107年臺南區特招數學詳解

臺南區107 學年度高級中等學校特色招生聯合考試

數學科詳解

1. 已知$x=\sqrt{7}+\sqrt{6}, y=\sqrt{6}-\sqrt{7}$，則$2x^2-xy+2y^2$之值為何？
(A) 43  (B) 51  (C) 53  (D) 59
解： $$\begin{cases} x=\sqrt { 7 } +\sqrt { 6 }  \\ y=\sqrt { 6 } -\sqrt { 7 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x-y=2\sqrt { 7 }  \\ xy=-1 \end{cases}\\ 2x^{ 2 }-xy+2y^{ 2 }=2\left( x^{ 2 }-2xy+y^{ 2 } \right) +3xy=2{ \left( x-y \right)  }^{ 2 }+3xy=2\cdot { \left( 2\sqrt { 7 }  \right)  }^{ 2 }-3\cdot 1\\ =2\times 28-3=56-3=53$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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2. 近來臺南水情吃緊，老師希望班上同學了解曾文水庫年供水量的噸數。同學上網搜尋維基百科，得知曾文水庫年供水量含下列三種：
(一) 自來水$1.2\times 10^8$ 立方公尺
(二) 工業用水$2.7\times 10^7$ 立方公尺
(三) 灌溉用水$9\times 10^8$ 立方公尺
已知1 立方公尺的水重量為1 噸，請問曾文水庫的年供水量為多少噸？
解： $$1.2\times 10^{ 8 }+2.7\times 10^{ 7 }+9\times 10^{ 8 }=1.2\times 10^{ 8 }+0.27\times 10^{ 8 }+9\times 10^{ 8 }\\ =\left( 1.2+0.27+9 \right) \times 10^{ 8 }=10.47\times 10^{ 8 }=1.047\times 10^{ 9 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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3. 已知二元一次方程式$x^2-kx+2915=0$的兩根皆為二位的正整數，則正整數 k 之值為何？
(A) 108
(B) 110
(C) 112
(D) 114
解：
$2915=5\times 11\times 53=55\times 53\Rightarrow  x^2-kx+2915=(x-53)(x-55)\Rightarrow k=53+55=108$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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4. 台電每期計算用電量以度為單位，採取四捨五入至整數位，電費計算方式依下表累進計算。例如：用電量 200 度時，電費為$110\times 2.1+(200-110)\times 2.5 =456$元。

已知阿志當期電費為 1483 元，請問他當期用電度數為何？
(A) 494 度
(B) 524 度
(C) 560 度
(D) 564 度
解：假設阿志用了$x$度的電，則 $$\begin{cases} 110\times 2.1=231 \\ \left( 330-111+1 \right) \times 2.5=550 \\ \left( 500-331+1 \right) \times 3=510 \\ \left( 700-501+1 \right) \times 3.2=640 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 231 \\ 231+550=781 \\ 781+510=1291 \\ 1291+640=1931 \end{cases}\Rightarrow 501<x<700\\ \Rightarrow \left( x-501+1 \right) \times 3.2+1291=1483\Rightarrow x=560$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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5. 爸爸在市場買了一箱小番茄，弟弟吃掉了$\frac{1}{3}$，哥哥比弟弟多吃了2 顆，媽媽再吃掉了 x 顆後，爸爸發現箱子內的小番茄還剩下原來的$\frac{1}{4}$，則箱子內原有多少顆小番茄？(以 x 表示)

解：
假設小番茄原來有$y$顆，則弟弟吃掉了$\frac{y}{3}$顆、哥哥吃掉了$\frac{y}{3}+2$顆、媽媽吃掉了$x$顆。剩下番茄$y-\frac{y}{3}-\frac{y}{3}-2-x$顆，該值為$\frac{y}{4}$，即 $$y-\frac { y }{ 3 } -\frac { y }{ 3 } -2-x=\frac { y }{ 4 } \Rightarrow x=y-\frac { y }{ 3 } -\frac { y }{ 3 } -2-\frac { y }{ 4 } =\frac { y }{ 12 } -2\\ \Rightarrow y=\left( x+2 \right) \times 12=12x+24$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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6. 報載：”逢甲商圈墾丁化？年商機值險跌出百億”，下圖為逢甲商圈 2014 年至 2016 年的旅客人次與貢獻的年商機值 ( 例如 2014 年的年商機值為 109 億元 )，則關於每 1 萬人次平均所貢獻的年商機值，最高的年度與最低的年度各為何者？

(A) 2014 年最高，2015 年最低
(B) 2014 年最高，2016 年最低
(C) 2016 年最高，2015 年最低
(D) 2015 年最高，2016 年最低
解：
每萬人平均所貢獻的年商機值:
2014年:   $\frac{109}{1220}\approx   0.089$、2015年:$\frac{104}{1328}\approx   0.078$、2016年:   $\frac{101}{1218}\approx   0.082$；因此2014年>2016年>2015年，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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7. 有甲、乙兩個杯子，各裝若干量的水，若把甲杯中$\frac{1}{3}$的水倒進乙杯中，再將乙杯中$\frac{1}{3}$的水倒回甲杯中，則兩杯的水量相等，試問甲杯與乙杯原來水量的比為何？
(A) 2：3
(B) 3：2
(C) 3：4
(D) 3：5
解：假設甲、乙原來的水量各為$a$及$b$，則
甲杯中$\frac{1}{3}$的水倒進乙杯中: 甲水量變為$\frac{2a}{3}$、乙水量變為$b+\frac{a}{3}$
將乙杯中$\frac{1}{3}$的水倒回甲杯中: 甲水量變為$\frac{2a}{3}+\frac{b+\frac{a}{3}}{3}$、乙水量變為$\frac{2(b+\frac{a}{3})}{3}$
兩杯的水量相等，即 $$\frac { 2a }{ 3 } +\frac { b+\frac { a }{ 3 }  }{ 3 } =\frac { 2(b+\frac { a }{ 3 } ) }{ 3 } \Rightarrow 2a+b+\frac { a }{ 3 } =2b+\frac { 2a }{ 3 } \\ \Rightarrow b=\frac { 5a }{ 3 } \Rightarrow a:b=3:5$$
，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$x=8\Rightarrow k=4+8-16=-4\\x=6\Rightarrow k=6+4-12-2\\x=5\Rightarrow k=7+2-10=-1\\x=4\Rightarrow k=8+0-8=0$$ 由於$5\le x\le 11\Rightarrow x\ne -4$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

小瓢蟲十分鐘走的距離為$\overline{AB}=2\overline{BB_1}=2(45-40)=10$，也就是一分鐘走一公分；

二十分鐘後，小瓢蟲走到C點，即$\overline{AC}=20\Rightarrow \overline{AF}=20\div 2=10 \Rightarrow \overline{CE}=40-10=30$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

由上圖可知可拼成$14\times 9$的矩形，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
令$<a_n>$為20位同學數學由低至高的成績數列，則
$20\times\frac{1}{4}=5\Rightarrow$第1四分位數為$(a_5+a_6)\div 2=(72+74)\div   2=73$、中位數為$(a_{10}+a_{11})\div   2=(77+78)\div   2=77.5$、又$20\times\frac{3}{4}=15\Rightarrow$第3四分位數為$(a_{15}+a_{16})\div 2=(85+87)\div   2=86$、四分位距=86-73=13；
剩下19位同學成績後，則
$19\times\frac{1}{4}=4.75\Rightarrow$第1四分位數為$a_5=72$、中位數為$a_{10} =77$、又$19\times\frac{3}{4}=14.25\Rightarrow$第3四分位數為$a_{15}=85$、四分位距=85-72=13；

只有四分位距不變，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

假設$Q=(4,a), 2<a<1\Rightarrow \triangle QPB=4\times a\div 2=2a$
圖形總面積為9，右下角面積為2a+1，因此$2a+1=9/2\Rightarrow   a=\frac{7}{4}\Rightarrow   \overline{AQ}=2-a=\frac{1}{4}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
8取2共有$C^8_2=28$種情形，十位數比個位數小的質數(個位數只能是3與7)，只有13、23、17、37、47、67，共六個質數，所以機率為$\frac{6}{28}=\frac{3}{14}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

$$\frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{AP}}{\overline{AD}}\Rightarrow \frac{2}{\overline{AF}}=\frac{4}{10}\Rightarrow \overline{AF}=5\Rightarrow \overline{EF}=5-2=3\\ \frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{EP}}{\overline{FD}} \Rightarrow \frac{2}{5}=\frac{2\sqrt{3}}{\overline{FD}}\Rightarrow \overline{FD}=5\sqrt{3}\Rightarrow \overline{FG}=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\\\Rightarrow EFGH面積=\overline{EF}\times \overline{FG}=3\times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
令$\overline{AC}=a$，如下圖:

正六邊形ABCDEF面積為$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$
$\overline{AC}=a\Rightarrow \overline{AP}=2a\Rightarrow \overline{SP}=a, \overline{AS}=\sqrt{3}a\Rightarrow \overline{DS}=\sqrt{3}a-\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$
$\overline{SQ}=\overline{DQ}-\overline{DS}=\frac{2a}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}a}{3}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$
因此$\triangle PQR=\overline{SP}\times\overline{SQ}=a\times\frac{\sqrt{3}a}{3}=\frac{\sqrt{3}a^2}{3}\Rightarrow\Rightarrow \frac{六邊形ABCDEF}{\triangle PQR}=\frac{\frac{\sqrt{3}a^2}{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{3}}=\frac{3}{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

第n列有n個數字，因此第n列的最後(右)的數字為$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
第20列的最後數字為$20\times 21\div 2=210$，第19列的最右數字為$19\times 20\div 2=190$
因此200在第20列，該列數字和為$191+192+\cdots+210=(210+191)\times 20\div 2=4010$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

圖形向上$\Rightarrow a>0$，y截距為負值$\Rightarrow c<0$，頂點在y軸上$\Rightarrow \frac{-b}{2a}=0\Rightarrow b=0$
函數$y=(ax^2+bx+c)+(cx^2+bx+a)=(a+c)x^2+(a+c)$
若$a+c=0$則圖形為(A)、若$a+c<0$則圖形為(B)、若$a+c=0$則圖形為(C)，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

由於$\angle B=\angle D=90^\circ$，則ABCD共圓，且$\overline{AC}$為直徑，A、C中點O為圓心，如上圖。
$\triangle ABC\Rightarrow {\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2\Rightarrow {\overline{AC}}^2=32+4=36\Rightarrow \overline{AC}=6\Rightarrow$半徑$r=3$
$\angle A=60^\circ\Rightarrow \angle BOD=120^\circ(圓心角為2倍圓周角)\Rightarrow \angle EOD=60^\circ\Rightarrow$
$\overline{ED}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \overline{BD}=3\sqrt{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

P為重心$\Rightarrow   \frac{\overline{AP}}{\overline{AF}}= \frac{2}{3}=\frac{\overline{PR}}{\overline{FD}}\Rightarrow   \overline{PR}=\frac{2}{3}\overline{FD}=\frac{1}{3}\overline{BD}$；
同理Q為重心$\Rightarrow \overline{RQ}=\frac{1}{3}\overline{DC}$；因此$\overline{PQ}=   \overline{PR}+\overline{RQ}=\frac{1}{3}(\overline{BD}+\overline{DC})=\frac{1}{3}\overline{BC}\Rightarrow \overline{BC}=3\overline{PQ}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
甲作法: OC長為半徑畫圓不一定與AB相切
乙作法: 也不一定相切
兩作法皆錯誤，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

假設$\overline{AP}=a\Rightarrow \overline{PB}=8-a$；

$\frac{\overline{AP}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{BC}}= \frac{\overline{AQ}}{\overline{AC}}\Rightarrow \frac{a}{8}=\frac{\overline{PQ}}{9}=\frac{\overline{AQ}}{7}\Rightarrow \overline{PQ}=\frac{9a}{8},\overline{AQ}=\frac{7a}{8}\Rightarrow \overline{QC}=7-\frac{7a}{8}$

三角形周長=梯形周長$\Rightarrow \overline{AP}+\overline{AQ}=\overline{PB}+\overline{BC}+\overline{QC}$

$\Rightarrow a+\frac{7a}{8}=8-a+9+7-\frac{7a}{8}\Rightarrow a=\frac{32}{5}\rightarrow \overline{PQ}=\frac{32}{5}\times\frac{9}{8}=\frac{36}{5}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

令E為BC中點、F為CD中點，且$\overline{EG}//\overline{CD}, \overline{HF}//\overline{BC}$，如上圖。
區域Q及區域S上的P滿足$\overline{PB}\ge\overline{PC}$；
區域R及區域S上的P滿足$\overline{PC}\ge\overline{PD}$；因此
區域S上的P滿足$\overline{PB}\ge\overline{PC}$且$\overline{PC}\ge\overline{PD}$；區域S的面積為$\frac{(\overline{OG}+\overline{FD})\times\overline{OF}}{2}=\frac{(4-\frac{5}{2}+\frac{5}{2})\times 2}{2}=4$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\triangle ABC\Rightarrow { \overline { BC }  }^{ 2 }={ \overline { AC }  }^{ 2 }-{ \overline { AB }  }^{ 2 }=100^{ 2 }-94^{ 2 }\\ \frac { \overline { AQ }  }{ \overline { AB }  } =\frac { \overline { AP }  }{ \overline { AC }  } =\frac { \overline { PQ }  }{ \overline { BC }  } \Rightarrow \frac { \overline { AQ }  }{ 94 } =\frac { 100-13 }{ 100 } =\frac { 87 }{ 100 } =\frac { \overline { PQ }  }{ \overline { BC }  } \\ \Rightarrow \overline { AQ } =\frac { 87 }{ 100 } \times 94,\overline { PQ } =\frac { 87 }{ 100 } \times \overline { BC } \\ \overline { AQ } \times \overline { AB } +\overline { PQ } \times \overline { BC } =\frac { 87 }{ 100 } \times 94\times 94+\frac { 87 }{ 100 } \times \overline { BC } \times \overline { BC } \\ =\frac { 87 }{ 100 } \times 94^{ 2 }+\frac { 87 }{ 100 } \times \overline { BC } ^{ 2 }=\frac { 87 }{ 100 } \left( 94^{ 2 }+\overline { BC } ^{ 2 } \right) =\frac { 87 }{ 100 } \left( 94^{ 2 }+100^{ 2 }-94^{ 2 } \right) =8700$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

將金字塔展開，如上圖。
由於$\triangle PRC=\triangle SQD=\triangle ARS$皆為邊長3的正三角形，因此$\overline{PQ} =\overline{PR}+\overline{RS}+\overline{SQ}=3+3+3=9$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
假設該正整數為$a$，則LCM(20,a)=7a+1314$\Rightarrow \frac{20a}{gcd(20,a)}=7a+1314$；當gcd=2時符合上式，可求得$a=2\times 3\times 73=438$，其正因數有$(1+1)\times (1+1+ \times(1+1)=8$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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-- end --