99學年大學指考數學甲詳解

99 學年度指定科目考試試題
數學甲

一、單選題

解： $$\cos { \theta  } =\frac { \vec { u } \cdot \vec { v }  }{ \left| \vec { u }  \right| \left| \vec { v }  \right|  } \\ (1)\cos { \theta  } =\frac { \left( 2,-1 \right) \cdot \left( -1,-\sqrt { 2 }  \right)  }{ \left| \left( 2,-1 \right)  \right| \left| \left( -1,-\sqrt { 2 }  \right)  \right|  } =\frac { -2+\sqrt { 2 }  }{ 5 } <0\\ (2)\cos { \theta  } =\frac { \left( 2,-1 \right) \cdot \left( -\sqrt { 2 } ,1 \right)  }{ \left| \left( 2,-1 \right)  \right| \left| \left( -\sqrt { 2 } ,1 \right)  \right|  } =\frac { -1-2\sqrt { 2 }  }{ 5 } <0\\ (3)\cos { \theta  } =\frac { \left( 2,-1 \right) \cdot \left( -1,\sqrt { 2 }  \right)  }{ \left| \left( 2,-1 \right)  \right| \left| \left( -1,\sqrt { 2 }  \right)  \right|  } =\frac { -2-\sqrt { 2 }  }{ 5 } <0\\ (4)\cos { \theta  } =\frac { \left( 2,-1 \right) \cdot \left( 1,\sqrt { 2 }  \right)  }{ \left| \left( 2,-1 \right)  \right| \left| \left( 1,\sqrt { 2 }  \right)  \right|  } =\frac { 2-\sqrt { 2 }  }{ 5 } >0\\ (5)\cos { \theta  } =\frac { \left( 2,-1 \right) \cdot \left( \sqrt { 2 } ,1 \right)  }{ \left| \left( 2,-1 \right)  \right| \left| \left( \sqrt { 2 } ,1 \right)  \right|  } =\frac { -1+2\sqrt { 2 }  }{ 5 } >0$$ 只有(4)及(5)為正值，且(5)>(4)，故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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解：
三球編號和大於14只有三種選法，即(1,6,8), (2,6,8)及(3,6,8)；五球取三球共有$C^5_3=10$種取法，所以機率為$\frac{3}{10}$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

$$A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}\Rightarrow A^{ -1 }=\frac { 1 }{ det(A) } \begin{bmatrix} -a & -b \\ -c & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -a & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\\ \Rightarrow det(A-A^{ -1 })=det\left( \begin{bmatrix} 2a & 2b \\ 2c & -2a \end{bmatrix} \right) =4\times det(A)=4$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

由圖形可知:$x\rightarrow\infty$時，$f(x)\rightarrow  \infty$，因此最高次項係數為正值，選項(4)及(5)不符條件；又$x=5$時，$f(x)$的斜率為正值，即$f'(5)>0$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

$y=\sin{(2x)}+3\cos{(2x)}$的週期為$\pi$與其它兩者不同(週期皆為$2\pi$)，因此$f(x)=\sin{(2x)}+3\cos{(2x)}$；
$f(x)$的最大值是$\sqrt{10}$、$3\sin{x}-\cos{x}$的最大值也是$\sqrt{10}$，而$2\sin{x}+2\cos{x}$的最大值是$2\sqrt{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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二、多選題

解： $$f\left( x \right) =x+\frac { 2 }{ x } \ge 2\times \sqrt { x\cdot \frac { 2 }{ x } } =2\sqrt { 2 } =a,此時x=\frac { 2 }{ x } \Rightarrow x=\sqrt { 2 } \\ g\left( x \right) =x^{ 2 }+\frac { 2 }{ x^{ 2 } } \ge 2\times \sqrt { x^{ 2 }\cdot \frac { 2 }{ x^{ 2 } } } =2\sqrt { 2 } =b,此時x^{ 2 }=\frac { 2 }{ x^{ 2 } } \Rightarrow x=\sqrt [ 4 ]{ 2 } \\ h\left( x \right) =\sqrt { x^{ 2 }+\frac { 2 }{ x^{ 2 } } } \ge \sqrt { 2\sqrt { 2 } } =2^{ \frac { 3 }{ 4 } }=c,此時x^{ 2 }=\frac { 2 }{ x^{ 2 } } \Rightarrow x=\sqrt [ 4 ]{ 2 } \\ (1)\times :a^{ 2 }=8\neq 2\sqrt { 2 } =b\\ (2)\bigcirc :2^{ \frac { 3 }{ 4 } }=c\\ (3)\times :兩者最小值發生在不同的x值\\ (4)\bigcirc :兩者最小值均發生在x=\sqrt [ 4 ]{ 2 } \Rightarrow g\left( x \right)+h\left( x \right)的最小值=b+c$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(2,4)}$

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解：

$$(1)\times :a^{ 3 }={ \left( a^{ \sqrt { 3 }  } \right)  }^{ \sqrt { 3 }  }={ \left( \sqrt { 3 }  \right)  }^{ \sqrt { 3 }  }\neq 3\\ (2)\times :a^{ \sqrt { 3 }  }=\sqrt { 3 } \Rightarrow \log _{ \sqrt { 3 }  }{ a^{ \sqrt { 3 }  } } =1\Rightarrow \log _{ \sqrt { 3 }  }{ a } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  } \\ (3)\bigcirc :a^{ \sqrt { 3 }  }=\sqrt { 3 } \Rightarrow a={ \sqrt { 3 }  }^{ \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  }=3^{ \frac { 1 }{ 2\sqrt { 3 }  }  }>3^{ 0 }=1\\(4)\times:a=3^{ \frac { 1 }{ 2\sqrt { 3 }  }  }>3^{\frac{1}{2\cdot 2}}=3^\frac{1}{4}$$ 故選：$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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三、選填題

解：

$$\begin{cases} x+y+z=0 \\ x+2y+3z=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y=-2x \\ z=x \end{cases}\Rightarrow -2nx+ny+3z=8n\Rightarrow -2nx+n\times \left( -2x \right) +3x=8n\\ \Rightarrow \left( -2n-2n+3 \right) x=8n\Rightarrow x=\frac { 8n }{ -4n+3 } \Rightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ a_{ n } } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ x } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 8n }{ -4n+3 }  } =-2$$

答：$\bbox[red,2pt]{-2}$

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解： $$f^{ '' }\left( x \right) =8x+11\Rightarrow f'(x)=4x^{ 2 }+11x+k,k為常數\\ x=1有局部極值\Rightarrow f'(1)=0\Rightarrow 4+11+k=0\Rightarrow k=-15\\ \Rightarrow f'(0)=k=-15$$ 答：$\bbox[red,2pt]{-15}$

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解：

$$\cos { B } =-\frac { 3 }{ 5 } \Rightarrow \sin { B } =\frac { 4 }{ 5 } ;又由正弦定理可知:\\ \frac { \overline { AB }  }{ \sin { C }  } =2R\Rightarrow \frac { 5 }{ \sin { C }  } =2\times \frac { 13 }{ 2 } =13\Rightarrow \sin { C } =\frac { 5 }{ 13 } \Rightarrow \cos { C } =\frac { 12 }{ 13 } \\ \Rightarrow \sin { A } =\sin { \left( 180°-B-C \right)  } =\sin { \left( B+C \right)  } =\sin { B } \cos { C } +\cos { B } \sin { C } \\ =\frac { 4 }{ 5 } \times \frac { 12 }{ 13 } +\left( -\frac { 3 }{ 5 }  \right) \times \frac { 5 }{ 13 } =\frac { 48-15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 }$$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac { 33 }{ 65 }}$

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解：

P(第四位可抽獎)=1-P(前三人都中獎)=$1-\frac{1}{2^3}=\frac{7}{8}$
P(第五位可抽獎)=P(前四位都沒中獎)+P(前四位只有1人中獎)+P(前四位只有2人中獎) = $\frac{1}{2^4}(1+C^4_1+C^4_2)=\frac{11}{16}$；因此所求機率為$\frac{\frac{11}{16}}{\frac{7}{8}} =\bbox[red,2pt]{\frac{11}{14}}$

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第貳部份 ：非選擇題

解： $$f\left( x \right) =ax^{ 3 }+bx^{ 2 }+cx+d\Rightarrow f'(x)=3ax^{ 2 }+2bx+c\Rightarrow f''(x)=6ax+2b\\ (1)\begin{cases} 原點為反曲點 \\ y=-x為f\left( x \right) 在原點的切線 \\ f經過原點 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f''(0)=0 \\ f'(0)=-1 \\ f(0)=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \bbox[red,2pt]{b=0} \\ \bbox[red,2pt]{c=-1} \\ \bbox[red,2pt]{d=0} \end{cases}\\ (2)f\left( x \right) =ax^{ 3 }-x=x\left( ax^{ 2 }-1 \right) =\left( x+\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \right) x\left( x-\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \right) \Rightarrow \int _{ -\frac { 1 }{ \sqrt { a } } }^{ 0 }{ f\left( x \right) } dx+\int _{ \frac { 1 }{ \sqrt { a } } }^{ 0 }{ f\left( x \right) } dx=2\\ \Rightarrow \left. \left[ \frac { a }{ 4 } x^{ 4 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right] \right| ^{ 0 }_{ -\frac { 1 }{ \sqrt { a } } }+\left. \left[ \frac { a }{ 4 } x^{ 4 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right] \right| ^{ 0 }_{ \frac { 1 }{ \sqrt { a } } }=2\Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 4a } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4a } \right) =2\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 4 }}$$

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解：

(1)直線L方程式為:$\frac{t}{1}=\frac{y+6}{4}=\frac{z-9}{-2}$，直線的點可表示成$(t,4t-6,-2t+9)$。代入球面S，可得$t^2+(4t-6)^2+(-2t+9)^2=54\Rightarrow 21(t^2-4t+3)=0 \Rightarrow t=1,3$，因此交點坐標為$\bbox[red,2pt]{(1,-2,7)}及\bbox[red,2pt]{(3,6,3)}$
(2)面積最大的圓經過球心，其圓半徑為$\sqrt{54}$，面積為$\bbox[red,2pt]{54\pi}$
(3)L與S的交點(1,-2,7)及(3,6,3)，兩點的中心點(2,2,5)；球心與該中心點形成的向量(2-0,2-0,5-0)= (2,2,5)為所求平面的法向量，即所求平面方程式為2(x-2)+2(y-2)+5(z-5)=0，即$\bbox[red, 2pt]{2x+2y+5z=33}$

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