臺閩地區 102 年度自學進修
高級中學畢業程度學力鑑定考試
高級中學畢業程度學力鑑定考試
數學科詳解
一、選擇題：( 12 題，每題 5 分，共 60 分)
百位數可為2,4,6,8，有四種選擇；十位數可為0-9，有10種選擇；個位數可為1,3,5,7,9，有五種選擇；因此這樣的三位數共有\(4\times 10\times 5= 200\)個，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
點數和為9的情形：(3,6), (6,3),(4,5),(5,4)，有4種；
點數和為10的情形：(4,6), (6,4),(5,5)，有3種；
點數和為11的情形：(5,6), (6,5)，有2種；
點數和為12的情形：(6,6)，只有1種；
因此大於8的情況共有4+3+2+1=10種情形，每一種的機率都是\(\frac{1}{36}\)，所以機率為\(\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
若千位數固定為1，剩下3個數字排在百、十、個位，有\(3\times 2\times 1=6\)種情況。也就是千位數是1的四位數有6個；同理千位數是2的也有6個...。每個數字出現在千、百、十、個位都有6次，因此所有的四位數總和為\(1000\times 6\times (1+2+3+4)+100\times 6\times (1+2+3+4)+10\times 6\times (1+2+3+4)\)
\(+ 1\times 6\times (1+2+3+4) = 60000+6000+600+60 = 66660\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
無論第1個骰子出現的點數為何，第二個骰子要出現與第一個骰子相同的機率為\(\frac{1}{6}\)，不相同的機率為\(\frac{5}{6}\)，因此期望值為\(220\times\frac{1}{6}-50\times\frac{5}{6} =-5\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：$$\log _{ 3 }{ 12 } =\log _{ 3 }{ 3 } +\log _{ 3 }{ 4 } =1+2\log _{ 3 }{ 2 } =a\\ \Rightarrow \log _{ 9 }{ 36 } =\frac { \log _{ 3 }{ 36 } }{ \log _{ 3 }{ 9 } } =\frac { \log _{ 3 }{ 9 } +\log _{ 3 }{ 4 } }{ \log _{ 3 }{ 9 } } =\frac { 2+2\log _{ 3 }{ 2 } }{ 2 } =\frac { 1+a }{ 2 } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：$$det(A)=0\Rightarrow \begin{vmatrix} x+2 & 3 \\ 2 & x+1 \end{vmatrix}=0\Rightarrow (x+2)(x+1)=6\Rightarrow x^2+3x-4=0\Rightarrow (x+4)(x-1)=0\\\Rightarrow x=1(-4不合,\because x為正數)$$故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
直線L的方向向量為\(\vec{u}=(3,-1,2)\)，需與平面的法向量垂直，即內積為0；
\((3,-1,2)\cdot (1,1,-1)=3-1-2=0\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
\((3,-1,2)\cdot (1,1,-1)=3-1-2=0\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
由方程式可知橢圓的焦點坐標為(3,2)及(-3,-2)，中心坐標為兩焦點的中心點，即(0,0)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：
\(B=(1,0,1), D=(1,1,0)\)，由此可求得\(P=(1,0,\frac{1}{2}), Q=(1,\frac{1}{2},0)\)。因此$$\vec { OP } \cdot \vec { OQ } =|\vec { OP } ||\vec { OQ } |\cos { \angle POQ } \Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 2 } ,-\frac { 1 }{ 2 } ,0 \right) \cdot \left( \frac { 1 }{ 2 } ,0,-\frac { 1 }{ 2 } \right) =\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } \times \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } \times \cos { \angle POQ } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } \times \cos { \angle POQ } \Rightarrow \cos { \angle POQ } =\frac { 1 }{ 2 } $$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
空間中的線段垂直平分線有無限多條，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
直線上的點可表示成\((3t+1,2t+4,-t-2)\)，當\(t=0\to (1,4,-2), t=-1\to (-2,2,-1), t=2\to (7,8,-4)\)，只有(B)不在L上，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：
先將甲乙綁在一起算一個人，則四個人排列有4!=24種排法；
甲乙綁在一起可以甲乙或乙甲，有2種綁法，因此總共有\(2\times 24=48\)種排法，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
二、填充題
解：
0男3女+1男2女+2男1女+3男 =\(C^4_3+C^6_1C^4_2+C^6_2C^4_1+C^6_3\) = \(4+36+60+20 = \bbox[red,2pt]{120}\)種選法。
解：\(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\bbox[red,2pt]{\frac{1}{25}}\)
解：
令餘式為\(ax+b\)，則$$\begin{cases} f\left( -1 \right) =6 \\ f\left( 3 \right) =-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -a+b=6 \\ 3a+b=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-2 \\ b=4 \end{cases}$$因此餘式為\(\bbox[red,2pt]{-2x+4}\)
解：
解：$$\tan { \theta } =\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow \sin { \theta } =\frac { 4 }{ 5 } ,\cos { \theta } =\frac { 3 }{ 5 } \Rightarrow \frac { 2\sin { \theta } -\cos { \theta } }{ \sin { \theta } -\cos { \theta } } =\frac { \frac { 8 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 } }{ \frac { 4 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 } } =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 5 } } =\bbox[red,2pt]{5}$$
對稱軸垂直X軸表示該拋物線為上下形，其方程式可假設成\(y=ax^2+bx+c\)。過3點可表示成:$$\begin{cases} 3=c \\ 4=a-b+c \\ 6=a+b+c \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c=3 \\ b=1 \\ a=2 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=2x^2+x+3}$$
解：
解：
公正骰子出現任何一點的機率皆為\(\frac{1}{6}\)，因此期望值為\((10+10+10+20+20+50)\div 6=\bbox[red,2pt]{20}\)元。
解：$$(x-2)^{ 2 }+(y-1)^{ 2 }=3^{ 2 }\Rightarrow x^{ 2 }-4x+4+y^{ 2 }-2y+1=9\Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }-4x-2y-4=0\\ \Rightarrow d+e+f=-4-2-4=\bbox[red,2pt]{-10}$$
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