Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

2018年7月28日 星期六

106年專科學力鑑定考試--微積分詳解


106年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試
專業科目(一):微積分 詳解

{u=x2dv=ex{du=2xdxv=exx2exdx=x2ex2xexdx,{u=xdv=ex{du=dxv=exxexdx=xexexdx=xexexx2exdx=x2ex2xexdx=x2ex2(xexex)=x2ex2xex+2ex20x2exdx=[x2ex2xex+2ex]|20=(4e24e2+2e2)(2)=2e22故選(B)



sin(mx)sin(nx)=12[cos(mn)xcos(m+n)x]2sin(3x)sin(x)dx=[cos(2x)cos(4x)]dx=12sin(2x)14sin(4x)+C(D)

3.4x41dx=?(A)ln(x41)x3+C(B)ln(x21)x+ln(x2+1)x+C(C)ln|x1|ln|x+1|+ln(x2+1)x+C(D)ln|x1|ln|x+1|2tan1x+C

4x41dx=4(x21)(x2+1)dx=(2x212x2+1)dx=21x21dx21x2+1dx=(1x11x+1)dx21x2+1dx=1x1dx1x+1dx21x2+1dx=ln|x1|ln|x+1|2arctan1x+C(D)

4.sinxln(cosx)dx=?(A)cosxln(cosx)cosx+C(B)cosxln(cosx)cosx+C(C)cosxln(cosx)+cosx+C(D)cosxln(cosx)+cosx+C
{u=ln(cosx)dv=sinxdx{du=sinxcosxv=cosxdxsinxln(cosx)dx=cosxln(cosx)sinxdx=cosxln(cosx)+cosx+C(C)

5. 由y=1x2y=0x=0在第一象限所圍成的區域,繞y軸旋轉所得實體之體積為何?
(A)π2(B)π3(C)π4(D)(A)3π5

y=1x2x=1y=10x2πdy=π10(1y)dy=π[y12y2]|10=π2故選(A)

6. 極座標方程式r=eθ1θ2之曲線長為何?
(A)2(e21)(B)2(e1)(C)2(e2+1)(A)2(e2e)

r=eθdrdθ=eθ21r2+(drdθ)2dθ=21(eθ)2+(eθ)2dθ=212e2θdθ==212eθdθ=[2eθ]|21=2(e2e1)(D)


f(x,y)=ln(x2+y2)fx=2xx2+y2fxx=2x2+y22x×2x(x2+y2)2fxx(1,2)=2349=29(C)



f(x,y)=x2+xy+y23x3y{fx=0fy=0{2x+y3=0x+2y3=0{x=1y=1故選(A)



k=21k(k+1)=k=2(1k1k+1)=(1213)+(1314)+(1415)+=12故選(B)



ex=1+x+x22!+x33!+ex2=1+x2+x42!+x63!+x613!=16(C)



limx1x1x21=limx112x2x=122=14limx1(ax)=14a=14(B)

12. 已知函數f(x)=x3,下面敍述何者正確?
(A) f 在x=3有定義   (B) f的值域為[3,)
(C) f 在x=-3有定義   (D) f的值域為[,3)

f(3)=33=0有定義; f的值域為[0,)f(3)=6沒有定義;故選(A)



13. 已知函數f(x)=(x+1)(x2+2)(x3+3),則f(0)之值為何?
(A) 1   (B) 2  (C) 6  (D) 3

f(x)=(x+1)(x2+2)(x3+3)=(x3+x2+2x+2)(x3+3)f(x)=(3x2+2x+2)(x3+3)+(x3+x2+2x+2)(3x2)f(0)=2×3+0=6(C)


(A)sin(1)(B)0(C)cos(1)(D)1
sin(x)+cos(y)=sin(y)+cos(x)sin(x)cos(x)=sin(y)cos(y)(sin(x)cos(x))2=(sin(y)cos(y))2sin2(x)2sin(x)cos(x)+cos2(x)=sin2(y)2sin(y)cos(y)+cos2(y)12sin(x)cos(x)=12sin(y)cos(y)sin(x)cos(x)=sin(y)cos(y)sin(x)+cos(y)=sin(y)+cos(x)cos(x)ysin(y)=ycos(y)sin(x)y(cos(y)+sin(y))=cos(x)+sin(x)y=cos(x)+sin(x)cos(y)+sin(y)(y)2=1+2cos(x)sin(x)1+2cos(y)sin(y)=1+2cos(x)sin(x)1+2cos(x)sin(x)=1y|x=2=dydx|x=1=1故選(D)


15. 已知函數f(x)=2xx2,則f(1)之值為何?
(A)1(B)2ln24(C)2ln2(D)2

f(x)=2xx2f(x)=2xln2x22×2xx3f(1)=2ln24故選(B)



16. 已知函數f(x)=tan1(1+x+x2),則f(0)之值為何?
(A) 0.5  (B) 1  (C) 2  (D) 0

f(x)=tan1(1+x+x2)f(x)=11+(1+x+x2)2(1+2x)f(0)=11+1=12故選(A)



f(x)=x2+1x2017f(x)=2x1x2f(x)=2+2x3f(x)=02+2x3=0x=1(1,f(1))=(1,2017)故選(C)



f(x)=03x21=0x=±13f(13)=6×13>0x=13f(13)=6×13<0x=13故選(A)




1010(x+y)dxdy=10[12x2+xy]|10dy=10(12+y)dy=[12y+12y2]|10=1故選(B)




10x+20x5xdx=(10x5x+20x5x)dx=(2x+4x)dx=2xln2+4xln4+C故選(A)

解題僅供參考

6 則留言:

  1. 請大大可接續提供103年~97年的解答嗎?正在苦惱如何準備今年的專科學力鑑定考試,感謝您。

    回覆刪除
    回覆
    1. 103年之前沒有單考微積分,而是將微積分與物理合併成一科,所以沒有打算貼詳解~~

      刪除
  2. 了解,仍謝謝大大。

    回覆刪除
  3. 老師您好: 請問第14題,是三角關係是常用的嗎? 我都不到。
    像這個sin(x)−cos(x)=1-2sin(x)cos(x) ?

    回覆刪除
    回覆
    1. 沒有那個公式,而是將等號兩邊都平方所得的結果,該題已增加更詳細步驟,希望有助瞭解!!!

      刪除
  4. 作者已經移除這則留言。

    回覆刪除