102年高中學力鑑定考試數學科詳解

臺閩地區 102 年度自學進修
高級中學畢業程度學力鑑定考試

數學科詳解

一、選擇題：( 12 題，每題 5 分，共 60 分)

解：
百位數可為2,4,6,8，有四種選擇；十位數可為0-9，有10種選擇；個位數可為1,3,5,7,9，有五種選擇；因此這樣的三位數共有$4\times   10\times  5= 200$個，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

點數和為9的情形：(3,6), (6,3),(4,5),(5,4)，有4種；

點數和為10的情形：(4,6), (6,4),(5,5)，有3種；

點數和為11的情形：(5,6), (6,5)，有2種；

點數和為12的情形：(6,6)，只有1種；

因此大於8的情況共有4+3+2+1=10種情形，每一種的機率都是$\frac{1}{36}$，所以機率為$\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
若千位數固定為1，剩下3個數字排在百、十、個位，有$3\times 2\times   1=6$種情況。也就是千位數是1的四位數有6個；同理千位數是2的也有6個...。每個數字出現在千、百、十、個位都有6次，因此所有的四位數總和為$1000\times 6\times (1+2+3+4)+100\times  6\times (1+2+3+4)+10\times  6\times  (1+2+3+4)$
$+   1\times 6\times (1+2+3+4) =  60000+6000+600+60  =  66660$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
無論第1個骰子出現的點數為何，第二個骰子要出現與第一個骰子相同的機率為$\frac{1}{6}$，不相同的機率為$\frac{5}{6}$，因此期望值為$220\times\frac{1}{6}-50\times\frac{5}{6}  =-5$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\log _{ 3 }{ 12 } =\log _{ 3 }{ 3 } +\log _{ 3 }{ 4 } =1+2\log _{ 3 }{ 2 } =a\\ \Rightarrow \log _{ 9 }{ 36 } =\frac { \log _{ 3 }{ 36 }  }{ \log _{ 3 }{ 9 }  } =\frac { \log _{ 3 }{ 9 } +\log _{ 3 }{ 4 }  }{ \log _{ 3 }{ 9 }  } =\frac { 2+2\log _{ 3 }{ 2 }  }{ 2 } =\frac { 1+a }{ 2 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$det(A)=0\Rightarrow \begin{vmatrix} x+2 & 3 \\ 2 & x+1 \end{vmatrix}=0\Rightarrow (x+2)(x+1)=6\Rightarrow x^2+3x-4=0\Rightarrow (x+4)(x-1)=0\\\Rightarrow x=1(-4不合,\because x為正數)$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

直線L的方向向量為$\vec{u}=(3,-1,2)$，需與平面的法向量垂直，即內積為0；
$(3,-1,2)\cdot (1,1,-1)=3-1-2=0$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

由方程式可知橢圓的焦點坐標為(3,2)及(-3,-2)，中心坐標為兩焦點的中心點，即(0,0)，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

假設此立方體邊長為1，且R為原點，則$O=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}), C=(1,0,0)$,
$B=(1,0,1), D=(1,1,0)$，由此可求得$P=(1,0,\frac{1}{2}), Q=(1,\frac{1}{2},0)$。因此 $$\vec { OP } \cdot \vec { OQ } =|\vec { OP } ||\vec { OQ } |\cos { \angle POQ } \Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 2 } ,-\frac { 1 }{ 2 } ,0 \right) \cdot \left( \frac { 1 }{ 2 } ,0,-\frac { 1 }{ 2 }  \right) =\sqrt { \frac { 1 }{ 2 }  } \times \sqrt { \frac { 1 }{ 2 }  } \times \cos { \angle POQ } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } \times \cos { \angle POQ } \Rightarrow \cos { \angle POQ } =\frac { 1 }{ 2 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

空間中的線段垂直平分線有無限多條，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
直線上的點可表示成$(3t+1,2t+4,-t-2)$，當$t=0\to (1,4,-2), t=-1\to (-2,2,-1), t=2\to (7,8,-4)$，只有(B)不在L上，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
先將甲乙綁在一起算一個人，則四個人排列有4!=24種排法；
甲乙綁在一起可以甲乙或乙甲，有2種綁法，因此總共有$2\times 24=48$種排法，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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二、填充題

解：
0男3女+1男2女+2男1女+3男 =$C^4_3+C^6_1C^4_2+C^6_2C^4_1+C^6_3$ = $4+36+60+20 = \bbox[red,2pt]{120}$種選法。

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解：$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\bbox[red,2pt]{\frac{1}{25}}$

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解： $$\sqrt [ 3 ]{ 81\sqrt [ 4 ]{ 729\div \sqrt [ 3 ]{ 81 }  }  } =\sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 }\times \sqrt [ 4 ]{ \frac { 3^{ 6 } }{ \sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 } }  }  }  } =\sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 }\times \sqrt [ 4 ]{ \frac { 3^{ 6 } }{ 3^{ \frac { 4 }{ 3 }  } }  }  } =\sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 }\times \sqrt [ 4 ]{ 3^{ \frac { 14 }{ 3 }  } }  } \\ =\sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 4 }\times 3^{ \frac { 14 }{ 12 }  } } =\sqrt [ 3 ]{ 3^{ \frac { 62 }{ 12 }  } } =3^{ \frac { 62 }{ 36 }  }=3^{ \frac { 31 }{ 18 }  }=3^x\Rightarrow x=\bbox[red,2pt]{\frac{31}{18}}$$

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解：
令餘式為$ax+b$，則 $$\begin{cases} f\left( -1 \right) =6 \\ f\left( 3 \right) =-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -a+b=6 \\ 3a+b=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-2 \\ b=4 \end{cases}$$ 因此餘式為$\bbox[red,2pt]{-2x+4}$

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解：

利用餘弦定理求解： $$\triangle ABC\Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { { \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }-{ \overline { AC }  }^{ 2 } }{ 2\times \overline { AB } \times \overline { BC }  } =\frac { 49+25-9 }{ 70 } =\frac { 13 }{ 14 } \\ \triangle ABD\Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { { \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { BD }  }^{ 2 }-{ \overline { AD }  }^{ 2 } }{ 2\times \overline { AB } \times \overline { BD }  } \Rightarrow \frac { 13 }{ 14 } =\frac { 98-{ \overline { AD }  }^{ 2 } }{ 98 } \\ \Rightarrow { \overline { AD }  }^{ 2 }=\frac { 98 }{ 14 } =7\Rightarrow \overline { AD } =\bbox[red,2pt]{\sqrt { 7 }}$$

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解： $$\tan { \theta  } =\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow \sin { \theta  } =\frac { 4 }{ 5 } ,\cos { \theta  } =\frac { 3 }{ 5 } \Rightarrow \frac { 2\sin { \theta  } -\cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  } -\cos { \theta  }  } =\frac { \frac { 8 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 }  }{ \frac { 4 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 }  } =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 5 }  } =\bbox[red,2pt]{5}$$

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解：
對稱軸垂直X軸表示該拋物線為上下形，其方程式可假設成$y=ax^2+bx+c$。過3點可表示成: $$\begin{cases} 3=c \\ 4=a-b+c \\ 6=a+b+c \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c=3 \\ b=1 \\ a=2 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=2x^2+x+3}$$

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解：

$\triangle ABC=\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{AC}\times\sin{\angle A} = \frac{1}{2}\times 12\times 9\times \frac{1}{2}=\bbox[red,2pt]{27}$

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解：
公正骰子出現任何一點的機率皆為$\frac{1}{6}$，因此期望值為$(10+10+10+20+20+50)\div 6=\bbox[red,2pt]{20}$元。

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解： $$(x-2)^{ 2 }+(y-1)^{ 2 }=3^{ 2 }\Rightarrow x^{ 2 }-4x+4+y^{ 2 }-2y+1=9\Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }-4x-2y-4=0\\ \Rightarrow d+e+f=-4-2-4=\bbox[red,2pt]{-10}$$

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