107學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗試題本數學(C)詳解
解:
L1:y=m1x+b,將(2,3)、(1,5)代入可得
{3=2m1+b5=m1+b⇒{m1=−2b=7
L2:y=m2x+c,將(1,0)、(0,4)代入可得
{0=m2+c4=c⇒{m2=−4c=4
因此
m2<m1<0,故選
(D)
解:
{L1:3x+4y=6L2:9x+12y=k⇒{L1:3x+4y=6L2:3x+4y=k3⇒d(L1,L2)=|6−k35|=2⇒{6−k3=106−k3=−10⇒{k=−12k=48,故選(B)。
解:
{|b2c2b3c3|=13|b1c1b3c3|=7|b1c1b2c2|=2⇒{b2c3−b3c2=13b1c3−b3c1=7b1c2−b2c1=2⇒|1b1c12b2c23b3c3|=b2c3+2b3c1+3b1c2−3b2c1−2b1c3−b3c2=(b2c3−b3c2)+2(b3c1−b1c3)+3(b1c2−b2c1)=13+2×(−7)+3×2=5,故選(A)。
也可以利用行列式降階的方式:|1b1c12b2c23b3c3|=|b2c2b3c3|−2|b1c1b3c3|+3|b1c1b2c2|=13−2×7+3×2=5
解:
{a=0+1×8+2×5+3×420=3020b=0+1×4+2×6+3×520=3120c=0+1×5+2×3+3×620=2920⇒b>a>c,故選(C)。
解:
所圍區域ABCD如上圖,將其拆成一個梯形AECD及一個三角形BEC,分別求其面積;
梯形AECD面積=
(2+4)×4÷2=12;三角形BEC面積=
2×1÷2=1;
因此總面積=12+1=13
,故選(B)。
解:
十球取出三球,共有
C103=120種取法;
編號2及編號3的球先拿出來,剩下8個球取1個球,共有
C81=8種取法;
因此編號2及編號3均被取出的機率為
8120=115,故選(B)。
解:
s=(5+6+7)÷2=9⇒A=√s(s−5)(s−6)(s−7)=√216=6√6A=(5+6+7)×r÷2⇒6√6=9r⇒r=6√69⇒A⋅r=6√6×6√69=2169=24,故選(A)。
解:
z=cos10°+isin10°⇒36∑n=0zn=(cos0°+cos10°+⋯+cos360°)+i(sin0°+sin10°+⋯+sin360°)=1−z371−z=1−z1−z=1⇒cos0°+cos10°+⋯+cos360°=1故選(B)。
解:
h=±1,±2h=1⇒1−1+k−2=0⇒k=2h=−1⇒1+1+k−2=0⇒k=0(不合,∵因此
h=1,k=2\Rightarrow k+h=3,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。
解:
\begin{cases} 3x+5y+z=15 \\ 2x+4y+z=12 \\ 5x+y+2z=3 \end{cases}\Rightarrow (1)-(2),(2)\times 2-(3)\Rightarrow \begin{cases} x+y=3 \\ -x+7y=21 \end{cases}\Rightarrow 8y=24\Rightarrow y=3,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。
解:
\frac { 1+z }{ 1+\bar { z } } =\frac { 1+\frac { 1 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i }{ 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i } =\frac { 3-\sqrt { 3 } i }{ 3+\sqrt { 3 } i } =\frac { { \left( 3-\sqrt { 3 } i \right) }^{ 2 } }{ \left( 3+\sqrt { 3 } i \right) \left( 3-\sqrt { 3 } i \right) } \\ =\frac { 6-6\sqrt { 3 } i }{ 12 } =\frac { 1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } =a+bi\Rightarrow a>0,b<0,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。
解:
x=\frac { \log _{ 10 }{ 7 } }{ \log _{ 10 }{ 9 } } =\log _{ 9 }{ 7 } \Rightarrow { 9 }^{ x }=7\Rightarrow { { 9 }^{ x } }^{ 2 }={ 7 }^{ 2 }\Rightarrow { 81 }^{ x }={ 7 }^{ 2 }=49,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。
解:
\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ \left( { 2 }^{ n }+3n+2 \right) } =\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ \left( { 2 }^{ n } \right) } +3\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ n } +2\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ 1 } =\frac { 2-{ 2 }^{ 11 } }{ 1-2 } +3\times 55+2\times 10\\ =2\left( { 2 }^{ 10 }-1 \right) +165+20=2046+165+20=2231,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。
解:
\begin{cases} A=C^{ 11 }_{ 5 }=\frac { 11! }{ 5!6! } =462 \\ B=C^{ 11 }_{ 6 }=\frac { 11! }{ 5!6! } =A \\ C=C^{ 11 }_{ 7 }=\frac { 11! }{ 4!7! } =330 \\ D=C^{ 12 }_{ 6 }=\frac { 12! }{ 6!6! } =924=A+B \end{cases},故選\bbox[red,2pt]{(C)}。
解:
{ \overline { AC } }^{ 2 }={ \overline { AO_{ 1 } } }^{ 2 }-{ \overline { O_{ 1 }C } }^{ 2 }={ \overline { AO_{ 2 } } }^{ 2 }-{ \overline { O_{ 2 }C } }^{ 2 }\Rightarrow 4-a^{ 2 }=9-(3-a)^{ 2 }\Rightarrow a=\frac { 2 }{ 3 } \\ \Rightarrow { \overline { AC } }^{ 2 }=4-a^{ 2 }==4-\frac { 4 }{ 9 } =\frac { 32 }{ 9 } \Rightarrow { \overline { AC } }=\frac { 4\sqrt { 2 } }{ 3 } \Rightarrow { \overline { AB } }=\frac { 8\sqrt { 2 } }{ 3 } ,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。
解:
此題相當於求上圖之封閉區域面積,也就是兩個三角形的面積和,即3\times \frac{3}{2}\times \frac{1}{2}+5\times\frac{5}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{9+25}{4}=\frac{17}{2},故選\bbox[red,2pt]{(A)}。
當然也可以用分段積分來求解,即\int _{ -4 }^{ 0 }{ \left| 2x+5 \right| } dx=\int _{ -4 }^{ -\frac { 5 }{ 2 } }{ \left| 2x+5 \right| } dx+\int _{ -\frac { 5 }{ 2 } }^{ 0 }{ \left| 2x+5 \right| } dx=\int _{ -\frac { 5 }{ 2 } }^{ -4 }{ 2x+5 } dx+\int _{ -\frac { 5 }{ 2 } }^{ 0 }{ 2x+5 } dx\\ =\left. \left[ x^{ 2 }+5x \right] \right| ^{ -4 }_{ -\frac { 5 }{ 2 } }+\left. \left[ x^{ 2 }+5x \right] \right| ^{ 0 }_{ -\frac { 5 }{ 2 } }=\left[ \left( 16-20 \right) -\left( \frac { 25 }{ 4 } -\frac { 25 }{ 2 } \right) \right] +\left[ 0-\left( \frac { 25 }{ 4 } -\frac { 25 }{ 2 } \right) \right] \\ =-4+\frac { 25 }{ 4 } +\frac { 25 }{ 4 } =\frac { 34 }{ 4 } =\frac { 17 }{ 2 }
解:
直線L通過(9,5)及(3,1),可求出其斜率為
\frac{5-1}{9-3}=\frac{2}{3},由於
\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( 3+h \right) -f\left( 3 \right) }{ h } } =f^{ ' }\left( 3 \right) 也就是切線L的斜率,
故選\bbox[red,2pt]{(B)}。
解:
f^{ ' }\left( x \right) =x^{ 2 }-2x-3=(x-3)(x+1)\Rightarrow x=-1,3有極值\\ 又f^{ ' }\left( x \right) =x^{ 2 }-2x-3\Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-x^{ 2 }-3x+k\\ 由f\left( 0 \right) =6\Rightarrow k=6\Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-x^{ 2 }-3x+6\\ \Rightarrow 極小值=f\left( 3 \right) =9-9-9+6=-3\\ 故選\bbox[red,2pt]{(C)}。
解:
\int _{ \frac { 1 }{ 4 } }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ { \left( 4x-1 \right) }^{ 3 } } dx=\left. \left[ \frac { 1 }{ 16 } { \left( 4x-1 \right) }^{ 4 } \right] \right| ^{ \frac { 1 }{ 2 } }_{ \frac { 1 }{ 4 } }=\frac { 1 }{ 16 } -0=\frac { 1 }{ 16 } 故選\bbox[red,2pt]{(A)}。
解:
兩正根之積a+3>0且兩正根之和5-a>0,則
-3<a<5;
判別式需大於等於0,即
(a-5)^2-4(a+3)\ge 0\Rightarrow a^2-14a+13\ge 0\Rightarrow (a-13)(a-1)\ge 0\Rightarrow a\ge 13或a\le 1
上述兩條條件的交集為
-3<a\le 1\Rightarrow m=-3, n=1\Rightarrow m+n=-3+1=-2,
故選\bbox[red,2pt]{(C)}。
解:
\tan { 19° } =a\Rightarrow \sin { 19° } =\frac { a }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } ,\cos { 19° } =\frac { 1 }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } \\ \sin { 2018° } =\sin { \left( 360°\times 5+218° \right) } =\sin { 218° } =\sin { \left( 180°+38° \right) } =-\sin { 38° } \\ =-2\sin { 19° } \cos { 19° } =-2\times \frac { a }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { a^{ 2 }+1 } } =\frac { -2a }{ a^{ 2 }+1 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。
解:
f\left( x \right) =4\sin { x } +\cos { \left( 2x \right) } +7=4\sin { x } +1-2\sin ^{ 2 }{ x } +7=-2\left( \sin ^{ 2 }{ x } -2\sin { x } -4 \right) \\ =-2\left[ { \left( \sin { x } -1 \right) }^{ 2 }-5 \right] \Rightarrow \begin{cases} \sin { x } =1\Rightarrow M=-2\times -5=10 \\ \sin { x } =-1\Rightarrow m=-2\times -1=2 \end{cases}\Rightarrow M+m=12,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。
解:
\begin{cases} a=\log _{ 0.3 }{ 0.5 } =\frac { \log { 0.5 } }{ \log { 0.3 } } =\frac { \log { 5 } -1 }{ \log { 3 } -1 } =\frac { 0.301 }{ 0.5229 } <1 \\ b=\log _{ 3 }{ 5 } =\frac { \log { 5 } }{ \log { 3 } } =\frac { 0.699 }{ 0.4771 } >1 \\ c=\log _{ 30 }{ 50 } =\frac { \log { 50 } }{ \log { 30 } } =\frac { \log { 5 } +1 }{ \log { 3 } +1 } =\frac { 1.699 }{ 1.4771 } >1 \end{cases}\Rightarrow a<c<b,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。
解:
至多出現一次,代表沒出現或只出現一次;
點數3沒出現:5\times 5\times 5\times 5=625種情形
點數3只出現1次:4\times 1\times 5\times 5\times 5=500種情形
共有625+500=1125種,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。
解:
x^{ 2 }+y^{ 2 }-6x+8y=0\Rightarrow (x-3)^{ 2 }+(y+4)^{ 2 }=5^{ 2 }\Rightarrow \begin{cases} x=5\cos { \theta } +3 \\ y=5\sin { \theta } -4 \end{cases}\\ \Rightarrow 4x+3y+5=4\left( 5\cos { \theta } +3 \right) +3\left( 5\sin { \theta } -4 \right) +5=20\cos { \theta } +15\sin { \theta } +5\\ =25\left( \frac { 4 }{ 5 } \cos { \theta } +\frac { 3 }{ 5 } \sin { \theta } \right) +5=25\left( \sin { \alpha } \cos { \theta } +\cos { \alpha } \sin { \theta } \right) +5\\ =25\sin { \left( \alpha +\theta \right) } +5\Rightarrow \begin{cases} M=25+5=30 \\ m=-25+5=-20 \end{cases}\Rightarrow M+m=10,故選
\bbox[red,2pt]{(D)}
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