106年專科學力鑑定考試--微積分詳解

106年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試

專業科目(一)：微積分 詳解

解：$$令\begin{cases} u=x^{ 2 } \\ dv=e^{ x } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2xdx \\ v=e^{ x } \end{cases}\Rightarrow \int { x^{ 2 }e^{ x } } dx=x^{ 2 }e^{ x }-\int { 2xe^{ x } } dx\\ 同理,令\begin{cases} u=x \\ dv=e^{ x } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=dx \\ v=e^{ x } \end{cases}\Rightarrow \int { xe^{ x } } dx=xe^{ x }-\int { e^{ x } } dx=xe^{ x }-e^{ x }\\ 因此\int { x^{ 2 }e^{ x } } dx=x^{ 2 }e^{ x }-\int { 2xe^{ x } } dx=x^{ 2 }e^{ x }-2\left( xe^{ x }-e^{ x } \right) =x^{ 2 }e^{ x }-2xe^{ x }+2e^{ x }\\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 }{ x^{ 2 }e^{ x } } dx=\left. \left[ x^{ 2 }e^{ x }-2xe^{ x }+2e^{ x } \right]  \right| ^{ 2 }_{ 0 }=\left( 4e^{ 2 }-4e^{ 2 }+2e^{ 2 } \right) -\left( 2 \right) =2e^{ 2 }-2$$故選：\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

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解：$$\sin { \left( mx \right)  } \sin { \left( nx \right)  } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \cos { \left( m-n \right) x } -\cos { \left( m+n \right) x }  \right] \\ \Rightarrow \int { 2\sin { \left( 3x \right)  } \sin { \left( x \right)  }  } dx=\int { \left[ \cos { \left( 2x \right)  } -\cos { \left( 4x \right)  }  \right]  } dx\\ =\frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( 2x \right)  } -\frac { 1 }{ 4 } \sin { \left( 4x \right)  } +C\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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$$3.\int { \frac { 4 }{ { x }^{ 4 }-1 }  } dx=?\\ (A)\frac { \ln { \left( { x }^{ 4 }-1 \right)  }  }{ x^{ 3 } } +C\\ (B)\frac { \ln { \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  }  }{ x } +\frac { \ln { \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }  }{ x } +C\\ (C)\ln { \left| x-1 \right|  } -\ln { \left| x+1 \right|  } +\frac { \ln { \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }  }{ x } +C\\ (D)\ln { \left| x-1 \right|  } -\ln { \left| x+1 \right|  } -2\tan ^{ -1 }{ x } +C$$
解：
$$\int { \frac { 4 }{ x^{ 4 }-1 }  } dx=\int { \frac { 4 }{ \left( x^{ 2 }-1 \right) \left( x^{ 2 }+1 \right)  }  } dx=\int { \left( \frac { 2 }{ x^{ 2 }-1 } -\frac { 2 }{ x^{ 2 }+1 }  \right)  } dx=2\int { \frac { 1 }{ x^{ 2 }-1 }  } dx-2\int { \frac { 1 }{ x^{ 2 }+1 }  } dx\\ =\int { \left( \frac { 1 }{ x-1 } -\frac { 1 }{ x+1 }  \right)  } dx-2\int { \frac { 1 }{ x^{ 2 }+1 }  } dx=\int { \frac { 1 }{ x-1 }  } dx-\int { \frac { 1 }{ x+1 }  } dx-2\int { \frac { 1 }{ x^{ 2 }+1 }  } dx\\ =\ln { \left| x-1 \right|  } -\ln { \left| x+1 \right|  } -2\arctan ^{ -1 }{ x } +C\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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$$4.\int { \sin { x } \ln { \left( \cos { x }  \right)  }  } dx=?\\ (A)-\cos { x } \ln { \left( \cos { x }  \right)  } -\cos { x } +C\\ (B)\cos { x } \ln { \left( \cos { x }  \right)  } -\cos { x } +C\\ (C)-\cos { x } \ln { \left( \cos { x }  \right)  } +\cos { x } +C\\ (D)\cos { x } \ln { \left( \cos { x }  \right)  } +\cos { x } +C$$
解：$$\begin{cases} u=\ln { \left( \cos { x }  \right)  }  \\ dv=\sin { x } dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\frac { -\sin { x }  }{ \cos { x }  }  \\ v=-\cos { x } dx \end{cases}\Rightarrow \int { \sin { x } \ln { \left( \cos { x }  \right)  }  } dx=-\cos { x } \ln { \left( \cos { x }  \right)  } -\int { \sin { x }  } dx\\ =-\cos { x } \ln { \left( \cos { x }  \right)  } +\cos { x } +C\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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5. 由\(y=1-x^2\)與\(y=0\)，\(x=0\)在第一象限所圍成的區域，繞\(y\)軸旋轉所得實體之體積為何？

\((A)\frac{\pi}{2}\;\;(B)\frac{\pi}{3}\;\;(C)\frac{\pi}{4}\;\;(D)(A)\frac{3\pi}{5}\)

解：$$y=1-x^{ 2 }\Rightarrow x=\sqrt { 1-y } \Rightarrow \nabla =\int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2 }\pi  } dy=\pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 1-y \right)  } dy=\pi \left. \left[ y-\frac { 1 }{ 2 } y^{ 2 } \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }=\frac { \pi  }{ 2 } $$故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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6. 極座標方程式\(r=e^\theta\)，\(1\le \theta\le 2\)之曲線長為何？

\((A)\sqrt{2}\left(e^2-1\right)\;\;(B)\sqrt{2}\left(e-1\right)\;\;(C)\sqrt{2}\left(e^2+1\right)\;\;(A)\sqrt{2}\left(e^2-e\right)\)

解：$$r={ e }^{ \theta  }\Rightarrow \frac { dr }{ d\theta  } ={ e }^{ \theta  }\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 }{ \sqrt { r^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta  }  \right)  }^{ 2 } }  } d\theta =\int _{ 1 }^{ 2 }{ \sqrt { { \left( { e }^{ \theta  } \right)  }^{ 2 }+{ \left( { e }^{ \theta  } \right)  }^{ 2 } }  } d\theta =\int _{ 1 }^{ 2 }{ \sqrt { 2{ e }^{ 2\theta  } }  } d\theta =\\ =\int _{ 1 }^{ 2 }{ \sqrt { 2 } { e }^{ \theta  } } d\theta =\left. \left[ \sqrt { 2 } { e }^{ \theta  } \right]  \right| ^{ 2 }_{ 1 }=\sqrt { 2 } \left( { e }^{ 2 }-{ e }^{ 1 } \right) \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：$$f\left( x,y \right) =\ln { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  } \Rightarrow f_{ x }=\frac { 2x }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } \Rightarrow f_{ xx }=\frac { 2 }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } -\frac { 2x\times 2x }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } \\ \Rightarrow f_{ xx }\left( 1,\sqrt { 2 }  \right) =\frac { 2 }{ 3 } -\frac { 4 }{ 9 } =\frac { 2 }{ 9 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：$$f\left( x,y \right) =x^{ 2 }+xy+y^{ 2 }-3x-3y\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=0 \\ f_{ y }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x+y-3=0 \\ x+2y-3=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$$故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解：$$\sum _{ k=2 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k\left( k+1 \right)  }  } =\sum _{ k=2 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ k } -\frac { 1 }{ k+1 }  \right)  } =\left( \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 }  \right) +\left( \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 4 }  \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 }  \right) +\cdots =\frac { 1 }{ 2 } $$故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

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解：$${ e }^{ x }=1+x+\frac { x^{ 2 } }{ 2! } +\frac { x^{ 3 } }{ 3! } +\cdots \Rightarrow { e }^{ x^{ 2 } }=1+x^{ 2 }+\frac { x^{ 4 } }{ 2! } +\frac { x^{ 6 } }{ 3! } +\cdots \\ \Rightarrow x^{ 6 }的係數為\frac { 1 }{ 3! } =\frac { 1 }{ 6 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：$$\lim _{ x\to 1 }{ \frac { \sqrt { x } -1 }{ x^{ 2 }-1 }  } =\lim _{ x\to 1 }{ \frac { \frac { 1 }{ 2\sqrt { x }  }  }{ 2x }  } =\frac { \frac { 1 }{ 2 }  }{ 2 } =\frac { 1 }{ 4 } \\ \Rightarrow \lim _{ x\to 1 }{ \left( ax \right)  } =\frac { 1 }{ 4 } \Rightarrow a=\frac { 1 }{ 4 } \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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12. 已知函數\(f(x)=\sqrt{x-3}\)，下面敍述何者正確？

(A) f 在x=3有定義   (B) f的值域為\([3,\infty)\)

(C) f 在x=-3有定義   (D) f的值域為\([-\infty, 3)\)

解：\(f(3)=\sqrt{3-3}=0\Rightarrow\)有定義； f的值域為\([0,\infty)\)；\(f(-3)=\sqrt{-6}不存在\Rightarrow\)沒有定義；故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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13. 已知函數\(f(x)=(x+1)(x^2+2)(x^3+3)\)，則\(f'(0)\)之值為何？

(A) 1   (B) 2  (C) 6  (D) 3

解：$$f(x)=(x+1)(x^{ 2 }+2)(x^{ 3 }+3)=\left( x^{ 3 }+x^{ 2 }+2x+2 \right) \left( x^{ 3 }+3 \right) \\ \Rightarrow f'(x)=\left( 3x^{ 2 }+2x+2 \right) \left( x^{ 3 }+3 \right) +\left( x^{ 3 }+x^{ 2 }+2x+2 \right) \left( 3x^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow f'(0)=2\times 3+0=6\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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$$(A)\sin{(1)}\;\;(B) 0\;\; (C) \cos{(1)}\;\; (D) 1$$
解：$$\sin { \left( x \right)  } +\cos { \left( y \right)  } =\sin { \left( y \right)  } +\cos { \left( x \right)  } \Rightarrow \sin { \left( x \right)  } -\cos { \left( x \right)  } =\sin { \left( y \right)  } -\cos { \left( y \right)  } \\  \Rightarrow (\sin { \left( x \right)  } -\cos { \left( x \right)  })^2 =(\sin { \left( y \right)  } -\cos { \left( y \right)  })^2 \\\Rightarrow \sin^2(x)-2\sin (x)\cos (x) +\cos^2(x)= \sin^2(y)-2\sin(y) \cos(y)+\cos^2(y) \\\Rightarrow 1-2\sin { \left( x \right)  } \cos { \left( x \right)  } =1-2\sin { \left( y \right)  } \cos { \left( y \right)  } \Rightarrow \sin { \left( x \right)  } \cos { \left( x \right)  } =\sin { \left( y \right)  } \cos { \left( y \right)  } \\ \sin { \left( x \right) +\cos { \left( y \right)  }  } =\sin { \left( y \right)  } +\cos { \left( x \right)  } \Rightarrow \cos { \left( x \right)  } -y'\sin { \left( y \right)  } =y'\cos { \left( y \right)  } -\sin { \left( x \right)  } \\ \Rightarrow y'\left( \cos { \left( y \right)  } +\sin { \left( y \right)  }  \right) =\cos { \left( x \right)  } +\sin { \left( x \right)  } \Rightarrow y'=\frac { \cos { \left( x \right)  } +\sin { \left( x \right)  }  }{ \cos { \left( y \right)  } +\sin { \left( y \right)  }  } \\ \Rightarrow { \left( y' \right)  }^{ 2 }=\frac { 1+2\cos { \left( x \right)  } \sin { \left( x \right)  }  }{ 1+2\cos { \left( y \right)  } \sin { \left( y \right)  }  } =\frac { 1+2\cos { \left( x \right)  } \sin { \left( x \right)  }  }{ 1+2\cos { \left( x \right)  } \sin { \left( x \right)  }  } =1\Rightarrow \left. y' \right| _{ x=2 }=\left. \frac { dy }{ dx }  \right| _{ x=1 }=1$$故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)

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15. 已知函數\(f(x)=\frac{2^x}{x^2}\)，則\(f'(1)\)之值為何？

\((A)1\;\;(B)2\ln{2}-4\;\;(C)2\ln{2}\;\;(D)2\)

解：$$f\left( x \right) =\frac { { 2 }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { { 2 }^{ x }\ln { 2 }  }{ { x }^{ 2 } } -\frac { { 2\times 2 }^{ x } }{ { x }^{ 3 } } \Rightarrow f'\left( 1 \right) =2\ln { 2 } -4$$故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

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16. 已知函數\(f(x)=\tan^{-1}{(1+x+x^2)}\)，則\(f'(0)\)之值為何？

(A) 0.5  (B) 1  (C) 2  (D) 0

解：$$f\left( x \right) =\tan ^{ -1 }{ \left( 1+x+{ x }^{ 2 } \right)  } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1+{ \left( 1+x+{ x }^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } \left( 1+2x \right) \Rightarrow f'\left( 0 \right) =\frac { 1 }{ 1+1 } =\frac { 1 }{ 2 } $$故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解：$$f\left( x \right) =x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } -2017\Rightarrow f'\left( x \right) =2x-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \Rightarrow f''\left( x \right) =2+\frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } \\ f''\left( x \right) =0\Rightarrow 2+\frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } =0\Rightarrow x=-1\Rightarrow \left( -1,f\left( -1 \right)  \right) =\left( -1,-2017 \right) 為反曲點$$故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)

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解：$$f'\left( x \right) =0\Rightarrow 3x^{ 2 }-1=0\Rightarrow x=\pm \sqrt { \frac { 1 }{ 3 }  }有極值\\ f''\left( \sqrt { \frac { 1 }{ 3 }  }  \right) =6\times \sqrt { \frac { 1 }{ 3 }  } >0\Rightarrow x=\sqrt { \frac { 1 }{ 3 }  } 有極小值\\ f''\left( -\sqrt { \frac { 1 }{ 3 }  }  \right) =-6\times \sqrt { \frac { 1 }{ 3 }  } <0\Rightarrow x=-\sqrt { \frac { 1 }{ 3 }  } 有極大值$$故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解：$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( x+y \right)  }  } dxdy=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }+xy \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 } } dy=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \frac { 1 }{ 2 } +y \right)  } dy=\left.\left[ \frac { 1 }{ 2 } y+\frac { 1 }{ 2 } y^{ 2 } \right] \right|^1_0=1$$故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

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解：$$\int { \frac { 10^{ x }+20^{ x } }{ 5^{ x } }  } dx=\int { \left( \frac { 10^{ x } }{ 5^{ x } } +\frac { 20^{ x } }{ 5^{ x } }  \right)  } dx=\int { \left( { 2 }^{ x }+{ 4 }^{ x } \right)  } dx=\frac { { 2 }^{ x } }{ \ln { 2 }  } +\frac { { 4 }^{ x } }{ \ln { 4 }  } +C$$故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解題僅供參考