臺閩地區 103 年度自學進修
普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試
普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試
數學科詳解
一、選擇題：( 12 題，每題 5 分，共 60 分)
\(a_1=-8,r=-\frac{1}{2}\Rightarrow a_{10}=a_1\times r^9=-8\times\left(-\frac{1}{2}\right)^9 =\frac{8}{512}=\frac{1}{64}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
挑三個坐標值的平方和最大的，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
至少出現1次正面的機率=1-出現5次反面的機率=\(1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
\(y=-2x^2+4x+3=-2(x^2-2x+1)+3+2=-2(x-1)^2+5\)，因此\(x=1\)時有最大值5，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：$$\log { \frac { 5 }{ 9 } } -\log { \frac { 3 }{ 7 } } +\log { \frac { 27 }{ 35 } } =\log{5}-\log{9}-\log{3}+\log{7}+\log{27}-\log{35}\\=\log{5}-2\log{3}-\log{3}+\log{7}+3\log{3}-\log{5}-\log{7}=0$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：
挑選數字變動較大的，即不一致性較高，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：
\(\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{30^\circ}=\frac{1}{2}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：
\(\left|2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}\right|=\left|(2,6)-(2,1)+(12,0)\right|=\left|(12,5)\right|=\sqrt{12^2+5^2}=13\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
\(\vec{a}\bot\vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0\Rightarrow 2(2t-2)-3(t-4)=0 \Rightarrow t=-8\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
由於\(-1\le \sin{\theta}\le 1\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：
\(2000\times 4^{ \frac { 5 }{ 2 } }=2000\times 4^{ 2 }\times 4^{ \frac { 1 }{ 2 } }=2000\times 16\times 2=64000\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：
此題相當於求\(x+y+z=10\)的非負整數解有幾組?，即\(H^3_{10}=C^{12}_{10}=66\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
二、填充題
解：
圓心為(2,1),半徑為3之方程式為\((x-2)^2+(y-1)^2=3^2\Rightarrow x^2+y^2-4x-2y-4=0\)，因此\(d=-4,e=-2,f=-4\Rightarrow d+e+f=-4-2-4=\bbox[red,2pt]{-10}\)。
解：$$\begin{cases} x-y=2 \\ x+y=-1 \\ a+b=5 \\ 2a-b=1 \end{cases}\Rightarrow (x+y)+(a+b)=-1+5=\bbox[red,2pt]{4}$$
解：
分母次數高於分子，因此極限值為\(\frac{0}{\infty}=\bbox[red,2pt]{0}\)
解：
因為獨立，所以\(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=0.2\times 0.4=\bbox[red,2pt]{0.08}\)
解：
先將甲乙綁在一起算一個人，則四個人排列有4!=24種排法；
甲乙綁在一起可以甲乙或乙甲，有2種綁法，因此總共有\(24\times 2=\bbox[red,2pt]{48}\) 種排法。
解：
\(n=1\Rightarrow\)白色地磚數為\(3\times 3-1\)
\(n=2\Rightarrow\)白色地磚數為\(3\times 5-2\)
\(n=3\Rightarrow\)白色地磚數為\(3\times 7-3\)
\(n=k\Rightarrow\)白色地磚數為\(3\times (2k+1)-k\)
因此\(n=20\Rightarrow\)白色地磚數為\(3\times (2\times 20+1)-20=123-20=\bbox[red,2pt]{103}\)
解：
\((2,4)\to (2-3)^2=-(4-k)\Rightarrow 1=k-4\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{5}\)
解：
將五頂點代入，最大值既為所求；以B或C點代入的值較大，
\(B\to 3x+4y=6+28=34; C\to 3x+4y=12+12=24\)，因此最大值為\(\bbox[red,2pt]{34}\)
解：
若點數和為\(x\)，則
\(x=12\Rightarrow X={(6,6)}\Rightarrow P(X)=\frac{1}{36}\)
\(x=11\Rightarrow X={(5,6),(6,5)}\Rightarrow P(X)=\frac{2}{36}\)
\(x=10\Rightarrow X={(4,6),(6,4),(5,5)}\Rightarrow P(X)=\frac{3}{36}\)
因此點數和為二位數的機率為\(\frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}=\frac{1}{6}\)；點數和為一位數的機率為\(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
期望值=\(100\times\frac{1}{6}-50\times\frac{5}{6}=\bbox[red,2pt]{-25}\)元
解：
令所求之餘式為\(ax+b\)，因此$$\begin{cases}f(-1)=6\\f(3)=-2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}-a+b=6\\3a+b=-2\end{cases}\Rightarrow a=-2,b=4\Rightarrow 餘式為\bbox[red,2pt]{-2x+4}$$
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