101年高中學力鑑定考試(10月)數學科詳解

臺閩地區 101 年度自學進修
高級中學畢業程度學力鑑定考試

數學科詳解

一、選擇題：( 12 題，每題 5 分，共 60 分)

解：

(1,0)在X軸上不在任何象限，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$0.999^{ 4 }=[(1-10^{ -3 })^{ 2 }]^{ 2 }=[1-2\times 10^{ -3 }+10^{ -6 }]^{ 2 }\approx [1-2\times 10^{ -3 }]^{ 2 }\\ =1-4\times 10^{ -3 }+10^{ -12 }\approx 1-4\times 10^{ -3 }=0.996$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\tan{\theta}=1\Rightarrow \sin{\theta}=\cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \frac{\sin{\theta}-\cos{\theta}}{2\tan{\theta}-\cot{\theta}}=\frac{0}{2-1}=0$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
假設$\vec{a}$的終點為(a,b)，則$\vec{a}=(a-1,b-1)=(2,-3)\Rightarrow a=3,b=-2$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：$a=0.\bar{9}=\frac{9}{9}=1$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{\angle A}\Rightarrow (0,-8)\cdot(-4,-4) =\sqrt{8^2}\times\sqrt{4^2+4^2}\times\cos{\angle A}\\ 32=8\times 4\sqrt{2}\times\cos{\angle A}\Rightarrow \cos{\angle A}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \angle A=45^\circ$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

乙、丙、丁、戊、己五人中要選出3人，有$C^5_3=10$種選法，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

$f(x)=x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$z=1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } +i\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  \right) =\sqrt { 2 } \left( \cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } +i\sin { \frac { \pi  }{ 4 }  }  \right) \\ \Rightarrow z^{ 8 }={ \sqrt { 2 }  }^{ 8 }\left( \cos { \frac { 8\pi  }{ 4 }  } +i\sin { \frac { 8\pi  }{ 4 }  }  \right) =2^{ 4 }\left( \cos { 2\pi  } +i\sin { 2\pi  }  \right) =2^{ 4 }\left( 1+0 \right) =16$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$x^2+y^2-4x-8y+19=0\Rightarrow (x^2-4x+4)+(y^2-8y+16)+19-4-16=0\\\Rightarrow (x-2)^2+(y-4)^2=1\Rightarrow 圓心(2,4),半徑1$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：$\begin{vmatrix} 123 & 1230 \\ 456 & 4560 \end{vmatrix}=123\times4560-456\times1230=123\times456(10-10)=0$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：若千位固定為1，則後三位2、3、4任排有$3\times 2\times 1=6$種排法，也就是千位數是1的有6個；同理千位數是2、3或4的也各有6個。
同樣的推理，百位是及個位數是1、2、3、4也各有6個，因此所有四位數的總和為: $$6000\times (1+2+3+4)+600\times(1+2+3+4)+60\times(1+2+3+4)+6\times(1+2+3+4)= 66660$$

，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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二、填充題

解：
由方程式可知兩焦點坐標分別為(3,2)及(-3,-2)，兩焦點的中心點就是橢圓的中心點，因此坐標為$\bbox[red,2pt]{(0,0)}$

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解：
此題相當求$y=-x$ 及$y=\log{x}$兩圖形的交點數量。

由上圖可知: 兩圖形只有1個交點，因此有$\bbox[red,2pt]{1}$個實數解。

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解： $$\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{AC}\times\sin{\angle A} = \frac{1}{2}\times 8\times 9\times \frac{1}{2}=\bbox[red,2pt]{18}$$

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解：
點數和為二位數的情形：
點數和為10: (6,4), (4,6), (5,5)，三種情形
點數和為11: (6,5), (5,6)，二種情形
點數和為12: (6,6)，一種情形
因此點數和為兩位數有3+2+1=6種情形，其餘36-6=30種情形的點數和為一位數，因此期望值為$(6\times 100-30\times 50)\div 36=-900\div 36=\bbox[red,2pt]{-25}$元。

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解：

假設四個選項為A、B、C、D，每個選項出現或不出現，因此共有$2\times 2\times 2\times 2=16$種可能。至少有一個正確選項代表所有可能扣除全部不正確，即16-1=$\bbox[red,2pt]{15}$種答案。

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解：三位數ABC中，A=1-9、B=6、C=1,3,5,7,9，共有$9\times 1\times 5=\bbox[red,2pt]{45}$個。

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解： $$\frac { 1+5 }{ 3 } =\frac { 2-12 }{ -5 } =\frac { 3+t }{ 2 } \Rightarrow 2=\frac { 3+t }{ 2 } \Rightarrow t=\bbox[red,2pt]{1}$$

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解： $$\left( x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 } \right) \left( 1^{ 2 }+2^{ 2 }+2^{ 2 } \right) \ge { \left( x\cdot 1+y\cdot 2+z\cdot 2 \right)  }^{ 2 }\Rightarrow \left( x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 } \right) \times 9\ge { \left( x+2y+2z \right)  }^{ 2 }\\ \Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }\ge \frac { 6^{ 2 } }{ 9 } =\bbox[red,2pt]{4}$$

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解： $$f(1)=4\Rightarrow 1+a+5-1=4\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{-1}$$

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解： $$\begin{cases} \begin{cases} x-2y=2 \\ x+y=-1 \end{cases} \\ \begin{cases} a+b=5 \\ 2a-b=1 \end{cases} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases} \\ \begin{cases} a=2 \\ b=3 \end{cases} \end{cases}\Rightarrow x+y+a+b=0-1+2+3=\bbox[red,2pt]{4}$$

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