107學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

107 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 

升學輔導甄試學科考試 數學科 試題

  解： $$2.57=(自責分\times 9)\div 7\Rightarrow 自責分=2.57\times 7\div 9 = 1.99$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$f(x)=-x^2+4x+1=-(x^2-4x+4)+1+4=-(x-2)^2+5\\ \Rightarrow   \alpha=2,\beta=5\Rightarrow   \alpha+\beta=2+5=7$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$令f(x)=p(x)(x^2-3x+2)+mx+n=p(x)(x-2)(x-1)+mx+n\\由題意可知: \begin{cases}f(1)=3\\f(2)=10\end{cases} \Rightarrow   \begin{cases}m+n=3\\2m+n=10\end{cases}\Rightarrow   m=7$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：
由於$\overline{AB}$為直徑，所以$\angle   ADB=90^\circ$；
令$\overline{AD}=a,\overline{DB}=b,及\overline{DC}=h$，則  $h^2=a^2-3^2=b^2-2^2 \Rightarrow   a^2-b^2=5$；又$a^2+b^2={\overline{AC}}^2=25$；由以上二式可得$2a^2=5+25=30\Rightarrow   a=\sqrt{15}\Rightarrow   b=\sqrt{10}$
$\triangle ABD面積=   a\times   b\div 2=\overline{AB}\times   h\div 2\Rightarrow   \sqrt{15}\times\sqrt{10}=5h\Rightarrow   h=\sqrt{6}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：斜率=$\frac{10-4}{-2-1}=\frac{6}{-3}=-2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$1+2+3+\cdots+10=\frac{(10+1)\times 10}{2}=55$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解： $$3^{x+1}=9^{2-x}={\left(3^2\right)}^{2-x}\Rightarrow   x+1=2(2-x)\Rightarrow   x=1\Rightarrow   y=9\Rightarrow   a+b=1+9=10$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：$\tan{\theta}=\frac{4}{3}=1.33$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：$C:x^2+y^2-4x+2y+k=0\Rightarrow   (x-2)^2+(y+1)^2=5-k\Rightarrow   圓心(2,-1),半徑:\sqrt{5-k}$
圓C與x軸相切代表圓心至x軸的距離等於半徑，即半徑=$|-1|=1$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Rightarrow 2x-20=0\Rightarrow x=10$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

只有兩種情況，即:$|x|=1,|y-2018|=0$或$|x|=0,|y-2018|=1$；因此$(x,y)=(1,2018),(-1,2018), (0,2019),   (0,   2017)$，共有四組整數解，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$C^3_1\times   C^4_2\times   C^5_2=3\times   6\times   10=180$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\sum _{ k=1 }^{ 5 }{ \left( 3k+t \right)  } =3\sum _{ k=1 }^{ 5 }{ k } +\sum _{ k=1 }^{ 5 }{ t } =3\times 15+5t=45+5t=65\Rightarrow 5t=20\Rightarrow t=4$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

此題相當於求兩圖形$y=2-x$與$y=\log_{2}{x}$交點的個數，見上圖。故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$2P+Q=2\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 16 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 20 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}\\z=5，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：利用餘弦定理，即$7=4+{\overline{AC}}^2-4\overline{AC}\times\cos{120^\circ}$
$\Rightarrow   {\overline{AC}}^2+2{\overline{AC}}-3=0\Rightarrow   ({\overline{AC}}+3)({\overline{AC}}-1)=0\Rightarrow   {\overline{AC}}=1$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：線段$\overline{CG}$上所有點的x坐標與y坐標都是5，只有(B)符合條件，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
兩線段無限延長不相交且不在同一平面上，
(A)有相交；(B)有相交；(C)同一平面；(D)同一平面；
故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：$\cos{360^\circ}=\cos{0^\circ}=1$最大(餘弦值最大值為1)，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
壘上有1人: 可能在1壘、2壘或3壘，共有3種情形
壘上有2人: 可能在1,2壘、1,3壘或2,3壘，共有3種情形
壘上有3人: 1壘、2壘及3壘各有1人，只有1種情形
因此共有3+3+1=7種情形，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$9x^2-4y^2=36\Rightarrow \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\Rightarrow a=2,b=3\Rightarrow c^2=2^2+3^2=13\\\Rightarrow c=\sqrt{13}\Rightarrow \overline{F_1F_2}=2c= 2\sqrt{13}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解： $$\begin{bmatrix} 0.7 & y \\ x & 0.4 \end{bmatrix}為轉移方陣\Rightarrow x=1-0.7=0.3,y=1-0.4=0.6\\ \Rightarrow \begin{vmatrix} 0.7 & y \\ x & 0.4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0.7 & 0.6 \\ 0.3 & 0.4 \end{vmatrix}=0.28-0.18=0.1$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：5筆資料與y=x+1非常接近，只有(D)離此直線較遠，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\vec { u } \cdot \vec { v } =|\vec { u } ||\vec { v } |\cos { 120° } =1\times 2\times \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right) =-1\\ \left( \vec { u } +\vec { v }  \right) \cdot \left( \vec { u } +\vec { v }  \right) ={ \left| \vec { u } +\vec { v }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow { \left| \vec { u }  \right|  }^{ 2 }+2\vec { u } \cdot \vec { v } +{ \left| \vec { v }  \right|  }^{ 2 }={ \left| \vec { u } +\vec { v }  \right|  }^{ 2 }\\ \Rightarrow 1-2+4=3={ \left| \vec { u } +\vec { v }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow \left| \vec { u } +\vec { v }  \right| =\sqrt { 3 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$x^{ 2 }+4x+a>0\Rightarrow x^{ 2 }+4x+4+a-4>0\Rightarrow (x+2)^{ 2 }+a-4>0\Rightarrow a-4>0\Rightarrow a>4$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

每一個分組要比$C^4_2=6$場比賽，八個分組要比$6\times 8=48$場比賽，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$a_1\times a_3\times a_5\times a_7=a_1\times (a_1r^2)\times (a_1r^4)\times (a_1r^6) = a_1^4r^{12}=81\\\Rightarrow a_1r^3=\pm 3\Rightarrow a_1^2r^6=9\Rightarrow (a_1r)\times(a_1r^5)=9\Rightarrow a_2\times a_6=9$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：$f(1+i)=0\Rightarrow 1\pm i$皆為$f(x)=0$之兩根，由於$f(x)$為實係數三次式，還有一實根，即$y=f(x)$與x軸交於1點，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$(A) 3\\ (B)1\\(C)\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\\(D)\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10} \\(E)\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解： $$\gamma = (-1)\times 1+8\times 3=-1+24=23，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：兩平面的法向量分別為$\vec{u}=(1,-2,2),\vec{v}=(1,0,1)$，由$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos{\theta}$可知$\cos{\theta}=\frac{1+0+2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \times\sqrt{1^2+0+1^2}}=\frac{3}{3\times\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta=45^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：$(E)y=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow x^2+y^2=1$為一圓，其它選項皆不是封閉圖形，無法放進大圓裡面，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：$\triangle F_1PF_2$的底$\overline{F_1F_2}=2c$長度固定，其面積最大發生在高=b時，由$a=5,b=3\Rightarrow c=4$可求其面積=$2c\times b \div 2=8\times 3\div 2=12$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

先求平均值$\mu_X=(-1+0+1+2+3)\div 5=1$，再求$\sigma_X^2=((-1-1)^2+1^2+(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2) \div 5 =10\div 5=2$，因此標準差$\sigma_X=\sqrt{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
至少得2分的情形有:
得2分:011,110,101三種情形，每種情形的機率皆為$\frac{1}{8}$，因此得2分的機率為$\frac{3}{8}$
得3分:只有111一種情形，機率為$\frac{1}{8}$
因此機率總和為$\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：$\frac{P(體重超重且血壓異常)}{P(體重超重)}=\frac{0.1}{0.5}=0.2$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

該直線方向向量為$\vec{u}$且經過P，因此該直線可表示成$\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{-1}$，即$(-t+3,2t+1,-t+3)$。
地面為xy平面，即z=0，因此$-t+3=0\Rightarrow t=3$，球觸及地面的坐標為$(-3+3,6+1,0)= (0,7 ,0)$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\begin{cases} x-2y+3z=5 \\ 2x+y-3z=-3 \\ 3x-y+2z=6 \end{cases}\Rightarrow x=\alpha =\frac { \begin{vmatrix} 5 & -2 & 3 \\ -3 & 1 & -3 \\ 6 & -1 & 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} } =\frac { 55-45 }{ 14-4 } =\frac { 10 }{ 10 } =1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
抽中5元硬幣的機率為$\frac{1}{2}$，期望值為$5\times\frac{1}{2}=\frac{5}{2}=2.5$；
抽中10元硬幣的機率為$\frac{1}{2}$，期望值為$10\times\frac{1}{2}=5$；
因此所求之期望值為2.5+5=7.5，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

函數$y=\sin{x}$與$y=2\cos{x}$的圖形交點數與函數$y=\sin{x}$與$y=\cos{x}$的圖形交點數目是一樣的，都是四個，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$