107學年度四技二專統測--數學(B)詳解

107學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗試題本數學(B)詳解

解：

$$\sin { \theta  } =\frac { 33 }{ 65 } ,\tan { \theta  } =\frac { -33 }{ 56 } \Rightarrow \sin { \theta  } >0,\frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } <0\Rightarrow \sin { \theta  } >0,\cos { \theta  } <0 \Rightarrow \theta 在第二象限, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$2\vec { AB } +3\vec { AC } -\vec { BC } =2\left( 2-1,5-2 \right) +3\left( 0-1,-1-2 \right) -\left( 0-2,-1-5 \right)\\ =2\left( 1,3 \right) +3\left( -1,-3 \right) -\left( -2,-6 \right)  =\left( 2,6 \right) +\left( -3,-9 \right) +\left( 2,6 \right) =\left( 1,3 \right)$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
(1,2)代入直線可得$a-2=3\Rightarrow a=5\Rightarrow$斜率為5，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
$x=-1$代入多項式所得之值為1，即$2\times(-1)^3-k-3+5=1\Rightarrow k=-1$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
$$\begin{cases} \alpha +\beta =2 \\ \alpha \beta =-1 \end{cases}\Rightarrow \left( \alpha -2 \right) \left( \beta -2 \right) =\alpha \beta -2\left( \alpha +\beta  \right) +4=-1-4+4=-1$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$a_{ 10 }=4a_{ 1 }\Rightarrow a_{ 1 }+9d=4a_{ 1 }\Rightarrow a_{ 1 }=3d\Rightarrow \frac { a_{ 6 } }{ a_{ 2 } } =\frac { a_{ 1 }+5d }{ a_{ 1 }+d } =\frac { 3d+5d }{ 3d+d } =2$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$0<\theta <\frac { \pi  }{ 2 } ,\sin { \theta  } =\frac { 3 }{ 5 } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 4 }{ 5 } \Rightarrow \tan { \theta  } +\sec { \theta  } =\frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } +\frac { 1 }{ \cos { \theta  }  } \\ =\frac { \frac { 3 }{ 5 }  }{ \frac { 4 }{ 5 }  } +\frac { 1 }{ \frac { 4 }{ 5 }  } =\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 5 }{ 4 } =2$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

$$\tan { \theta  } =\frac { 8 }{ 15 } \Rightarrow \sec { \theta  } =\frac { 1 }{ \cos { \theta  }  } =\frac { \sqrt { 289 }  }{ 15 } \\ \Rightarrow \sin ^{ 2 }{ \theta  } +\cos ^{ 2 }{ \theta  } +\sec ^{ 2 }{ \theta  } =1+\sec ^{ 2 }{ \theta  } =1+\frac { 289 }{ 225 } =\frac { 514 }{ 225 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$2^{ 4 }\times 4^{ 3x }\times 8^{ 2 }=16^{ x }\times 32\Rightarrow 2^{ 4 }\times 2^{ 6x }\times 2^{ 6 }=2^{ 4x }\times 2^{ 5 }\Rightarrow 2^{ 6x+10 }=2^{ 4x+5 }\\ \Rightarrow 6x+10=4x+5\Rightarrow 2x=-5\Rightarrow x=-\frac { 5 }{ 2 } =-2.5$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$2^x=10\Rightarrow x\log{2}=1\Rightarrow x=\frac{1}{\log{2}}=\frac{1}{0.301}\approx3.322$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} \begin{vmatrix} x & 1 \\ y & 2 \end{vmatrix}=5 \\ \begin{vmatrix} x & 2y \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x-y=5 \\ x-2y=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { 10 }{ 3 }  \\ y=\frac { 5 }{ 3 }  \end{cases}\Rightarrow x+y=\frac { 10+5 }{ 3 } =5$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$2\le x\le 3\Rightarrow \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) \le 0\Rightarrow x^2-5x+6\le 0\Rightarrow -x^2+5x-6\ge 0\Rightarrow a=-1,b=5$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

假設水塔高度為$a$，如上圖。則$\tan{30^\circ}=\frac{a}{a+10}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=\frac{10}{\sqrt{3}-1}=5(\sqrt{3}+1)$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
原始7種菜色扣除2種必選，剩下5種菜色中選出3種，共有$C^5_3=10$種選法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$x^{ 2 }+y^{ 2 }+kx+2y+k+1=0\Rightarrow (x+\frac { k }{ 2 } )^{ 2 }-\frac { k^{ 2 } }{ 4 } +(y+1)^{ 2 }-1+k+1=0\Rightarrow (x+\frac { k }{ 2 } )^{ 2 }+(y+1)^{ 2 }=\frac { k^{ 2 } }{ 4 } -k\\ \Rightarrow \frac { k^{ 2 } }{ 4 } -k>0\Rightarrow k^{ 2 }-4k>0\Rightarrow k(k-4)>0\Rightarrow k>4或k<0$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
小王上壘且小洋上壘的機率為$0.425\times 0.385\approx 0.16$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
$$\begin{cases} 73,58,64,85,91 \\ 78,63,69,90,96 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \bar { x_{ 1 } } =74.2 \\ \bar { x_{ 2 } } =79.2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \sigma _{ 1 }^{ 2 }=1.2^{ 2 }+16.2^{ 2 }+10.2^{ 2 }+10.8^{ 2 }+16.8^{ 2 } \\ \sigma _{ 2 }^{ 2 }=1.2^{ 2 }+16.2^{ 2 }+10.2^{ 2 }+10.8^{ 2 }+16.8^{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow \sigma _{ 1 }^{ 2 }=\sigma _{ 2 }^{ 2 }\Rightarrow \sigma _{ 1 }=\sigma _{ 2 }\Rightarrow |\sigma _{ 1 }-\sigma _{ 2 }|=0$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
焦點至準線的距離=$3-(-1)=4\Rightarrow c=2\Rightarrow 頂點(1,3)$，因拋物線方程式為$(y-3)^2=4\times 2\times (x-1)\Rightarrow y^2-8x-6y+17=0$故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
A:高麗菜、B:萵苣、C:菠菜，現在有5A、4B及4C來排列，但任2A中間可排BB、BC、CB或CC。5個A中間有4個空間待填補BB、BC、CB或CC，相當於4B4C任排，再將A依序插入首、尾及均分4B4C。4B4C任排有$\frac{8!}{4!4!}$排法，剩下的A只有一種排法，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

先求出聯立方程式的交點A、B、C、D，如上圖。B點代入3x-5y有最大值M=9；D點代入有小值m=3-15=-12，因此M+m=9-12=-3，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
ABCDE任排有5!=120種排法，
ABCDE任取2個有$C^5_2=10$取法，其他3個字母不能排在原來位置只有2種排法。
例如：AB固定，剩下CDE，C不能排在第3、D不能排在第4、E不能排在第5，只有ABDEC及ABECD兩種排法。
此題相當ABCDE任意排列，但只有兩個字母排在原位置，其它三個字母不在原位置，共有 $C^5_2\times 2=20$排法，機率為$\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
某生三天上課的情形可能是：遲遲遲及遲準遲，其機率分別為$\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}$及$\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}$，即$\frac{1}{16}$及$\frac{6}{20}$，兩者相加等於$\frac{29}{80}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
$f'(x)=3x-3\Rightarrow f'(2)=3\times 2-3=3\Rightarrow$斜率為3，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$f\left( x \right) =\frac { -3\left( x+1 \right)  }{ x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 } =\left( -3x-3 \right) \left( x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 \right) ^{ -1 }\\ \Rightarrow f^{ ' }\left( x \right) =\left( -3 \right) \left( x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 \right) ^{ -1 }+\left( -3x-3 \right) \left[ \left( x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 \right) ^{ -2 }\left( 4x^{ 3 }+2x \right)  \right] \\ \Rightarrow f^{ ' }\left( -1 \right) =\left( -3 \right) \left( 3 \right) ^{ -1 }+0=-1$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$f\left( x \right) =\frac { x }{ x-1 } -\frac { 2x }{ x^{ 2 }-1 } =\frac { x\left( x+1 \right) -2x }{ x^{ 2 }-1 } =\frac { x^{ 2 }-x }{ x^{ 2 }-1 } =\frac { x }{ x+1 } \\ \Rightarrow \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f\left( x \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { x }{ x+1 }  } =\frac { 1 }{ 1+1 } =\frac { 1 }{ 2 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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