2018年6月14日 星期四

101年高中學力鑑定考試(3月)數學科詳解


臺閩地區 101 年度自學進修
高級中學畢業程度學力鑑定考試
數學科詳解
一、選擇題:( 12 題,每題 5 分,共 60 分)


\(144=12\times 12\Rightarrow \sqrt{144}=12\Rightarrow \sqrt{144}\)不是無理數,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)





無論反面或正面,機率皆為\(\frac{1}{2}\)。因此擲一次硬幣的期望值為\(\frac{1}{2}\times(4-2)=1\),擲五次的期望值為\(1\times 5=5\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)





由方程式可知: 兩焦點的坐標分別為(3,2)及(-3,-2),因此兩焦點的中心坐標為(0,0),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)





直線的方向量(3,-1,2)需與平面的法向量垂直,即內積為零。\((3,-1,2)\cdot (1,1,-1) = 3-1-2=0\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)




:最大值發生在X=Y=Z=3,因此三數相乘為\(3^3=27\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)




:\(3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



與XY平面的距離=Z=6、與YZ平面的距離=X=3、與ZX平面的距離=Y=4,因此P點坐標為(X,Y,Z) = (3,4,6,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)






\(\overline{OP}\)斜率\(=\frac{\overline{PQ}}{\overline{OQ}}=\tan{\theta}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)




:\(100<119<121\Rightarrow 10<\sqrt{119}<11\),因此最少需要2,3,5,7四個質數來檢驗,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



\(f(x)=(x+1)(2x-3)(x^2+x+3)\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)




AAB有三種排法,且A=1-6, \(A\ne B\),因此共有\(3\times 6\times 5=90\)種情況,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)





挑數字變化較大的,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


二、填充題


$$a_{10}=a_1r^9=(-8)\times\left(-\frac{1}{2}\right)^9=\frac{8}{512}=\bbox[red,2pt]{\frac{1}{64}}$$


:$$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2-2 & -1-4 \\ -1 & -2-1 & 1-2 \end{bmatrix}=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ -1 & -3 & -1 \end{bmatrix}}$$


:$$\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{AC}\times\sin{\angle A} = \frac{1}{2}\times 8\times 9\times \frac{1}{2}=\bbox[red,2pt]{18}$$



\(\vec{AB}=(4,4,4)\)為該平面之法向量,且A、B之中心點\((3,4,5)\)在該平面上。因此平面方程式為\(4(x-3)+4(y-4)+4(z-5)=0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{x+y+z-12=0}\)




$$\frac{(10+40)\times 12}{2}=50\times 6=\bbox[red,2pt]{300} $$


:$$\bbox[red,2pt]{(2,1)}$$




圓心O為A、B兩點的中心,坐標為\(\left(\frac{1+3}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(2,2)\);
圓半徑r為A、B距離的一半,即\(\frac{\sqrt{(1-3)^2+(-1-5)^2}}{2}=\sqrt{10}\);
因此圓方程式為\(\bbox[red,2pt]{(x-2)^2+(y-2)^2=10}\)



:$$\vec{a}\cdot\vec{b}=(7,1)\cdot (3,4)=7\times 3+1\times 4=21+4=\bbox[red,2pt]{25}$$


:$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=0.3\times 0.4=\bbox[red,2pt]{0.12}$$


:$$\log{(3x+1)}=2\Rightarrow 10^2=3x+1\Rightarrow 3x=99\Rightarrow x=\bbox[red,2pt]{33}$$


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