107年 警專37期數學科(乙組)詳解

解： $$2\le \left| x-1 \right| \le 5\Rightarrow x-1=\begin{cases} 2,3,4,5 \\ -2,-3,-4,-5 \end{cases}\Rightarrow x=\begin{cases} 3,4,5,6 \\ -1,-2,-3,-4 \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$f\left( x \right) 在x=1時有最小值-2\Rightarrow f\left( x \right) =a{ \left( x-1 \right)  }^{ 2 }-2,其中a>0\\ f\left( 3 \right) =6\Rightarrow a{ \left( 3-1 \right)  }^{ 2 }-2=6\Rightarrow 4a-2=6\Rightarrow a=2\Rightarrow f\left( x \right) =2{ \left( x-1 \right)  }^{ 2 }-2\\ \Rightarrow f\left( -1 \right) =2\times (-2)^2-2=8-2=6$$
故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$P=\left( \frac { 3\times 1+1\times 5 }{ 1+3 } ,\frac { 3\times 3+1\times 11 }{ 1+3 }  \right) =\left( \frac { 8 }{ 4 } ,\frac { 20 }{ 4 }  \right) =\left( 2,5 \right)$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\left( 3,-2,4 \right) 至y=0的距離=\left| -2 \right| =2$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\log _{ 2 }{ 64\sqrt { 2 }  } =\log _{ 2 }{ \left( 2^{ 6 }\times 2^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  } =\log _{ 2 }{ \left( 2^{ \frac { 13 }{ 2 }  } \right)  } =\frac { 13 }{ 2 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\log _{ 10 }{ x } =10.132\Rightarrow 首數n=10\Rightarrow x為n+1=11位數$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$a_{ 1 }=1\Rightarrow a_{ 2 }=\frac { 2a_{ 1 }-1 }{ a_{ 1 }+2 } =\frac { 2-1 }{ 1+2 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow a_{ 3 }=\frac { 2a_{ 2 }-1 }{ a_{ 2 }+2 } =\frac { \frac { 2 }{ 3 } -1 }{ \frac { 1 }{ 3 } +2 } =-\frac { 1 }{ 7 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\begin{cases} a_{ 3 }=3 \\ a_{ 6 }=15 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }r^{ 2 }=3 \\ a_{ 1 }r^{ 5 }=15 \end{cases}\Rightarrow r^{ 3 }=5\Rightarrow a_{ 1 }=3\times 5^{ -\frac { 2 }{ 3 }  }\Rightarrow a_{ 9 }=a_{ 1 }r^{ 8 }=3\times 5^{ -\frac { 2 }{ 3 }  }\times 5^{ \frac { 8 }{ 3 }  }=3\times 5^2=75$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\left( 甲,乙,丙 \right) =\begin{cases} \left( 剪刀,布,布 \right)  \\ \left( 石頭,剪刀,剪刀 \right)  \\ \left( 布,石頭,石頭 \right)  \end{cases}\Rightarrow 機率為=\begin{cases} \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 3 }  \\ \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 3 }  \end{cases}\Rightarrow 機率和=3\times\frac{1}{27}=\frac{1}{9}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$a_{ 4 }+a_{ 6 }=20\Rightarrow a_{ 1 }+3d+a_{ 1 }+5d=20\Rightarrow 2a_{ 1 }+8d=20\Rightarrow a_{ 1 }+\cdots +a_{ 9 }=\frac { 9\left( a_{ 1 }+a_{ 9 } \right)  }{ 2 } \\ =\frac { 9\left( a_{ 1 }+a_{ 1 }+8d \right)  }{ 2 } =\frac { 9\left( 2a_{ 1 }+8d \right)  }{ 2 } =\frac { 9\times 20 }{ 2 } =90$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$f\left( 2+i \right) \times g\left( 3+3i \right) =f\left( \overline { 2-i }  \right) \times g\left( \overline { 3-3i }  \right) =\overline { f\left( 2-i \right)  } \times \overline { g\left( 3-3i \right)  } =\overline { 1-4i } \times \overline { 1-i } \\ =\left( 1+4i \right) \left( 1+i \right) =1+i+4i-4=-3+5i$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：只有標準差不變，其它均比原來多10分，，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\left( -\sin { 120° }  \right) \times \cos { \left( -30° \right)  } +\tan { 45° } \times \sin { 30° } =\left( -\sin { 60° }  \right) \times \cos { 30° } +\tan { 45° } \times \sin { 30° } \\ =\left( -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) \times \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } +1\times \frac { 1 }{ 2 } =-\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } =-\frac { 1 }{ 4 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\begin{cases} \vec{AB}=(-3,-6) \\ \vec{AC}=(-1,a-5) \end{cases}\Rightarrow \frac{-3}{-1}=\frac{-6}{a-5}\Rightarrow a-5=-2\Rightarrow a=3$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：直線L的斜率為$-\frac{2}{3}$，與其垂直的斜率為$\frac{3}{2}$；只有(A)的斜率符合條件，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\begin{cases} t=2\Rightarrow A=(-1+2,2+2\sqrt { 3 } )=(1,2+2\sqrt { 3 } ) \\ t=5\Rightarrow B=(-1+5,2+5\sqrt { 3 } )=(4,2+5\sqrt { 3 } ) \end{cases}\Rightarrow \overline { AB } =\sqrt { { \left( 4-1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 2+5\sqrt { 3 } -2-2\sqrt { 3 }  \right)  }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ \left( 3\sqrt { 3 }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { 9+27 } =\sqrt { 36 } =6$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
前4人已拿4白球且第5人拿紅球的機率:  $\frac{16}{20}\times\frac{15}{19}\times\frac{14}{18}\times\frac{13}{17}\times\frac{4}{16}$
前4人已拿3白球1紅球且第5人拿紅球的機率:  $C^4_3\times\frac{16}{20}\times\frac{15}{19}\times\frac{14}{18}\times\frac{4}{17}\times\frac{3}{16}$

前4人已拿2白球2紅球且第5人拿紅球的機率:  $C^4_2\times\frac{16}{20}\times\frac{15}{19}\times\frac{4}{18}\times\frac{3}{17}\times\frac{2}{16}$

前4人已拿1白球3紅球且第5人拿紅球的機率:  $C^4_1\times\frac{16}{20}\times\frac{4}{19}\times\frac{3}{18}\times\frac{2}{17}\times\frac{1}{16}$
以上機率總和=$\frac{2907}{14535}=\frac{1}{5}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：A有5個元素，其子集合數為$2^5=32$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\vec { AB } =\vec { AO } +\vec { OB } =(-1,-3)+(4,-1)=(3,-4)\Rightarrow |\vec { AB } |=\sqrt { 3^{ 2 }+(-4)^{ 2 } } =5$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\left( \vec { a } +t\vec { b }  \right) \cdot \vec { a } =0\Rightarrow \left( 3+4t,5+t \right) \cdot (3,5)=0\Rightarrow 3\times(3+4t)+5\times(5+t)=0\\\Rightarrow9+12t+25+5t=0\Rightarrow 17t=-34\Rightarrow t=-2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

由圓方程式可知: 圓心O=(0,0),  半徑$r=5$；圓心至切線的距離等於半徑，依此條件來檢驗各直線。O至(A)距離為$\left| \frac { 0-0-25 }{ \sqrt { 3^{ 2 }+(-4)^{ 2 } }  }  \right| =\left| \frac { -25 }{ 5 }  \right| =5=r$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$10^{2a}=4\Rightarrow 10^a\times 10^a=4\Rightarrow 10^a=2\Rightarrow 10^{-a}=2^{-1}=\frac{1}{2}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } =\cos { 30° } =\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：正正、正反、反正、反反出現的機率都是$\frac{1}{4}$，因此期望值為$(10+2+2+0)\div 4 =3.5$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
各組數字與其平均值的差距越大，則標準差越大，也就挑選變化較大的數據，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：$\vec{AB}=(-2,1,-5)$為平面E的法向量(只有(A)、(B)符合條件)，且點B在E上，只剩(A)符合此條件，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：$x+y$為偶數代表兩者皆為偶數或兩者皆為奇數
$P(x=偶)\times P(y=偶)=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
$P(x=奇)\times P(y=奇)=(1-\frac{1}{2})\times(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{6}$
上述兩種情況的機率和為$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$
故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：頂點與焦點的X座標相同代表該拋物線為上下形，又頂點在焦點之下，表示開口向上，因此準線為$y=3-(5-3)=1$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：由兩焦點坐標可知其形狀為上下形，及中心坐標為$(\frac{0+0}{2},\frac{2-2}{2})=(0,0)$
又$c=2且2a=6\Rightarrow a=3\Rightarrow 3^2=2^2+b^2\Rightarrow b^2=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：(A)及(B)的結果不是$2\times 2$的矩陣，(D)的第1個元素為$3a+0=3a\ne 2c$故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$(A)\frac { 8 }{ 40 } =\frac { 1 }{ 5 } =0.2\\ (B)\frac { 51 }{ 85 } =\frac { 17\times 3 }{ 17\times 5 } =\frac { 3 }{ 5 } =0.6\\ (C)\frac { 123 }{ 128 } =\frac { 123 }{ 2^{ 7 } } =123\times { 0.5 }^{ 7 }\\ (D)\frac { 5 }{ 85 } =\frac { 1 }{ 17 } \\ (E)\frac { 3 }{ 21 } =\frac { 1 }{ 7 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(ABC)}$

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解： $$(A)\times :\quad \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 5 } =\log _{ 2 }{ 3\times 5 } =\log _{ 2 }{ 15 } \\ (B)\times :\quad \frac { \log { 8 }  }{ \log { 2 }  } =\frac { \log { 2^{ 3 } }  }{ \log { 2 }  } =\frac { 3\log { 2 }  }{ \log { 2 }  } =3\\ (C)\bigcirc :\log _{ 2 }{ 3 } -\log _{ 2 }{ 5 } =\log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 5^{ -1 } } =\log _{ 2 }{ 3\times 5^{ -1 } } =\log _{ 2 }{ \frac { 3 }{ 5 }  } \\ (D)\bigcirc :\log _{ 3 }{ 25 } =\log _{ 3 }{ 5^{ 2 } } =2\log _{ 3 }{ 5 } \\ (E)\bigcirc :2^{\log _{ 2 }{ 3 }} =a\Rightarrow \log_2{3}\log_2{2}=\log_2{a}\Rightarrow \log_2{3}=\log_2{a}\Rightarrow a=3$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(CDE)}$

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解： $$(A)\bigcirc :\quad { a }_{ 1 }={ S }_{ 1 }=1^{ 2 }-2\times 1=-1\\ (B)\bigcirc :\quad { a }_{ 2 }={ S }_{ 2 }-{ S }_{ 1 }=0-(-1)=1\\ (C)\bigcirc :\quad d={ a }_{ 2 }{ -a }_{ 1 }=1-(-1)=2\\ (D)\times :{ \quad a }_{ n }={ S }_{ n }-{ S }_{ n-1 }=n^{ 2 }-2n-((n-1)^{ 2 }-2(n-1))=2n-3\\ (E)\bigcirc :{ a }_{ 3 }=a_{ 2 }+d=1+2=3,{ S }_{ 3 }=a_1+a_2+a_3=3=a_3$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(ABCE)}$

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解：
$\vec { u } \cdot \vec { v } =|\vec { u } ||\vec { v } |\cos { \theta  }$，若$\theta>90^\circ$，則內積為負值；也就是說兩向量之夾角為銳角，其內積值為正。正五邊形之內角為$3\times 180\div 5=36\times 3=108^\circ$

(A)$\bigcirc: \theta=0^\circ$
(B)$\bigcirc:  \angle CAB=36^\circ$
(C)$\bigcirc:  \angle DAB=36\times 2=72^\circ$
(D)$\times:\angle EAB=108^\circ$
(E)$\times: \vec{BA}\cdot\vec{AC}=-\vec{AB}\cdot\vec{AC}$為(B)的負值
故選$\bbox[red,2pt]{(ABC)}$

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解： $$(C)\times :(x,y,z)對於xy平面的對稱點為(x,y,-z)，即(-1,2,3)\rightarrow (-1,2-3)\\ (D)\times :(x,y,z)對於z軸的投影點為(0,0,z)，即(-1,2,3)\rightarrow (0,0,3)$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(ABE)}$

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解：
(A)$\times:|-1.11|>1\Rightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { \left( -1.11 \right)  }^{ n } }$不存在
(B)$\bigcirc: \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 1-\frac{1}{n}}=1$
(C)$\bigcirc:\frac{2}{3}<1\Rightarrow$極限值為0
(D)$\times: |-2|>1$極限值不存在
(E)$\times: |-1|=1$極限值為1或-1，故不存在

故選$\bbox[red,2pt]{(BC)}$

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解： $$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} AB=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ BA=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{cases}\Rightarrow AB\neq BA$$ 只有(D)是錯誤的，故選$\bbox[red,2pt]{(ABCE)}$

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解： $$(A)\times :\sin{60^\circ}=\sin{120^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \angle A=60^\circ 或120^\circ\\ (B)\times: \cos{A}<0\Rightarrow \angle A>90^\circ\Rightarrow \triangle ABC為鈍角$$ 其它皆正確，故選$\bbox[red,2pt]{(CDE)}$

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解： $$(B)\times :\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\\(C)\times:\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}\\(E)\times: \cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}$$ 其它皆正確，故選$\bbox[red,2pt]{(AD)}$

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解：

(A)$\times:$數學及格的只有8人，兩科都及格的人數不可能超過8
(B)$\times:$數學及格的只有8人，x的最大值為8
其它皆正確，故選$\bbox[red,2pt]{(CDE)}$

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-- END --