106年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試
專業科目(一):微積分 詳解
解:sin(mx)sin(nx)=12[cos(m−n)x−cos(m+n)x]⇒∫2sin(3x)sin(x)dx=∫[cos(2x)−cos(4x)]dx=12sin(2x)−14sin(4x)+C⇒故選(D)
解:
∫4x4−1dx=∫4(x2−1)(x2+1)dx=∫(2x2−1−2x2+1)dx=2∫1x2−1dx−2∫1x2+1dx=∫(1x−1−1x+1)dx−2∫1x2+1dx=∫1x−1dx−∫1x+1dx−2∫1x2+1dx=ln|x−1|−ln|x+1|−2arctan−1x+C⇒故選(D)
解:{u=ln(cosx)dv=sinxdx⇒{du=−sinxcosxv=−cosxdx⇒∫sinxln(cosx)dx=−cosxln(cosx)−∫sinxdx=−cosxln(cosx)+cosx+C⇒故選(C)
5. 由y=1−x2與y=0,x=0在第一象限所圍成的區域,繞y軸旋轉所得實體之體積為何?
(A)π2(B)π3(C)π4(D)(A)3π5
解:y=1−x2⇒x=√1−y⇒∇=∫10x2πdy=π∫10(1−y)dy=π[y−12y2]|10=π2故選(A)
6. 極座標方程式r=eθ,1≤θ≤2之曲線長為何?
(A)√2(e2−1)(B)√2(e−1)(C)√2(e2+1)(A)√2(e2−e)
解:r=eθ⇒drdθ=eθ⇒∫21√r2+(drdθ)2dθ=∫21√(eθ)2+(eθ)2dθ=∫21√2e2θdθ==∫21√2eθdθ=[√2eθ]|21=√2(e2−e1)⇒故選(D)
解:f(x,y)=ln(x2+y2)⇒fx=2xx2+y2⇒fxx=2x2+y2−2x×2x(x2+y2)2⇒fxx(1,√2)=23−49=29⇒故選(C)
解:f(x,y)=x2+xy+y2−3x−3y⇒{fx=0fy=0⇒{2x+y−3=0x+2y−3=0⇒{x=1y=1故選(A)
解:∞∑k=21k(k+1)=∞∑k=2(1k−1k+1)=(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯=12故選(B)
解:ex=1+x+x22!+x33!+⋯⇒ex2=1+x2+x42!+x63!+⋯⇒x6的係數為13!=16⇒故選(C)
解:limx→1√x−1x2−1=limx→112√x2x=122=14⇒limx→1(ax)=14⇒a=14⇒故選(B)
12. 已知函數f(x)=√x−3,下面敍述何者正確?
(A) f 在x=3有定義 (B) f的值域為[3,∞)
(C) f 在x=-3有定義 (D) f的值域為[−∞,3)
解:f(3)=√3−3=0⇒有定義; f的值域為[0,∞);f(−3)=√−6不存在⇒沒有定義;故選(A)
13. 已知函數f(x)=(x+1)(x2+2)(x3+3),則f′(0)之值為何?
(A) 1 (B) 2 (C) 6 (D) 3
解:f(x)=(x+1)(x2+2)(x3+3)=(x3+x2+2x+2)(x3+3)⇒f′(x)=(3x2+2x+2)(x3+3)+(x3+x2+2x+2)(3x2)⇒f′(0)=2×3+0=6⇒故選(C)
(A)sin(1)(B)0(C)cos(1)(D)1
解:sin(x)+cos(y)=sin(y)+cos(x)⇒sin(x)−cos(x)=sin(y)−cos(y)⇒(sin(x)−cos(x))2=(sin(y)−cos(y))2⇒sin2(x)−2sin(x)cos(x)+cos2(x)=sin2(y)−2sin(y)cos(y)+cos2(y)⇒1−2sin(x)cos(x)=1−2sin(y)cos(y)⇒sin(x)cos(x)=sin(y)cos(y)sin(x)+cos(y)=sin(y)+cos(x)⇒cos(x)−y′sin(y)=y′cos(y)−sin(x)⇒y′(cos(y)+sin(y))=cos(x)+sin(x)⇒y′=cos(x)+sin(x)cos(y)+sin(y)⇒(y′)2=1+2cos(x)sin(x)1+2cos(y)sin(y)=1+2cos(x)sin(x)1+2cos(x)sin(x)=1⇒y′|x=2=dydx|x=1=1故選(D)
15. 已知函數f(x)=2xx2,則f′(1)之值為何?
(A)1(B)2ln2−4(C)2ln2(D)2
解:f(x)=2xx2⇒f′(x)=2xln2x2−2×2xx3⇒f′(1)=2ln2−4故選(B)
16. 已知函數f(x)=tan−1(1+x+x2),則f′(0)之值為何?
(A) 0.5 (B) 1 (C) 2 (D) 0
解:f(x)=tan−1(1+x+x2)⇒f′(x)=11+(1+x+x2)2(1+2x)⇒f′(0)=11+1=12故選(A)
解:f(x)=x2+1x−2017⇒f′(x)=2x−1x2⇒f″(x)=2+2x3f″(x)=0⇒2+2x3=0⇒x=−1⇒(−1,f(−1))=(−1,−2017)為反曲點故選(C)
解:f′(x)=0⇒3x2−1=0⇒x=±√13有極值f″(√13)=6×√13>0⇒x=√13有極小值f″(−√13)=−6×√13<0⇒x=−√13有極大值故選(A)
解:∫10∫10(x+y)dxdy=∫10[12x2+xy]|10dy=∫10(12+y)dy=[12y+12y2]|10=1故選(B)
解:∫10x+20x5xdx=∫(10x5x+20x5x)dx=∫(2x+4x)dx=2xln2+4xln4+C故選(A)
解題僅供參考
請大大可接續提供103年~97年的解答嗎?正在苦惱如何準備今年的專科學力鑑定考試,感謝您。
回覆刪除103年之前沒有單考微積分,而是將微積分與物理合併成一科,所以沒有打算貼詳解~~
刪除了解,仍謝謝大大。
回覆刪除老師您好: 請問第14題,是三角關係是常用的嗎? 我都不到。
回覆刪除像這個sin(x)−cos(x)=1-2sin(x)cos(x) ?
沒有那個公式,而是將等號兩邊都平方所得的結果,該題已增加更詳細步驟,希望有助瞭解!!!
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