107年國中學力鑑定考試學數詳解

臺閩地區107年度進修國民中學畢業程度
學力鑑定考試數學詳解

第壹部分：選擇題
一、單選題

解：$69=23\times 3$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

$x<5\Rightarrow$不含5，且在5的左邊，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：

大角對大邊，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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解：

(1)$(-1)^3\times(-1)^2=(-1)^5=-1$
(2)$(-1^3)\times(-1)^2\times(-1)^3=(-1^3)\times(-1)^5=(-1)\times(-1)=1$
(3)$(-1)\times 1\times(-1)^2\times(-1^5)=(-1)\times(-1)\times(-1)=-1$
(4)$(11-12)^5=(-1)^5=-1$
故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

(1)公差為0；(2)公差為3；(3)公差為-4

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

兩式相加可得$11=44$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

$$(-5)\times(-2)^4\div 10=(-5)\times 16\div 10=-80\div 10=-8$$

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：
(1)$69=23\times 3$
(2)$15=5\times 3, 39=13\times 3$
(4)$49=7\times 7, 84=12\times 7$

故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：

$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

$xy=k\Rightarrow k=12\times(-8)=-96\Rightarrow (-6)y=-96\Rightarrow y=(-96)\div (-6)=16$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

最大公因數$(24,36,48)=4 \times 3=12$；最小公倍數$[24,36,48]=4\times 3\times 2\times 1\times 3\times 2=144$；兩者相加$=12+144=156$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

第三胎無論生男、生女的機率都是1/2，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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解：
寬為$a\Rightarrow$長為$5a-6\Rightarrow$周長為$2(a+5a-6)=48\Rightarrow 6a-6=24\Rightarrow a=5\Rightarrow$面積為$a\times b=5\times (5\times 5-6)=5\times 19=95$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

兩邊相等，等角為90度，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

在$\overline{BC}$上找一點Q，使得$\overline{PQ}//\overline{AB}$；由於ABCD為平行四形，所以$\triangle PQC=\triangle PDC, \triangle PQB=\triangle PAB$，因此$\triangle BCP = \triangle PQC+\triangle PQB=$平行四邊形面積的一半，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

三條對頂點連線(藍色)及三條對邊中點連線(紅色)，共6條直線皆為正六邊形的對稱軸，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：

次數最大為10，出現在50~55公斤這一組，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：

$0.25=1\div 4$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：

$f(8)=3\times 8-7=24-7=17$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：

A跟B都有共同的因式3x-4，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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解：

$9.1^2=9.1\times 9.1=82.81$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：

並非所有的平行四邊形是線對稱，上圖就不是線對稱，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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解：

$\frac{2}{3}<\frac{3}{4}<\frac{4}{5}<\frac{5}{6}<1\Rightarrow \frac{5}{6}$最靠近1，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：
9名團員年齡總和為 315, 平均年齡為$315\div 9=35$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：
將$x=1,y=2$代入各方程式:
(1) $7+6\ne 10$
(2) $3-2=1$
(3) $2\ne 10+1$
(4) $2-6+5\ne 0$
故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

圖(3)與垂線左右對稱，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：

兩半徑與圓心所夾的區域為扇形，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

圓錐底面為圓形，與側面不垂直，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：
假設原數列$<a_n>$的公差為$d$，則
(1)  首項改為$a_2$，公差仍為$d$的等差數列
(2)  首項為$a_7$，公差為$-2d$的等差數列
(3)  首項為$a_1$，公差為$3d$的等差數列
(4) $2a_2-a_1=2a_1+2d-a_1=a_1+2d\ne 3a_3-2a_2=a_1+4d$不是等差數列

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：
$30=2\times 3\times 5\Rightarrow$與30互質的數其因數不為2,3,5，只剩下1,7,11,13四個數，機率為$\frac{4}{15}$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

$\frac{(2+20)\times 10}{2}=\bbox[red,2pt]{110}$

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解：
$$3^5\times 3^7=3^{5+7}=3^{12}=3^a\Rightarrow \bbox[red,2pt]{a=12}$$

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解： $$\begin{cases} 甲+乙=24 \\ 甲\times 乙=108 \end{cases}\Rightarrow { \left( 甲+乙 \right) }^{ 2 }={ 24 }^{ 2 }\Rightarrow 甲^{ 2 }+2\times 甲\times 乙+乙^{ 2 }=576\\ \Rightarrow 甲^{ 2 }+乙^{ 2 }=576-2\times 甲\times 乙=576-2\times 108=360\\ \Rightarrow { \left( 甲-乙 \right) }^{ 2 }=甲^{ 2 }-2\times 甲\times 乙+乙^{ 2 }=360-2\times 108=144\Rightarrow 甲-乙=-12\\ \Rightarrow \begin{cases} 甲+乙=24 \\ 甲-乙=-12 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{甲=6},乙=18$$

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解：

$$\triangle ADE\sim\triangle ABC\Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{5}{\overline{BC}} \Rightarrow \overline{BC}=\bbox[red,2pt]{10}$$

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解：
假設小真現在$a$歲，爺爺則是$5a$歲；5年後小真$a+5$歲，爺爺$5a+5$歲；依題意: $5a+5=4(a+5)\Rightarrow 5a+5=4a+20\Rightarrow a=15$，所以小真現在$\bbox[red,2pt]{15}$歲。

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