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2018年5月7日 星期一

107學年度四技二專統測--數學(C)詳解


107學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗試題本數學(C)詳解


L1:y=m1x+b,將(2,3)、(1,5)代入可得{3=2m1+b5=m1+b{m1=2b=7
L2:y=m2x+c,將(1,0)、(0,4)代入可得{0=m2+c4=c{m2=4c=4
因此m2<m1<0,故選(D)


{L1:3x+4y=6L2:9x+12y=k{L1:3x+4y=6L2:3x+4y=k3d(L1,L2)=|6k35|=2{6k3=106k3=10{k=12k=48,故選(B)



{|b2c2b3c3|=13|b1c1b3c3|=7|b1c1b2c2|=2{b2c3b3c2=13b1c3b3c1=7b1c2b2c1=2|1b1c12b2c23b3c3|=b2c3+2b3c1+3b1c23b2c12b1c3b3c2=(b2c3b3c2)+2(b3c1b1c3)+3(b1c2b2c1)=13+2×(7)+3×2=5,故選(A)
也可以利用行列式降階的方式:|1b1c12b2c23b3c3|=|b2c2b3c3|2|b1c1b3c3|+3|b1c1b2c2|=132×7+3×2=5


{a=0+1×8+2×5+3×420=3020b=0+1×4+2×6+3×520=3120c=0+1×5+2×3+3×620=2920b>a>c,故選(C)




所圍區域ABCD如上圖,將其拆成一個梯形AECD及一個三角形BEC,分別求其面積;
梯形AECD面積=(2+4)×4÷2=12;三角形BEC面積=2×1÷2=1
因此總面積=12+1=13,故選(B)



十球取出三球,共有C103=120種取法;
編號2及編號3的球先拿出來,剩下8個球取1個球,共有C81=8種取法;
因此編號2及編號3均被取出的機率為8120=115,故選(B)


s=(5+6+7)÷2=9A=s(s5)(s6)(s7)=216=66A=(5+6+7)×r÷266=9rr=669Ar=66×669=2169=24,故選(A)



z=cos10°+isin10°36n=0zn=(cos0°+cos10°++cos360°)+i(sin0°+sin10°++sin360°)=1z371z=1z1z=1cos0°+cos10°++cos360°=1故選(B)


h=±1,±2h=111+k2=0k=2h=11+1+k2=0k=0(,k>0)h=2168+4k2=0k<0(,k>0)h=216+8+4k2=0k<0(,k>0)因此h=1,k=2k+h=3,故選(A)


{3x+5y+z=152x+4y+z=125x+y+2z=3(1)(2),(2)×2(3){x+y=3x+7y=218y=24y=3,故選(B)


1+z1+ˉz=1+1232i1+12+32i=33i3+3i=(33i)2(3+3i)(33i)=663i12=13i2=a+bia>0,b<0,故選(D)


x=log107log109=log979x=79x2=7281x=72=49,故選(D)


10n=1(2n+3n+2)=10n=1(2n)+310n=1n+210n=11=221112+3×55+2×10=2(2101)+165+20=2046+165+20=2231,故選(D)


{A=C115=11!5!6!=462B=C116=11!5!6!=AC=C117=11!4!7!=330D=C126=12!6!6!=924=A+B,故選(C)



¯AC2=¯AO12¯O1C2=¯AO22¯O2C24a2=9(3a)2a=23¯AC2=4a2==449=329¯AC=423¯AB=823,故選(D)




此題相當於求上圖之封閉區域面積,也就是兩個三角形的面積和,即3×32×12+5×52×12=9+254=172,故選(A)
當然也可以用分段積分來求解,即04|2x+5|dx=524|2x+5|dx+052|2x+5|dx=4522x+5dx+0522x+5dx=[x2+5x]|452+[x2+5x]|052=[(1620)(254252)]+[0(254252)]=4+254+254=344=172



直線L通過(9,5)及(3,1),可求出其斜率為5193=23,由於lim也就是切線L的斜率,故選\bbox[red,2pt]{(B)}


f^{ ' }\left( x \right) =x^{ 2 }-2x-3=(x-3)(x+1)\Rightarrow x=-1,3有極值\\ 又f^{ ' }\left( x \right) =x^{ 2 }-2x-3\Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-x^{ 2 }-3x+k\\ 由f\left( 0 \right) =6\Rightarrow k=6\Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-x^{ 2 }-3x+6\\ \Rightarrow 極小值=f\left( 3 \right) =9-9-9+6=-3\\ 故選\bbox[red,2pt]{(C)}


\int _{ \frac { 1 }{ 4 } }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ { \left( 4x-1 \right) }^{ 3 } } dx=\left. \left[ \frac { 1 }{ 16 } { \left( 4x-1 \right) }^{ 4 } \right] \right| ^{ \frac { 1 }{ 2 } }_{ \frac { 1 }{ 4 } }=\frac { 1 }{ 16 } -0=\frac { 1 }{ 16 } 故選\bbox[red,2pt]{(A)}



兩正根之積a+3>0且兩正根之和5-a>0,則-3<a<5
判別式需大於等於0,即(a-5)^2-4(a+3)\ge   0\Rightarrow   a^2-14a+13\ge   0\Rightarrow   (a-13)(a-1)\ge   0\Rightarrow   a\ge   13或a\le   1
上述兩條條件的交集為-3<a\le   1\Rightarrow   m=-3, n=1\Rightarrow   m+n=-3+1=-2故選\bbox[red,2pt]{(C)}



\tan { 19° } =a\Rightarrow \sin { 19° } =\frac { a }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } ,\cos { 19° } =\frac { 1 }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } \\ \sin { 2018° } =\sin { \left( 360°\times 5+218° \right) } =\sin { 218° } =\sin { \left( 180°+38° \right) } =-\sin { 38° } \\ =-2\sin { 19° } \cos { 19° } =-2\times \frac { a }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } =\frac { -2a }{ a^{ 2 }+1 } 故選\bbox[red,2pt]{(B)}



f\left( x \right) =4\sin { x } +\cos { \left( 2x \right) } +7=4\sin { x } +1-2\sin ^{ 2 }{ x } +7=-2\left( \sin ^{ 2 }{ x } -2\sin { x } -4 \right) \\ =-2\left[ { \left( \sin { x } -1 \right) }^{ 2 }-5 \right] \Rightarrow \begin{cases} \sin { x } =1\Rightarrow M=-2\times -5=10 \\ \sin { x } =-1\Rightarrow m=-2\times -1=2 \end{cases}\Rightarrow M+m=12,故選\bbox[red,2pt]{(C)}


\begin{cases} a=\log _{ 0.3 }{ 0.5 } =\frac { \log { 0.5 }  }{ \log { 0.3 }  } =\frac { \log { 5 } -1 }{ \log { 3 } -1 } =\frac { 0.301 }{ 0.5229 } <1 \\ b=\log _{ 3 }{ 5 } =\frac { \log { 5 }  }{ \log { 3 }  } =\frac { 0.699 }{ 0.4771 } >1 \\ c=\log _{ 30 }{ 50 } =\frac { \log { 50 }  }{ \log { 30 }  } =\frac { \log { 5 } +1 }{ \log { 3 } +1 } =\frac { 1.699 }{ 1.4771 } >1 \end{cases}\Rightarrow a<c<b,故選\bbox[red,2pt]{(C)}



至多出現一次,代表沒出現或只出現一次;
點數3沒出現:5\times  5\times  5\times  5=625種情形
點數3只出現1次:4\times 1\times   5\times   5\times  5=500種情形
共有625+500=1125種,故選\bbox[red,2pt]{(A)}


x^{ 2 }+y^{ 2 }-6x+8y=0\Rightarrow (x-3)^{ 2 }+(y+4)^{ 2 }=5^{ 2 }\Rightarrow \begin{cases} x=5\cos { \theta  } +3 \\ y=5\sin { \theta  } -4 \end{cases}\\ \Rightarrow 4x+3y+5=4\left( 5\cos { \theta  } +3 \right) +3\left( 5\sin { \theta  } -4 \right) +5=20\cos { \theta  } +15\sin { \theta  } +5\\ =25\left( \frac { 4 }{ 5 } \cos { \theta  } +\frac { 3 }{ 5 } \sin { \theta  }  \right) +5=25\left( \sin { \alpha  } \cos { \theta  } +\cos { \alpha  } \sin { \theta  }  \right) +5\\ =25\sin { \left( \alpha +\theta  \right)  } +5\Rightarrow \begin{cases} M=25+5=30 \\ m=-25+5=-20 \end{cases}\Rightarrow M+m=10,故選\bbox[red,2pt]{(D)}

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