107學年度四技二專統測--數學(S)詳解

107學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗試題本數學(S)詳解

解：
$(2000+4000+a+3000+4500+5000)\div 6=3500\Rightarrow 18500+a=21000\Rightarrow a=2500$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
$\sin{122^\circ}=\sin{(180^\circ-58^\circ)}=\sin{58^\circ}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} f\left( x \right) =-2x^{ 2 }+(a+1)x+5 \\ g\left( x \right) =(b-1)x^{ 2 }-x+c \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -2=b-1 \\ a+1=-1 \\ 5=c \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=-1 \\ a=-2 \\ c=5 \end{cases}\Rightarrow a+b+c=2$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} 3x+2y=12過點(4,0)\Rightarrow x截距=4=a \\ y=-\frac { 3 }{ 2 } x+6\Rightarrow 斜率=-\frac { 3 }{ 2 } =m \end{cases}\Rightarrow a+m=4-\frac { 3 }{ 2 } =\frac { 5 }{ 2 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
令圓心角為$\theta$，大扇形半徑為$r$；
大扇形面積是小扇形面積的4倍$\Rightarrow   4\times \pi\frac{\theta}{2\pi}=r^2\pi\frac{\theta}{2\pi}\Rightarrow   r=2$
大扇形弧長是小扇形的周長$\Rightarrow   2\theta=\theta+2\Rightarrow   \theta=2$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$b_1-b_2=$圓直徑=2+2=4，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

由圖形可知:$m_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$、$m_2=-\frac{4}{2}=-2$、$m_3\approx -\frac{1.2}{4}=-0.3$。

因此$|m_1|=0.5,|m_2|=2,|m_3|=0.3\Rightarrow |m_2|>|m_1|>|m_3|$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

$$f\left( x \right) =5x^{ 4 }+30x^{ 3 }-40x^{ 2 }-36x+14=5x^{ 3 }\left( x+6 \right) -4x\left( 10x+9 \right) +14\\ \Rightarrow f\left( -7 \right) =5\cdot 7^{ 3 }-28\cdot 61+14=7\left( 5\cdot 49-4\cdot 61+2 \right) =7\left( 245-244+2 \right) \\ =7\cdot 3=21$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
將各頂點座標代入求最大值，以(2,3)代入可得2+3=5為最大值，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$11+12+\cdots+20=\frac{(11+20)\times 10}{2}=155$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\alpha為\theta的最大負同界角\Rightarrow \theta-2\pi=\alpha \Rightarrow \theta+(\theta-2\pi)=-\frac{8\pi}{5}\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{5}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\left( \sin { \left( -400° \right)  } ,\cos { 580° }  \right) =\left( \sin { \left( -400°+360° \right)  } ,\cos { \left( 580°-360° \right)  }  \right) \\ =\left( \sin { \left( -40° \right)  } ,\cos { 220° }  \right) =\left( 負,負 \right)$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
由圖形可知b、c皆為大於1之正值，且b>c，a為小於1之值，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
兩圖形對稱於X軸，所以虛線的方程式為$y=-\log _{ 2 }{ x } =\log _{ \frac { 1 }{ 2 }  }{ x } =\log _{ b }{ x } \Rightarrow b=\frac { 1 }{ 2 } =0.5$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

$\angle BOC=2\angle A=60^\circ\Rightarrow \triangle OBC$為正三角形$\Rightarrow \overline{BC}=$半徑=100，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
$C^6_4\times C^7_5=15\times 21=315$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$\frac{C^3_1C^4_1}{C^7_2}=\frac{3\times 4}{21}=\frac{4}{7}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：只有標準差不會變動，其餘皆為增加，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\cos { \theta  } =\frac { \vec { OA } \cdot \vec { OB }  }{ \left| \vec { OA }  \right| \left| \vec { OB }  \right|  } =\frac { -4a }{ a\cdot 5 } =\frac { -4 }{ 5 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
由$x+y\le 3$包含原點可知(C)及(D)符合要求，又$x\ge y$的區域在右下側，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
8個座位取連續4個座位有5種取法, 1-4、2-5、...、5-8；
4位演員排成一列有4!=24種排法，因此共有$5\times 24=120$種坐法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
$$x^{ 4 }-13x^{ 2 }+36=\left( x^{ 2 }-9 \right) \left( x^{ 2 }-4 \right) =\left( x+3 \right) \left( x+2 \right) \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) \\ \Rightarrow a=-3,b=-2,c=2,d=3\Rightarrow b+d=-2+3=1$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} 2x+y=0 \\ x-y+3=0 \end{cases}\Rightarrow P=\left( -1,2 \right) \Rightarrow P至X軸的距離=2\\ \Rightarrow 圓C:(x+1)^{ 2 }+(y-2)^{ 2 }=2^{ 2 }\Rightarrow C:x^{ 2 }+y^{ 2 }+2x-4y+1=0$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\vec { BO } +\vec { OH } +\vec { AH } +\vec { AE } =\left( \vec { BF } +\vec { BE }  \right) +\vec { EA } +\vec { BF } +\left( -\vec { EA }  \right) \\ =\vec { BE } +\left( \vec { BF } +\vec { FC }  \right) =\vec { BE } +\vec { BC } =\vec { BG }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$\overline{CQ}=1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}, \overline{HQ}=3\times\frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$
${\overline{CH}}^2={\overline{CQ}}^2+{\overline{HQ}}^2=\frac{25}{4}+\frac{27}{4}=\frac{52}{4}=13\Rightarrow \overline{CH}=\sqrt{13}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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