101年高中學力鑑定考試(3月)數學科詳解

臺閩地區 101 年度自學進修
高級中學畢業程度學力鑑定考試

數學科詳解

一、選擇題：( 12 題，每題 5 分，共 60 分)

解：
$144=12\times 12\Rightarrow \sqrt{144}=12\Rightarrow \sqrt{144}$不是無理數，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

無論反面或正面，機率皆為$\frac{1}{2}$。因此擲一次硬幣的期望值為$\frac{1}{2}\times(4-2)=1$，擲五次的期望值為$1\times 5=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
由方程式可知: 兩焦點的坐標分別為(3,2)及(-3,-2)，因此兩焦點的中心坐標為(0,0)，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
直線的方向量(3,-1,2)需與平面的法向量垂直，即內積為零。$(3,-1,2)\cdot (1,1,-1) = 3-1-2=0$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：最大值發生在X=Y=Z=3，因此三數相乘為$3^3=27$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

與XY平面的距離=Z=6、與YZ平面的距離=X=3、與ZX平面的距離=Y=4，因此P點坐標為(X,Y,Z) = (3,4,6，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

$\overline{OP}$斜率$=\frac{\overline{PQ}}{\overline{OQ}}=\tan{\theta}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：$100<119<121\Rightarrow 10<\sqrt{119}<11$，因此最少需要2,3,5,7四個質數來檢驗，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

$f(x)=(x+1)(2x-3)(x^2+x+3)$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

AAB有三種排法，且A=1-6, $A\ne B$，因此共有$3\times 6\times 5=90$種情況，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

挑數字變化較大的，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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二、填充題

解：
$$a_{10}=a_1r^9=(-8)\times\left(-\frac{1}{2}\right)^9=\frac{8}{512}=\bbox[red,2pt]{\frac{1}{64}}$$

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解： $$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2-2 & -1-4 \\ -1 & -2-1 & 1-2 \end{bmatrix}=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ -1 & -3 & -1 \end{bmatrix}}$$

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解： $$\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{AC}\times\sin{\angle A} = \frac{1}{2}\times 8\times 9\times \frac{1}{2}=\bbox[red,2pt]{18}$$

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解：
$\vec{AB}=(4,4,4)$為該平面之法向量，且A、B之中心點$(3,4,5)$在該平面上。因此平面方程式為$4(x-3)+4(y-4)+4(z-5)=0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{x+y+z-12=0}$

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解：

$$\frac{(10+40)\times 12}{2}=50\times 6=\bbox[red,2pt]{300}$$

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解： $$\bbox[red,2pt]{(2,1)}$$

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解：
圓心O為A、B兩點的中心，坐標為$\left(\frac{1+3}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(2,2)$；
圓半徑r為A、B距離的一半，即$\frac{\sqrt{(1-3)^2+(-1-5)^2}}{2}=\sqrt{10}$；
因此圓方程式為$\bbox[red,2pt]{(x-2)^2+(y-2)^2=10}$

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解： $$\vec{a}\cdot\vec{b}=(7,1)\cdot (3,4)=7\times 3+1\times 4=21+4=\bbox[red,2pt]{25}$$

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解： $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=0.3\times 0.4=\bbox[red,2pt]{0.12}$$

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解： $$\log{(3x+1)}=2\Rightarrow 10^2=3x+1\Rightarrow 3x=99\Rightarrow x=\bbox[red,2pt]{33}$$

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