107學年度國立臺灣師範大學附屬高級中學特色招生
數學能力測驗詳解


解:(n+√n)2≤1600⇒n+√n≤40n=34⇒n+√n=34+√34=34+5.X=39.X<40n=35⇒n+√n=35+√35=35+5.X=40.X>40,故選(1)。

解:
正五邊形的每個內角均為(5−2)×180÷5=108∘⇒∠A=108∘;
△AFB⇒∠AFB=180−108−16=56∘⇒∠GFA=108−56=52∘
∠BFP=180−52−56=72∘⇒∠EFP=∠GFA=52∘
△EFP⇒∠P=180−∠E−∠EFP=180−108−52=20∘,故選(3)。

解: 21分鐘後,放進21/3=7球、拿出21/7=3球,箱子還有7-3=4球;
63分鐘後,箱子還有4×3=12球;
66分→13球;69分→14球;70分鐘→13球;72分鐘→14球;75分鐘→15球;77分鐘→14球;
因此在下午1點14分(74分)時,箱子有14球,故選(2)。

解:
A、B的中點即為原點O(0,0), 因此A=(−2√2,0),B=(2√2,0),半徑r=¯CB=√8+1=3;△ABR面積是△ABC面積的2倍,即R至¯AB的距離是C至¯AB的2倍,也就是R至¯AB的距離為2;
由圓C的方程式:x2+(y−1)2=32可知圓上的點可表示成(3cosθ,3sinθ+1⇒),圓上的點至¯AB的距離為|3sinθ+1|;|3sinθ+1|=2⇒{3sinθ+1=23sinθ+1=−2⇒{sinθ=13sinθ=−1⇒{θ=arcsin13,π−arcsin13sinθ=3π2因此滿足條件的R點共有3個(上圖的D、E、F),故選(3)。

解:
假設男社員有兩人: 社長171、社員169,兩人平均170;女社員也只有兩人: 副社長158、社員172,兩人平均165;
社長不算,其他社員平均(169+158+172)÷3=166.3=a;
副社長不算,其他社員平均(171+169+172)÷3=170.6=b;
社長、副社長都不算,其他社員平均(169+172)÷2=170.5=c;
因此b>c>a,故選(4)。

解:
令{a:未戴眼鏡男員工數b:戴眼鏡男員工數c:未戴眼鏡女員工數d:戴眼鏡女員工數,依題意{a+b=c+d+35⋯(1)b+d=a+b+10⋯(2)b=a+5⋯(3)將(3)代入(2)⇒a+5+d=2a+15⇒d=a+10⋯(4)將(3)及(4)代入(1)⇒2a+5=c+a+45⇒c=a−40⇒b−c=(a+5)−(a−40)=45,故選(2)
解:
令¯AD=¯AE=¯EF=¯DF=a,及¯BE=¯FC=b,如上圖;
¯BF比¯AE的2倍少3,即a+b=2a−3⇒a=b+3;
△CDF面積為54,即ab2=54⇒ab=108⇒(b+3)b=108⇒b=9⇒a=12⇒¯BC=a+2b=12+2×9=30,故選(3)。
解:
|x−1|=a代表x與1的距離為a;|x−y|=b代表x與y的距離為b;由於a>b,相關位置如上圖,不會出現y<1<x的情形,故選(1)。
解:
原函式圖形如上圖左,向下移動3單位後如上圖右。注意P點位置,原P點y坐標介於1與3之間,往下移動3單位後,P點的y坐標為負值。因此移動後的函式有兩相異正根,故選(4)。
解:
△PEF∼△ABF⇒ab=85−b⇒a=8b5−b;
又∠A=∠FPE⇒sinA=¯PG¯AP=513=sin∠FPE=b√a2+b2,將 a=8b5−b代入可得144b2−1440b+2000=0⇒9b2−90b+125=0⇒(3b−5)(3b−25)=0⇒b=53 (b=253⇒5−b<0 不合),因此a=8b5−b=4⇒¯EP:¯PD=a:5−a=4:1,故選(1)。
解:
奶茶1杯a元,則果汁1杯a+5元;小軒買奶茶b杯,則小靜買果汁b−2杯;
由題意可知: {(b−2)(a+5)=500−10=490ab=500−20=480⇒{ab−2a+5b=500ab=480⇒{−2a+5b=20ab=480⇒a×20+2a5=480⇒a2+10a−1200=0⇒(a−30)(a+40)=0⇒a=30⇒3(a+5)+5a=3×35+5×30=105+150=255,故選(1)。
解:
2小時走了10×2=20公里;半徑200公尺的圓,圓周長為2×200×π≈1256公尺,因此2小時走了20×1000÷1256≈15.9圈,也就是在F→O的弧上;故選(4)。
解:
101011×101011=10203222121⇒a=1101011,故選(2)。

解:
原號碼牌順序為等差數列<an>;
小潔拿走5張牌的號碼總和為600,即a1+a2+⋯+a5=(2a1+4d)×5÷2=600⇒a1+2d=120;
阿芳抽取的牌為a8,a12,a16,...⇒第10張牌為a44=1596⇒a1+43d=1596
解:
令an=¯AnAn+1,則<an>為等比數列,a1=2,r=√3;
令bn=△AnAn+1An+2面積,則<bn>為等比數列,b1=2√3,r=3;Sk=b1+b2+⋯+bk=b1(1−rk)1−r=(3k−1)√3
△OA1A2b1=¯OA1¯A1A2=12⇒△OA1A2=b1÷2=√3
△OAkAk+1=△OA1A2+b1+b2+⋯+bk−1=√3+(3k−1−1)√3=3k−1√3
△OAkAk+1△OA1A2≥300⇒3k−1√3√3≥300⇒3k−1≥300⇒k−1≥6⇒k≥7,故選(3)。
解:
由於O為兩三角形的外心,所以A、B、C、D共圓,且圓心為O,如上圖。
對同弧的圓心角是圓周角的2倍,即∠O=2∠D=39×2=78∘;
¯OA=¯OB=半徑⇒△OAB為等腰,因此∠OAB=∠OBA=(180−78)÷2=51∘。α=51−18=33∘,β=51−19=32∘,∠AEB=180−α−β=180−32−33=115∘,故選(2)。
解:
△ABO>△BCO⇒在¯AO找一點D,使得¯OD=¯OC=√52+122=13⇒¯AD=16−13=3;
△ADB=12=3n÷2⇒n=8,故選(4)。
解:
此題相當於求20a+20b+30c+30d+50e+50f=100⇒2a+2b+3c+3d+5e+5f=10有幾組非負整數解;⇒2x+3y+5z=10,其中{x=a+by=c+dz=e+f⇒x5210y0210z0012⇒(x,y,z)有4組解又x=5代表a+b=5,有H25=C65=6組(a,b)的非負整數解⇒(x,y,z)=(5,0,0)代表6組解同理(x,y,z)=(2,2,0)代表有H22×H22×H20=3×3×1=9組解(x,y,z)=(1,1,1)代表有H21×H21×H21=2×2×2=8組解(x,y,z)=(0,0,2)代表有H20×H20×H22=1×1×3=3組解因此共有6+9+8+3=26組解,故選(4)。
解:
令∠C=a⇒∠ADB=a+9,且∠DBC=∠BAE=b;
∠AEB=∠DCB=a、∠DBE=∠BAE=b且¯BE=¯DC,所以△BAE與△DBC全等;
∠AFB=∠FBE+∠FEB=a+b=∠FAD+∠FDA=33+a+9⇒a+b=42+a⇒b=42∘;
△BAE與△DBC全等⇒¯BA=¯BD⇒b+33=a+9
⇒42+33=a+9⇒a=66⇒∠ABE=180−a−b=180−66−42=72,故選(2)。
解:f(x)=([f(x+1)+f(x)]−[f(x+1)−f(x)])÷2=(2x2−6x−20)÷2=x2−3x−10f(x)=0⇒x2−3x−10=0⇒(x−5)(x+2)=0⇒兩根之和=5−2=3

解:
k2−(−2k)−1=482⇒k2+2k−483=0⇒(k−21)(k+23)⇒k=21

解:
各袋可能的號碼總和為:1+2+3=6、1+2+4=7、1+3+4=8、2+3+4=9,只有四種不同的總和;
a+d=13⇒(a,d)=(6,7)或(7,6)且b=9,c=8⇒b2−c2=81−64=17。
解:

解:
四位數abcd,a有3種選擇、b有2種選擇、c有2種選擇、d有2種選擇,共有3×2×2×2=24個不同的四位數。
解:
朝正向走a次、負向走b次,依題意{a+b=102a−b+x=5⇒{a=5−x3b=5+x3
由於a,b皆為整數且0≤a,b≤10,因此共有11組解,如下:x−15−12−9−6−303691215a109876543210b012345678910
解:
x=1⇒冒出頭數字為1,2,3,4,5,6,7,8,9;
x=2⇒冒出頭數字為1,2,4,6,8;
x=3⇒冒出頭數字為1,3,6,9;
x=4⇒冒出頭數字為1,2,4,8;
x=5⇒冒出頭數字為1,5;
x=6⇒冒出頭數字為1,2,3,6;
x=7⇒冒出頭數字為1,7;
x=8⇒冒出頭數字為1,2,4,8;
x=9⇒冒出頭數字為1,3,9;
由以上可知,出現9就一定會出現3,但出現3不一定會出現9(當x=6);現在9出現20次,3出現23次,代表x=6出現23-20=3次;
出現4就一定會出現2,但出現2不一定會出現4(當x=6);現在4出現18次,x=6出現3次,因此2出現18+3=21次;
解:
△ABC=12=(¯AB+¯BC+¯CA)×rp÷⇒¯AB+¯BC+¯CA=12×2÷43=18
¯BC=¯BG+¯GC=¯BE+¯CF⇒
¯AB+¯CA+¯BC=¯AB+¯BE+¯CA+¯CF=¯AE+¯AF=2¯AE=18⇒¯AE=9

解:
113⋯1213循環小數為6位數字;
19=6×3+1⇒第19位數字等同於第1位數字
29=6×4+5⇒第29位數字等同於第5位數字
解:
此題相當於甲ABC乙五個數字排列,甲排首位、乙排末位;
由於A到不了乙,所以最後2個數字一定是B乙或C乙;
因此排列僅剩下
甲ABC乙=10+15+30+25=80、甲BAC乙=20+15+25+25=85、甲ACB乙=10+25+30+20=85、甲CAB乙=15+25+15+20=75,四種情形,最小值為75。 - END -

令¯AD=¯AE=¯EF=¯DF=a,及¯BE=¯FC=b,如上圖;
¯BF比¯AE的2倍少3,即a+b=2a−3⇒a=b+3;
△CDF面積為54,即ab2=54⇒ab=108⇒(b+3)b=108⇒b=9⇒a=12⇒¯BC=a+2b=12+2×9=30,故選(3)。

解:
|x−1|=a代表x與1的距離為a;|x−y|=b代表x與y的距離為b;由於a>b,相關位置如上圖,不會出現y<1<x的情形,故選(1)。

原函式圖形如上圖左,向下移動3單位後如上圖右。注意P點位置,原P點y坐標介於1與3之間,往下移動3單位後,P點的y坐標為負值。因此移動後的函式有兩相異正根,故選(4)。

解:
△PEF∼△ABF⇒ab=85−b⇒a=8b5−b;
又∠A=∠FPE⇒sinA=¯PG¯AP=513=sin∠FPE=b√a2+b2,將 a=8b5−b代入可得144b2−1440b+2000=0⇒9b2−90b+125=0⇒(3b−5)(3b−25)=0⇒b=53 (b=253⇒5−b<0 不合),因此a=8b5−b=4⇒¯EP:¯PD=a:5−a=4:1,故選(1)。

奶茶1杯a元,則果汁1杯a+5元;小軒買奶茶b杯,則小靜買果汁b−2杯;
由題意可知: {(b−2)(a+5)=500−10=490ab=500−20=480⇒{ab−2a+5b=500ab=480⇒{−2a+5b=20ab=480⇒a×20+2a5=480⇒a2+10a−1200=0⇒(a−30)(a+40)=0⇒a=30⇒3(a+5)+5a=3×35+5×30=105+150=255,故選(1)。

2小時走了10×2=20公里;半徑200公尺的圓,圓周長為2×200×π≈1256公尺,因此2小時走了20×1000÷1256≈15.9圈,也就是在F→O的弧上;故選(4)。

101011×101011=10203222121⇒a=1101011,故選(2)。

解:
原號碼牌順序為等差數列<an>;
小潔拿走5張牌的號碼總和為600,即a1+a2+⋯+a5=(2a1+4d)×5÷2=600⇒a1+2d=120;
阿芳抽取的牌為a8,a12,a16,...⇒第10張牌為a44=1596⇒a1+43d=1596
由上二式可求得a1=48,d=36⇒a48=a44+4d=1596+36×4=1596+144=1740,故選(2)。

令an=¯AnAn+1,則<an>為等比數列,a1=2,r=√3;
令bn=△AnAn+1An+2面積,則<bn>為等比數列,b1=2√3,r=3;Sk=b1+b2+⋯+bk=b1(1−rk)1−r=(3k−1)√3
△OA1A2b1=¯OA1¯A1A2=12⇒△OA1A2=b1÷2=√3
△OAkAk+1=△OA1A2+b1+b2+⋯+bk−1=√3+(3k−1−1)√3=3k−1√3
△OAkAk+1△OA1A2≥300⇒3k−1√3√3≥300⇒3k−1≥300⇒k−1≥6⇒k≥7,故選(3)。

解:


△ABO>△BCO⇒在¯AO找一點D,使得¯OD=¯OC=√52+122=13⇒¯AD=16−13=3;
△ADB=12=3n÷2⇒n=8,故選(4)。

此題相當於求20a+20b+30c+30d+50e+50f=100⇒2a+2b+3c+3d+5e+5f=10有幾組非負整數解;⇒2x+3y+5z=10,其中{x=a+by=c+dz=e+f⇒x5210y0210z0012⇒(x,y,z)有4組解又x=5代表a+b=5,有H25=C65=6組(a,b)的非負整數解⇒(x,y,z)=(5,0,0)代表6組解同理(x,y,z)=(2,2,0)代表有H22×H22×H20=3×3×1=9組解(x,y,z)=(1,1,1)代表有H21×H21×H21=2×2×2=8組解(x,y,z)=(0,0,2)代表有H20×H20×H22=1×1×3=3組解因此共有6+9+8+3=26組解,故選(4)。

令∠C=a⇒∠ADB=a+9,且∠DBC=∠BAE=b;
∠AEB=∠DCB=a、∠DBE=∠BAE=b且¯BE=¯DC,所以△BAE與△DBC全等;
∠AFB=∠FBE+∠FEB=a+b=∠FAD+∠FDA=33+a+9⇒a+b=42+a⇒b=42∘;
△BAE與△DBC全等⇒¯BA=¯BD⇒b+33=a+9
⇒42+33=a+9⇒a=66⇒∠ABE=180−a−b=180−66−42=72,故選(2)。


解:
k2−(−2k)−1=482⇒k2+2k−483=0⇒(k−21)(k+23)⇒k=21

解:
各袋可能的號碼總和為:1+2+3=6、1+2+4=7、1+3+4=8、2+3+4=9,只有四種不同的總和;
a+d=13⇒(a,d)=(6,7)或(7,6)且b=9,c=8⇒b2−c2=81−64=17。

由上圖可知a=4
由上圖可知b=9

解:
四位數abcd,a有3種選擇、b有2種選擇、c有2種選擇、d有2種選擇,共有3×2×2×2=24個不同的四位數。

朝正向走a次、負向走b次,依題意{a+b=102a−b+x=5⇒{a=5−x3b=5+x3
由於a,b皆為整數且0≤a,b≤10,因此共有11組解,如下:x−15−12−9−6−303691215a109876543210b012345678910

x=1⇒冒出頭數字為1,2,3,4,5,6,7,8,9;
x=2⇒冒出頭數字為1,2,4,6,8;
x=3⇒冒出頭數字為1,3,6,9;
x=4⇒冒出頭數字為1,2,4,8;
x=5⇒冒出頭數字為1,5;
x=6⇒冒出頭數字為1,2,3,6;
x=7⇒冒出頭數字為1,7;
x=8⇒冒出頭數字為1,2,4,8;
x=9⇒冒出頭數字為1,3,9;
由以上可知,出現9就一定會出現3,但出現3不一定會出現9(當x=6);現在9出現20次,3出現23次,代表x=6出現23-20=3次;
出現4就一定會出現2,但出現2不一定會出現4(當x=6);現在4出現18次,x=6出現3次,因此2出現18+3=21次;

解:
△ABC=12=(¯AB+¯BC+¯CA)×rp÷⇒¯AB+¯BC+¯CA=12×2÷43=18
¯BC=¯BG+¯GC=¯BE+¯CF⇒
¯AB+¯CA+¯BC=¯AB+¯BE+¯CA+¯CF=¯AE+¯AF=2¯AE=18⇒¯AE=9

解:
113⋯1213循環小數為6位數字;
19=6×3+1⇒第19位數字等同於第1位數字
29=6×4+5⇒第29位數字等同於第5位數字
也就是說,n13的小數點後第1位數字是3,第5位數字是1。
413=213×2=0.3077692,513=0.384615⇒n=5

此題相當於甲ABC乙五個數字排列,甲排首位、乙排末位;
由於A到不了乙,所以最後2個數字一定是B乙或C乙;
因此排列僅剩下
甲ABC乙=10+15+30+25=80、甲BAC乙=20+15+25+25=85、甲ACB乙=10+25+30+20=85、甲CAB乙=15+25+15+20=75,四種情形,最小值為75。 - END -
這裡有103特招參考題本 這是正式特招前所發布的正式參考試題
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http://www.rcpet.ntnu.edu.tw/AATest/AATest_M.pdf
詳見
http://www.williamschool.com.tw/news.php?ID=1194
謝謝您製作大量國中數學詳解造福國中學生
回覆刪除期待您繼續編寫103特招參考題本的解答
感謝您
謝謝提供資料,有空會繼續替大家服務~~
刪除第七題的未戴眼鏡女員工算式應為: a-35 - (a-15)/2 = (a-85)/2
回覆刪除謝謝提醒, 我將答案重新改寫,比較容易理解!
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