103 年度高中學力鑑定考試數學科詳解

臺閩地區 103 年度自學進修
普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試

數學科詳解

一、選擇題：( 12 題，每題 5 分，共 60 分)

解：

$a_1=-8,r=-\frac{1}{2}\Rightarrow a_{10}=a_1\times r^9=-8\times\left(-\frac{1}{2}\right)^9 =\frac{8}{512}=\frac{1}{64}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

挑三個坐標值的平方和最大的，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
至少出現1次正面的機率=1-出現5次反面的機率=$1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
$y=-2x^2+4x+3=-2(x^2-2x+1)+3+2=-2(x-1)^2+5$，因此$x=1$時有最大值5，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\log { \frac { 5 }{ 9 }  } -\log { \frac { 3 }{ 7 }  } +\log { \frac { 27 }{ 35 }  } =\log{5}-\log{9}-\log{3}+\log{7}+\log{27}-\log{35}\\=\log{5}-2\log{3}-\log{3}+\log{7}+3\log{3}-\log{5}-\log{7}=0$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

挑選數字變動較大的，即不一致性較高，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

$\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{30^\circ}=\frac{1}{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

$\left|2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}\right|=\left|(2,6)-(2,1)+(12,0)\right|=\left|(12,5)\right|=\sqrt{12^2+5^2}=13$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
$\vec{a}\bot\vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0\Rightarrow 2(2t-2)-3(t-4)=0 \Rightarrow t=-8$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

由於$-1\le \sin{\theta}\le 1$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
$2000\times 4^{ \frac { 5 }{ 2 }  }=2000\times 4^{ 2 }\times 4^{ \frac { 1 }{ 2 }  }=2000\times 16\times 2=64000$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
此題相當於求$x+y+z=10$的非負整數解有幾組?，即$H^3_{10}=C^{12}_{10}=66$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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二、填充題

解：
圓心為(2,1),半徑為3之方程式為$(x-2)^2+(y-1)^2=3^2\Rightarrow x^2+y^2-4x-2y-4=0$，因此$d=-4,e=-2,f=-4\Rightarrow d+e+f=-4-2-4=\bbox[red,2pt]{-10}$。

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解： $$\begin{cases} x-y=2 \\ x+y=-1 \\ a+b=5 \\ 2a-b=1 \end{cases}\Rightarrow (x+y)+(a+b)=-1+5=\bbox[red,2pt]{4}$$

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解：
分母次數高於分子，因此極限值為$\frac{0}{\infty}=\bbox[red,2pt]{0}$

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解：
因為獨立，所以$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=0.2\times 0.4=\bbox[red,2pt]{0.08}$

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解：
先將甲乙綁在一起算一個人，則四個人排列有4!=24種排法；
甲乙綁在一起可以甲乙或乙甲，有2種綁法，因此總共有$24\times 2=\bbox[red,2pt]{48}$ 種排法。

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解：
$n=1\Rightarrow$白色地磚數為$3\times 3-1$
$n=2\Rightarrow$白色地磚數為$3\times 5-2$
$n=3\Rightarrow$白色地磚數為$3\times 7-3$
$n=k\Rightarrow$白色地磚數為$3\times (2k+1)-k$

因此$n=20\Rightarrow$白色地磚數為$3\times (2\times 20+1)-20=123-20=\bbox[red,2pt]{103}$

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解：
$(2,4)\to (2-3)^2=-(4-k)\Rightarrow 1=k-4\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{5}$

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解：
將五頂點代入，最大值既為所求；以B或C點代入的值較大，
$B\to 3x+4y=6+28=34; C\to 3x+4y=12+12=24$，因此最大值為$\bbox[red,2pt]{34}$

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解：
若點數和為$x$，則
$x=12\Rightarrow X={(6,6)}\Rightarrow P(X)=\frac{1}{36}$
$x=11\Rightarrow X={(5,6),(6,5)}\Rightarrow P(X)=\frac{2}{36}$
$x=10\Rightarrow X={(4,6),(6,4),(5,5)}\Rightarrow P(X)=\frac{3}{36}$
因此點數和為二位數的機率為$\frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}=\frac{1}{6}$；點數和為一位數的機率為$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

期望值=$100\times\frac{1}{6}-50\times\frac{5}{6}=\bbox[red,2pt]{-25}$元

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解：
令所求之餘式為$ax+b$，因此 $$\begin{cases}f(-1)=6\\f(3)=-2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}-a+b=6\\3a+b=-2\end{cases}\Rightarrow a=-2,b=4\Rightarrow 餘式為\bbox[red,2pt]{-2x+4}$$

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