106年普考--氣象--微積分 詳解

106年公務人員普通考試
類科：氣象  科目：微積分

詳解

解：

(一) $$\lim _{ n\to \infty  }{ \sqrt [ n ]{ 5n }  } =A\Rightarrow \ln { (A) } =\lim _{ n\to \infty  }{ \ln { \left( 5n \right) ^{ \frac { 1 }{ n }  } }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { \ln { \left( 5n \right)  }  }{ n }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { \frac { 5 }{ 5n }  }{ 1 }  } =0\\ \Rightarrow \ln { \left( A \right)  } =0\Rightarrow A={ e }^{ 0 }=1\Rightarrow \lim _{ n\to \infty  }{ \sqrt [ n ]{ 5n }  } =\bbox[red,2pt]{1}$$

(二) $$\frac { \sqrt { 5n+k } -\sqrt { n }  }{ \sqrt { n^{ 3 } }  } =\frac { 1 }{ n } \cdot \frac { \sqrt { 5n+k } -\sqrt { n }  }{ \sqrt { n }  } =\frac { 1 }{ n } \cdot \frac { \sqrt { 5+\frac { k }{ n }  } -\sqrt { \frac { n }{ n }  }  }{ \sqrt { \frac { n }{ n }  }  } =\frac { 1 }{ n } \cdot \left( \sqrt { 5+\frac { k }{ n }  } -1 \right) \\ \Rightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { \sqrt { 5n+k } -\sqrt { n }  }{ \sqrt { n^{ 3 } }  }  }  } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \sqrt { 5+x } -1 \right)  } dx=\left. \left[ { \frac { 2 }{ 3 } \left( 5+x \right)  }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }-x \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }\\ =\left( \frac { 2 }{ 3 } \cdot { 6 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }-1 \right) -\left( \frac { 2 }{ 3 } \cdot { 5 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 2 }{ 3 } \left( 6\sqrt { 6 } -5\sqrt { 5 }  \right) -1}$$

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解： $$\int _{ 0 }^{ x }{ f\left( x \right) dx } =x\sin { \pi x } =g\left( x \right) \Rightarrow g'\left( x \right) =f\left( x \right) =\sin { \pi x } +\pi x\cos { \pi x } \\ \Rightarrow f'\left( x \right) =\pi \cos { \pi x } +\pi \cos { \pi x } -\pi ^{ 2 }x\sin { \pi x } =2\pi \cos { \pi x } -\pi ^{ 2 }x\sin { \pi x } \\ \Rightarrow f''\left( x \right) =-2\pi ^{ 2 }\sin{ \pi x }-\pi ^{ 2 }\sin { \pi x } -\pi ^{ 3 }x\cos { \pi x } =-3\pi ^{ 2 }\sin { \pi x } -\pi ^{ 3 }x\cos { \pi x } \\ \Rightarrow f''\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) =-3\pi ^{ 2 }\sin { \frac { \pi  }{ 2 }  } -\pi ^{ 3 }\frac { 1 }{ 2 } \cos { \frac { \pi  }{ 2 }  } = \bbox[red,2pt]{-3\pi ^{ 2 }}$$

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解： $$f\left( x,y,z \right) =F\left( G\left( x,y,z \right)  \right) =F\left( \sqrt { x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 } }  \right) ={ e }^{ x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }+1 }\\ \Rightarrow \frac { \partial f }{ \partial z } =2z{ e }^{ x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }+1 }\Rightarrow \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial z^{ 2 } } =2{ e }^{ x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }+1 }+4z^{ 2 }{ e }^{ x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }+1 }=\bbox[red,2pt]{\left( 4z^{ 2 }+2 \right) { e }^{ x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }+1 }}$$

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解： $$f\left( x,y \right) =x^{ 3 }+y^{ 3 }-12x-27y+30\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=3x^{ 2 }-12 \\ f_{ y }=3y^{ 2 }-27 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f_{ xx }=6x \\ f_{ xy }=0 \\ f_{ yy }=6y \end{cases}\\ \Rightarrow d(x,y)=f_{ xx }\times f_{ yy }-{ \left( f_{ xy } \right)  }^{ 2 }=36xy\\ \begin{cases} f_{ x }=0 \\ f_{ y }=0 \end{cases}\Rightarrow \left( x,y \right) =\left( \pm 2,\pm 3 \right) \Rightarrow \begin{cases} d(2,3)=216>0 \\ d(2,-3)=-216<0 \\ d(-2,3)=-216<0 \\ d(-2,-3)=216>0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( 2,3 \right) ,\left( -2,-3 \right) 有極值 \\ \left( 2,-3 \right) ,\left( -2,3 \right) 為鞍點 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} f(2,3)=8+27-24-81+30=-40 \\ f(-2,-3)=-8-27+24+81+30=100 \\ f_{ xx }(2,3)=12>0 \\ f_{ xx }(-2,-3)=-12<0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \bbox[red,2pt]{相對極大值:100} } \\ { \bbox[red,2pt]{相對極小值:-40} } \end{cases}$$

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解：
(一) $$\begin{cases} u=\sin { x } +\cos { x }  \\ v=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\left( \cos { x } -\sin { x }  \right) dx \\ dv=e^{ 2x }dx \end{cases}\Rightarrow \int { e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right)  } dx=\int { u } dv=uv-\int { v } du\\ =\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right) -\frac { 1 }{ 2 } \int { e^{ 2x }\left( \cos { x } -\sin { x }  \right)  } dx\\ \begin{cases} u=\cos { x } -\sin { x }  \\ v=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=-\left( \cos { x } +\sin { x }  \right) dx \\ dv=e^{ 2x }dx \end{cases}\Rightarrow \int { e^{ 2x }\left( \cos { x } -\sin { x }  \right)  } dx=\int { u } dv=uv-\int { v } du\\ =\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\left( \cos { x } -\sin { x }  \right) +\frac { 1 }{ 2 } \int { e^{ 2x }\left( \cos { x } +\sin { x }  \right)  } dx\\ 由上二式可知\int { e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right)  } dx=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\left( \cos { x } -\sin { x }  \right) +\frac { 1 }{ 2 } \int { e^{ 2x }\left( \cos { x } +\sin { x }  \right)  } dx \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right) -\frac { 1 }{ 4 } e^{ 2x }\left( \cos { x } -\sin { x }  \right) -\frac { 1 }{ 4 } \int { e^{ 2x }\left( \cos { x } +\sin { x }  \right)  } dx\\ \Rightarrow \frac { 5 }{ 4 } \int { e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right)  } dx=\frac { 1 }{ 2 } e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right) -\frac { 1 }{ 4 } e^{ 2x }\left( \cos { x } -\sin { x }  \right) \\ \Rightarrow \int { e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right)  } dx=\frac { 2 }{ 5 } e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right) -\frac { 1 }{ 5 } e^{ 2x }\left( \cos { x } -\sin { x }  \right) =e^{ 2x }\left( \frac { 3 }{ 5 } \sin { x } +\frac { 1 }{ 5 } \cos { x }  \right) \\ $$ 因此 $$\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ e^{ 2x }\left( \sin { x } +\cos { x }  \right)  } dx=\left. \left[ e^{ 2x }\left( \frac { 3 }{ 5 } \sin { x } +\frac { 1 }{ 5 } \cos { x }  \right)  \right]  \right| ^{ \pi /2 }_{ 0 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 3 }{ 5 } e^{ \pi  }-\frac { 1 }{ 5 } }$$
(二)

由上圖可知 $$\iint _{ \Omega  }^{  }{ e^{ x^{ 2 } } } dxdy=\int _{ 0 }^{ 3 }{ \int _{ \frac { y }{ 3 }  }^{ 1 }{ e^{ x^{ 2 } } }  } dxdy=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 3x }{ e^{ x^{ 2 } } }  } dydx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left. \left[ ye^{ x^{ 2 } } \right]  \right| ^{ 3x }_{ 0 } } dx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ 3xe^{ x^{ 2 } } } dx\\ =\left. \left[ \frac { 3 }{ 2 } e^{ x^{ 2 } } \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 3 }{ 2 } e-\frac { 3 }{ 2 }}$$

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沒公布標準答案，僅供參考!!