AQ}=\overline{PB}+\overline{BC}+\overline{QC}\)
\(\Rightarrow a+\frac{7a}{8}=8-a+9+7-\frac{7a}{8}\Rightarrow a=\frac{32}{5}\rightarrow \overline{PQ}=\frac{32}{5}\times\frac{9}{8}=\frac{36}{5}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。






令E為BC中點、F為CD中點,且\(\overline{EG}//\overline{CD}, \overline{HF}//\overline{BC}\),如上圖。
區域Q及區域S上的P滿足\(\overline{PB}\ge\overline{PC}\);
區域R及區域S上的P滿足\(\overline{PC}\ge\overline{PD}\);因此
區域S上的P滿足\(\overline{PB}\ge\overline{PC}\)且\(\overline{PC}\ge\overline{PD}\);區域S的面積為\(\frac{(\overline{OG}+\overline{FD})\times\overline{OF}}{2}=\frac{(4-\frac{5}{2}+\frac{5}{2})\times 2}{2}=4\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。


:$$\triangle ABC\Rightarrow { \overline { BC }  }^{ 2 }={ \overline { AC }  }^{ 2 }-{ \overline { AB }  }^{ 2 }=100^{ 2 }-94^{ 2 }\\ \frac { \overline { AQ }  }{ \overline { AB }  } =\frac { \overline { AP }  }{ \overline { AC }  } =\frac { \overline { PQ }  }{ \overline { BC }  } \Rightarrow \frac { \overline { AQ }  }{ 94 } =\frac { 100-13 }{ 100 } =\frac { 87 }{ 100 } =\frac { \overline { PQ }  }{ \overline { BC }  } \\ \Rightarrow \overline { AQ } =\frac { 87 }{ 100 } \times 94,\overline { PQ } =\frac { 87 }{ 100 } \times \overline { BC } \\ \overline { AQ } \times \overline { AB } +\overline { PQ } \times \overline { BC } =\frac { 87 }{ 100 } \times 94\times 94+\frac { 87 }{ 100 } \times \overline { BC } \times \overline { BC } \\ =\frac { 87 }{ 100 } \times 94^{ 2 }+\frac { 87 }{ 100 } \times \overline { BC } ^{ 2 }=\frac { 87 }{ 100 } \left( 94^{ 2 }+\overline { BC } ^{ 2 } \right) =\frac { 87 }{ 100 } \left( 94^{ 2 }+100^{ 2 }-94^{ 2 } \right) =8700$$故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



將金字塔展開,如上圖。
由於\(\triangle PRC=\triangle SQD=\triangle ARS\)皆為邊長3的正三角形,因此\(\overline{PQ} =\overline{PR}+\overline{RS}+\overline{SQ}=3+3+3=9\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



假設該正整數為\(a\),則LCM(20,a)=7a+1314\(\Rightarrow \frac{20a}{gcd(20,a)}=7a+1314\);當gcd=2時符合上式,可求得\(a=2\times 3\times 73=438\),其正因數有\((1+1)\times (1+1+ \times(1+1)=8\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



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9 則留言:

  1. 老師您好
    第三題題幹是否應改為「一元二次方程式」,謝謝

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  2. 25題解答最後一行
    正因數有(1+1)×(1+1+×(1+1)
    應為
    正因數有(1+1)×(1+1)×(1+1)

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  3. 請問第25題為何當gcd=2時符合上式?

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  4. 老師請教17題(A)選項中的圖
    ∵a>0且c<0
    又開口朝上
    ∴a>a+c>0 →|a|>|a+c|
    但選項A圖的開口明顯比題目原圖的還小

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    1. 考試題目中,圖形開口大小(線段長短,角度大小)不一定正確,這些都只是示意圖,如果百分百精確,考生只要拿尺去量就可猜個大概.....

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  5. 請問第十題是否有更有效率的方式算呢?

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