105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及107年特種考試交通事業鐵路人員考試
考試別:鐵路人員考試
等 別:高員三級考試
類科別:電力工程、電子工程
科 目:工程數學
等 別:高員三級考試
類科別:電力工程、電子工程
科 目:工程數學
甲、申論題部份:(50分)
解:梯度∇ϕ=[∂∂xϕ∂∂yϕ∂∂zϕ]=[18yz+ex18xz18xy]∇ϕ的旋度=[∂∂y(18xy)−∂∂z(18xz)∂∂z(18yz+ex)−∂∂x(18xy)∂∂x(18xz)−∂∂y(18yz+ex)]=[18x−18x18y−18y18z−18z]=[000]
解:3y4−1+12xy3y′=0⇒(12xy3)dy=(1−3y4)dx⇒11−3y4dy=112xy3dx⇒12y31−3y4dy=1xdx⇒∫12y31−3y4dy=∫1xdx⇒−ln|1−3y4|=ln|x|+C⇒11−3y4=Axy(1)=2⇒11−3×24=A⇒A=−147⇒11−3y4=−147x⇒x−3xy4+47=0
解:
(一){f(x)=∫f(x,y)dy=∫1x2dy=2−2x,0<x<1f(y)=∫f(x,y)dx=∫y02dx=2y,0<y<1⇒f(x)f(y)=4y(1−x)≠2=f(x,y)⇒X和Y不是獨立隨機變數(二)f(x|y)=f(x,y)f(y)=22y=1y⇒f(x|y=0.75)=10.75=43⇒f(0.25<x<0.5|y=0.75)=∫0.50.2543dx=43(0.5−0.25)=13
解:C之切線向量為(dxdt,dydt,dzdt)=(tcost,tsint,2t)=(cost,sint,2)再單位化成為1√cos2t+sin2t+22(cost,sint,2)=1√5(cost,sint,2),故選(A)
解:∫cF⋅dr=∫c(F1(t)ddtx(t)+F2(t)ddty(t)+F3(t)ddtz(t)+)dt=∫10(1+t2(−2t)−t4)dt=1−12−15=310,故選(C)
解:(u(t)×v(t))′=u(t)×v′(t)+v(t)×u′(t),故選(D)
解:F=(2xy)i+(xyz2−sin(yz))j+(zex+y)k⇒divF=∂∂x(2xy)+∂∂y(xyz2−sin(yz))+∂∂z(zex+y)=(2y)+(xz2−zcos(yz))+(ex+y),故選(B)
解:D=X−1AX=[1/52/5−2/51/5][1224][1−221]=[1200][1−221]=[5000]X−1AX=D⇒A=XDX−1⇒A100=(XDX−1)100=XD100X−1⇒det(A100)=det(XD100X−1)=det(D100)=5100×0=0,故選(D)
解:
每一橫列的和需小於1,才會越乘越小,故選(D)
解:{(2,−1+i,−2i)⋅(1,0,i)=2−2iˉi=0(2,−1+i,−2i)⋅(1,2,1)=2+2¯(−1+i)−2ˉi=0⇒(2,−1+i,−2i)∈s⊥,故選(D)
解:M=[1−230−11020203340−2]⇒c41=−|−230102203|=−(12−9)=−3≠3,故選(D)
解:z=1+i=√2(1√2+1√2i)=√2(cosπ4+isinπ4)=√2ei(π4+2nπ),故選(A)
解:ez=1+z+z22!+z33!+z44!+⋯⇒e−z=1−z+z22!−z33!+z44!−⋯⇒coshz=12(ez+e−z)=1+z22!+z44!+z66!+⋯⇒1−coshz=−z22!−z44!−z66!−⋯⇒1−coshzz3=−12!⋅1z−z4!−z36!−⋯⇒M=1,B=−12!,故選(B)
解:y=xm⇒x2y″+11xy′+50y=0⇒m(m−1)+11m+50=0⇒m2+10m+50=0⇒m=−10±10i2=−5±5i⇒α=−5,β=5⇒α+β=0,故選(B)
解:y=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯⇒y′=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+⋯⇒xy′=a1x+2a2x2+3a3x3+4a4x4+⋯⇒(1+x)y′=a1+(a1+2a2)x+(2a2+3a3)x2+(3a3+4a4)x3+⋯又(1+x)y′=2y=2a0+2a1x+2a2x2+2a3x3+⋯⇒{a1=2a0a1+2a2=2a12a2+3a3=2a2⋯⇒{a1=2a0a2=a1/2=a0a3=a4=⋯=0⇒y=a0+2a0x+a0x2=a0(1+2x+x2)⇒{a=1b=2c=1,故選(D)
解:{x2y″+axy′+by=0⇒m(m−1)+am+b=0⇒m2+(a−1)m+b=0y=c11√x+c2x2⇒m=−12,2⇒(m+12)(m−2)=0⇒m2−32m−1=0⇒{a−1=−32b=−1⇒{a=−12b=−1⇒a+b=−32=−1.5,故選(A)
解:u(t)∗u(t)=tu(t)⇒u(t)∗2u(t)=2tu(t),故選(C)
解:L\left\{ f\left( t \right) \right\} =\frac { 9{ e }^{ -2s } }{ s^{ 2 }+4s+13 } ={ e }^{ -2s }\frac { 3\times 3 }{ { \left( s+2 \right) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \\ 由u\left( t-2 \right) g\left( t-2 \right) ={ e }^{ -2s }G\left( s \right) \Rightarrow G\left( s \right) =\frac { 3\times 3 }{ { \left( s+2 \right) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \Rightarrow g\left( t \right) =3{ e }^{ -2t }\sin { \left( 3t \right) } \\ \Rightarrow f\left( t \right) =u\left( t-2 \right) g\left( t-2 \right) =u\left( t-2 \right) 3{ e }^{ -2\left( t-2 \right) }\sin { \left( 3\left( t-2 \right) \right) } ,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解:\frac { 1 }{ 1-z } =1+z+z^{ 2 }+\cdots \Rightarrow \frac { 1 }{ { \left( 1-z \right) }^{ 2 } } =1+2z+3z^{ 2 }+\cdots \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ { \left( 1-z \right) }^{ 3 } } =2+6z+12z^{ 2 }+\cdots +n\left( n-1 \right) { z }^{ n-2 }+\cdots =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) { z }^{ n } } \\ \Rightarrow f\left( z \right) =\frac { 1 }{ { \left( 1-z \right) }^{ 3 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) { z }^{ n } } ,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解:\begin{cases} 指數分佈 \\ 平均值為10 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f\left( x;\lambda \right) =\lambda { e }^{ -\lambda x } \\ \frac { 1 }{ \lambda } =10 \end{cases}\Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 10 } { e }^{ -x/10 }\\ \Rightarrow \frac { f\left( 15 \right) }{ f\left( 10 \right) } =\frac { \frac { 1 }{ 10 } { e }^{ -15/10 } }{ \frac { 1 }{ 10 } { e }^{ -1 } } ={ e }^{ -15/10+1 }={ e }^{ -1/2 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解:P\left( X=1|Y\le 2 \right) =\frac { P\left( X=1且Y\le 2 \right) }{ P\left( Y\le 2 \right) } \\ =\frac { P_{ X,Y }\left( 1,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 1,2 \right) }{ P_{ X,Y }\left( 1,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 2,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 3,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 1,2 \right) +P_{ X,Y }\left( 2,2 \right) +P_{ X,Y }\left( 3,2 \right) } \\ =\frac { c\left( \frac { 1 }{ 1 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) }{ c\left( \frac { 1 }{ 1 } +\frac { 2 }{ 1 } +\frac { 3 }{ 1 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \right) } =\frac { \frac { 3 }{ 2 } }{ 9 } =\frac { 1 }{ 6 } ,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解:
可以被3整除的共有1000/3=333個,可以被5整除的共有1000/5=200個,可以被3也可以被5整除的共有1000/15=66個。因此機率為\frac{333+200-66}{1000}=\frac{467}{1000},故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解:由於X是連續隨機變數,任一點的機率皆為0,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
沒有留言:
張貼留言