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2018年10月19日 星期五

105年鐵路特考--工程數學詳解


105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及107年特種考試交通事業鐵路人員考試
考試別:鐵路人員考試
等        別:高員三級考試
類科別:電力工程、電子工程
科        目:工程數學
甲、申論題部份:(50分)


(一)先求A的特徵值|1λ221λ|=0(λ1)24=0(λ3)(λ+1)=0λ1=1,λ2=3再利用Lagrange 內插多項式求解,即{P1=Aλ2Iλ1λ2=14[2222]=[1/21/21/21/2]P2=Aλ1Iλ2λ1=14[2222]=[1/21/21/21/2]sinA=(sinλ1)P1+(sinλ2)P2=sin(1)[1/21/21/21/2]+sin(3)[1/21/21/21/2]=12[sin(1)+sin(3)sin(1)+sin(3)sin(1)+sin(3)sin(1)+sin(3)]A=12[sin(1)+sin(3)sin(1)+sin(3)sin(1)+sin(3)sin(1)+sin(3)]



ϕ=[xϕyϕzϕ]=[18yz+ex18xz18xy]ϕ=[y(18xy)z(18xz)z(18yz+ex)x(18xy)x(18xz)y(18yz+ex)]=[18x18x18y18y18z18z]=[000]


3y41+12xy3y=0(12xy3)dy=(13y4)dx113y4dy=112xy3dx12y313y4dy=1xdx12y313y4dy=1xdxln|13y4|=ln|x|+C113y4=Axy(1)=2113×24=AA=147113y4=147xx3xy4+47=0



(一){f(x)=f(x,y)dy=1x2dy=22x,0<x<1f(y)=f(x,y)dx=y02dx=2y,0<y<1f(x)f(y)=4y(1x)2=f(x,y)XY(二)f(x|y)=f(x,y)f(y)=22y=1yf(x|y=0.75)=10.75=43f(0.25<x<0.5|y=0.75)=0.50.2543dx=43(0.50.25)=13

乙、測驗題部分:(50分)

C(dxdt,dydt,dzdt)=(tcost,tsint,2t)=(cost,sint,2)1cos2t+sin2t+22(cost,sint,2)=15(cost,sint,2)(A)


cFdr=c(F1(t)ddtx(t)+F2(t)ddty(t)+F3(t)ddtz(t)+)dt=10(1+t2(2t)t4)dt=11215=310(C)


(u(t)×v(t))=u(t)×v(t)+v(t)×u(t)(D)


F=(2xy)i+(xyz2sin(yz))j+(zex+y)kdivF=x(2xy)+y(xyz2sin(yz))+z(zex+y)=(2y)+(xz2zcos(yz))+(ex+y)(B)


D=X1AX=[1/52/52/51/5][1224][1221]=[1200][1221]=[5000]X1AX=DA=XDX1A100=(XDX1)100=XD100X1det(A100)=det(XD100X1)=det(D100)=5100×0=0(D)



每一橫列的和需小於1,才會越乘越小,故選(D)


{(2,1+i,2i)(1,0,i)=22iˉi=0(2,1+i,2i)(1,2,1)=2+2¯(1+i)2ˉi=0(2,1+i,2i)s(D)


M=[1230110202033402]c41=|230102203|=(129)=33(D)


z=1+i=2(12+12i)=2(cosπ4+isinπ4)=2ei(π4+2nπ)(A)


ez=1+z+z22!+z33!+z44!+ez=1z+z22!z33!+z44!coshz=12(ez+ez)=1+z22!+z44!+z66!+1coshz=z22!z44!z66!1coshzz3=12!1zz4!z36!M=1,B=12!(B)


y=xmx2y+11xy+50y=0m(m1)+11m+50=0m2+10m+50=0m=10±10i2=5±5iα=5,β=5α+β=0(B)



y=a0+a1x+a2x2+a3x3+y=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+xy=a1x+2a2x2+3a3x3+4a4x4+(1+x)y=a1+(a1+2a2)x+(2a2+3a3)x2+(3a3+4a4)x3+(1+x)y=2y=2a0+2a1x+2a2x2+2a3x3+{a1=2a0a1+2a2=2a12a2+3a3=2a2{a1=2a0a2=a1/2=a0a3=a4==0y=a0+2a0x+a0x2=a0(1+2x+x2){a=1b=2c=1(D)


{x2y+axy+by=0m(m1)+am+b=0m2+(a1)m+b=0y=c11x+c2x2m=12,2(m+12)(m2)=0m232m1=0{a1=32b=1{a=12b=1a+b=32=1.5(A)


u(t)u(t)=tu(t)u(t)2u(t)=2tu(t)(C)


L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =\frac { 9{ e }^{ -2s } }{ s^{ 2 }+4s+13 } ={ e }^{ -2s }\frac { 3\times 3 }{ { \left( s+2 \right)  }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \\ 由u\left( t-2 \right) g\left( t-2 \right) ={ e }^{ -2s }G\left( s \right) \Rightarrow G\left( s \right) =\frac { 3\times 3 }{ { \left( s+2 \right)  }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \Rightarrow g\left( t \right) =3{ e }^{ -2t }\sin { \left( 3t \right)  } \\ \Rightarrow f\left( t \right) =u\left( t-2 \right) g\left( t-2 \right) =u\left( t-2 \right) 3{ e }^{ -2\left( t-2 \right)  }\sin { \left( 3\left( t-2 \right)  \right)  } ,故選\bbox[red,2pt]{(C)}


\frac { 1 }{ 1-z } =1+z+z^{ 2 }+\cdots \Rightarrow \frac { 1 }{ { \left( 1-z \right)  }^{ 2 } } =1+2z+3z^{ 2 }+\cdots \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ { \left( 1-z \right)  }^{ 3 } } =2+6z+12z^{ 2 }+\cdots +n\left( n-1 \right) { z }^{ n-2 }+\cdots =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) { z }^{ n } } \\ \Rightarrow f\left( z \right) =\frac { 1 }{ { \left( 1-z \right)  }^{ 3 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) { z }^{ n } } ,故選\bbox[red,2pt]{(D)}


\begin{cases} 指數分佈 \\ 平均值為10 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f\left( x;\lambda  \right) =\lambda { e }^{ -\lambda x } \\ \frac { 1 }{ \lambda  } =10 \end{cases}\Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 10 } { e }^{ -x/10 }\\ \Rightarrow \frac { f\left( 15 \right)  }{ f\left( 10 \right)  } =\frac { \frac { 1 }{ 10 } { e }^{ -15/10 } }{ \frac { 1 }{ 10 } { e }^{ -1 } } ={ e }^{ -15/10+1 }={ e }^{ -1/2 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}


P\left( X=1|Y\le 2 \right) =\frac { P\left( X=1且Y\le 2 \right)  }{ P\left( Y\le 2 \right)  } \\ =\frac { P_{ X,Y }\left( 1,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 1,2 \right)  }{ P_{ X,Y }\left( 1,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 2,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 3,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 1,2 \right) +P_{ X,Y }\left( 2,2 \right) +P_{ X,Y }\left( 3,2 \right)  } \\ =\frac { c\left( \frac { 1 }{ 1 } +\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }{ c\left( \frac { 1 }{ 1 } +\frac { 2 }{ 1 } +\frac { 3 }{ 1 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 }  \right)  } =\frac { \frac { 3 }{ 2 }  }{ 9 } =\frac { 1 }{ 6 } ,故選\bbox[red,2pt]{(A)}



可以被3整除的共有1000/3=333個,可以被5整除的共有1000/5=200個,可以被3也可以被5整除的共有1000/15=66個。因此機率為\frac{333+200-66}{1000}=\frac{467}{1000},故選\bbox[red,2pt]{(B)}


:由於X是連續隨機變數,任一點的機率皆為0,故選\bbox[red,2pt]{(B)}


考選部未公布申論題答案,解題僅供參考

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