105年地方特考--工程數學詳解

105年特種考試地方政府公務人員考試

等    別：三等考試
類科別：電力工程
科        目：工程數學

甲、申論題部份：(50分)

解：

(一) $$\begin{cases} \vec { a } =\overrightarrow { P_{ 1 }P_{ 2 } } =\left( 1,2,3 \right)  \\ \vec { b } =\overrightarrow { P_{ 1 }P_{ 3 } } =\left( 2,-1,-2 \right)  \end{cases}\Rightarrow \triangle 面積=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { \left| \vec { a }  \right|  }^{ 2 }{ \left| \vec { b }  \right|  }^{ 2 }-{ \left( \vec { a } \cdot \vec { b }  \right)  }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \left( 1^{ 2 }+2^{ 2 }+3^{ 2 } \right) \left( 2^{ 2 }+1^{ 2 }+2^{ 2 } \right) -{ \left( 2-2-6 \right)  }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 14\times 9-36 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 3 }{ 2 } \sqrt { 10 }}$$ (二) $$\begin{cases} \overline { OP_{ 1 } } =\left( 1,1,1 \right)  \\ \overline { OP_{ 2 } } =\left( 2,3,4 \right)  \\ \overline { OP_{ 3 } } =\left( 3,0,-1 \right)  \end{cases}\Rightarrow 六面體體積=\left\| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -1 \end{matrix} \right\| =\left| -3+12-9+2 \right| =\bbox[red,2pt]{2}$$

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解：
(一) $$\vec { F } =\left( y+yz \right) \vec { i } +\left( x+3z^{ 3 }+xz \right) \vec { j } +\left( 9yz^{ 2 }+xy-1 \right) \vec { k } \\ \Rightarrow curl\; \vec { F } =\left| \begin{matrix} \vec { i }  & \vec { j }  & \vec { k }  \\ \frac { \partial  }{ \partial x }  & \frac { \partial  }{ \partial y }  & \frac { \partial  }{ \partial z }  \\ y+yz & x+3z^{ 3 }+xz & 9yz^{ 2 }+xy-1 \end{matrix} \right| \\ =\left( 9z^{ 2 }+x \right) \vec { i } +\left( 1+z \right) \vec { k } +\left( y \right) \vec { j } -\left( 1+z \right) \vec { k } -\left( y \right) \vec { j } -\left( 9z^{ 2 }+x \right) \vec { i } =0\\因此積分與路徑無關$$ (二) $$f\left( x,y,z \right) =\int _{ C }{ \left( y+yz \right) dx+\left( x+3z^{ 3 }+xz \right) dy+\left( 9yz^{ 2 }+xy-1 \right) dz } \\ \Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=y+yz \\ f_{ y }=x+3z^{ 3 }+xz \\ f_{ z }=9yz^{ 2 }+xy-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f=xy+xyz+p\left( y,z \right)  \\ f=xy+3yz^{ 3 }+xyz+q\left( x,z \right)  \\ f=3yz^{ 3 }+xyz-z+r\left( x,y \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{f\left( x,y,z \right)=xy+3yz^{ 3 }+xyz-z+c}$$ (三) $$\int _{ C }{ \left( y+yz \right) dx+\left( x+3z^{ 3 }+xz \right) dy+\left( 9yz^{ 2 }+xy-1 \right) dz } \\ =\left. \left[ xy+3yz^{ 3 }+xyz-z \right] \right| _{ \left( 1,1,1 \right) }^{ \left( 2,1,4 \right) }=\left( 2+192+8-4 \right) -\left( 1+3+1-1 \right) =198-4=\bbox[red,2pt]{194}$$

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解：
(一) $$f\left( z \right) =\frac { 1 }{ { \left( z-1 \right)  }^{ 2 }\left( z-3 \right)  } =\frac { 1 }{ { \left( z-1 \right)  }^{ 2 }\left( z-1-2 \right)  } =\frac { 1 }{ { \left( -2 \right) \left( z-1 \right)  }^{ 2 }\left( 1-\frac { z-1 }{ 2 }  \right)  } \\ =\frac { 1 }{ { \left( -2 \right) \left( z-1 \right)  }^{ 2 } } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { z-1 }{ 2 }  \right)  }^{ n } } =\bbox[red,2pt]{\frac { -1 }{ 2 } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( z-1 \right)  }^{ n-2 } }{ { 2 }^{ n } }  }}$$ (二) $$f\left( z \right) =\frac { 1 }{ { \left( z-1 \right) }^{ 2 }\left( z-3 \right) } =\frac { 1 }{ { \left( z-3+2 \right) }^{ 2 }\left( z-3 \right) } =\frac { 1 }{ 4\left( z-3 \right) { \left( 1+\frac { z-3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ 4\left( z-3 \right) } { \left( 1+\frac { z-3 }{ 2 } \right) }^{ -2 }=\frac { 1 }{ 4\left( z-3 \right) } \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ C^{ -2 }_{ n }{ \left( \frac { z-3 }{ 2 } \right) }^{ n } } =\bbox[red,2pt] {\frac { 1 }{ 4 } \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 2^{ n } } C^{ -2 }_{ n }{ \left( z-3 \right) }^{ n-1 } }}$$

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解：
(一) $$\left| \begin{matrix} -4-\lambda  & 1 & 1 \\ 1 & 5-\lambda  & -1 \\ 0 & 1 & -3-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow \left( \lambda +3 \right) \left( \lambda +4 \right) \left( 5-\lambda  \right) +1+\lambda +3-4-\lambda =0\\ \Rightarrow \left( \lambda +3 \right) \left( \lambda +4 \right) \left( 5-\lambda  \right) =0\Rightarrow \lambda =-4,-3,5\\ \lambda =-4\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 9 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =0\Rightarrow 取\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 10 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ \lambda =-3\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =0\Rightarrow 取\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ \lambda =5\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -9 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -8 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =0\Rightarrow 取\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ 因此A的特徵值為\bbox[red,2pt]{-4,-3,5}，對應的特徵向量為\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 10 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right] ,\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] ,\left[ \begin{matrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{matrix} \right] }$$ (二) $$\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} x\left( t \right)  \\ y\left( t \right)  \\ z\left( t \right)  \end{matrix} \right] =C_{ 1 }\left[ \begin{matrix} 10 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right] { e }^{ -4t }+C_{ 2 }\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] { e }^{ -3t }+C_{ 3 }\left[ \begin{matrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{matrix} \right] { e }^{ 5t }},其中C_1,C_2,C_3為常數$$

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解：
(一) $$\mu =E\left( K \right) =\sum _{ k=0 }^{ n }{ k\frac { n! }{ \left( n-k \right) !k! } p^{ k }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ k\frac { n! }{ \left( n-k \right) !k! } p^{ k }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } \\ =\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { n! }{ \left( n-k \right) !\left( k-1 \right) ! } p^{ k }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } =np\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { \left( n-1 \right) ! }{ \left( n-k \right) !\left( k-1 \right) ! } p^{ k-1 }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } \\ =np\left( p+1-p \right) ^{ n-1 }=\bbox[red,2pt]{np}\\ \sigma ^{ 2 }=Var\left( K \right) =E\left( K^{ 2 } \right) -\left( E\left( K \right)  \right) ^{ 2 }=E\left( K^{ 2 } \right) -\left( np \right) ^{ 2 }=E\left( K^{ 2 } \right) -n^{ 2 }p^{ 2 }\\ =\sum _{ k=0 }^{ n }{ k^{ 2 }\frac { n! }{ \left( n-k \right) !k! } p^{ k }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } -n^{ 2 }p^{ 2 }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \left( k\left( k-1 \right) +k \right) \frac { n! }{ \left( n-k \right) !k! } p^{ k }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } -n^{ 2 }p^{ 2 }\\ =\sum _{ k=0 }^{ n }{ k\left( k-1 \right) \frac { n! }{ \left( n-k \right) !k! } p^{ k }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } +\sum _{ k=0 }^{ n }{ k\frac { n! }{ \left( n-k \right) !k! } p^{ k }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } -n^{ 2 }p^{ 2 }\\ =\sum _{ k=0 }^{ n }{ k\left( k-1 \right) \frac { n! }{ \left( n-k \right) !k! } p^{ k }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } +np-n^{ 2 }p^{ 2 }\\ =n\left( n-1 \right) { p }^{ 2 }\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { \left( n-2 \right) ! }{ \left( n-k \right) !\left( k-2 \right) ! } p^{ k-2 }\left( 1-p \right) ^{ n-k } } +np-n^{ 2 }p^{ 2 }\\ =n\left( n-1 \right) { p }^{ 2 }\left( p+1-p \right) ^{ n-2 }+np-n^{ 2 }p^{ 2 }=n\left( n-1 \right) { p }^{ 2 }+np-n^{ 2 }p^{ 2 }=np-np^{ 2 }=\bbox[red,2pt]{np\left( 1-p \right)}$$ (二) $$\mu =E\left( K \right) =\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ k\frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k } }{ k! }  } =\lambda \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k-1 } }{ \left( k-1 \right) ! }  } =\bbox[red,2pt]{\lambda }\\ \sigma ^{ 2 }=Var\left( K \right) =E\left( K^{ 2 } \right) -\left( E\left( K \right)  \right) ^{ 2 }=E\left( K^{ 2 } \right) -\lambda ^{ 2 }=\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ k^{ 2 }\frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k } }{ k! }  } -\lambda ^{ 2 }\\ =\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \left( k\left( k-1 \right) +k \right) \frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k } }{ k! }  } -\lambda ^{ 2 }=\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ k\left( k-1 \right) \frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k } }{ k! }  } +\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ k\frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k } }{ k! }  } -\lambda ^{ 2 }\\ ={ \lambda  }^{ 2 }\sum _{ k=2 }^{ \infty  }{ \frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k-2 } }{ \left( k-2 \right) ! }  } +\lambda -\lambda ^{ 2 }={ \lambda  }^{ 2 }+\lambda -\lambda ^{ 2 }=\bbox[red,2pt]{\lambda}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \xrightarrow [  ]{ (-2)r_{ 1 }+r_{ 2 },(-4)r_{ 1 }+r_{ 3 } } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -3 & -5 \\ 0 & -9 & -15 \end{matrix} \right] \xrightarrow [  ]{ (-3)r_{ 2 }+r_{ 3 } } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \left( -3 \right) \left( -2r_{ 1 }+r_{ 2 } \right) +\left( -4 \right) r_{ 1 }+r_{ 3 }=0\Rightarrow 2r_{ 1 }-3r_{ 2 }+r_{ 3 }=0\\ \Rightarrow 2\left( 1,2,4 \right) -3\left( 2,1,3 \right) +\left( 4,-1,1 \right) =0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] ,b=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow A{ \left( A^{ T }A \right)  }^{ -1 }A^{ T }b=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] { \left( \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right]  \right)  }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] { \left( \left[ \begin{matrix} 5 & -2 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right]  \right)  }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 7 \\ -5 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 7 \\ -5 \end{matrix} \right] \\ =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ -11 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 4 \\ -11 \\ 19 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} { A }^{ -1 } & { B }^{ 2 } & AB \\ 0 & 2I & { A }^{ 2 } \\ 0 & 0 & { A }^{ T }B \end{matrix} \right| =det\left( { A }^{ -1 }\left( 2I \right) { A }^{ T }B \right) =det\left( { A }^{ -1 } \right) \cdot det\left( 2I \right) \cdot det\left( { A }^{ T } \right) \cdot det\left( B \right) \\ =8\cdot 6\cdot det\left( { A }^{ -1 } \right) \cdot det\left( { A }^{ T } \right) =48\cdot det\left( { A }^{ -1 } \right) \cdot det\left( A \right) =48\cdot det\left( { A }^{ -1 }A \right) =48\cdot det\left( I \right) =48\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} \cos { x } \sin { x }  & \cos ^{ 2 }{ x }  & \sin { x }  \\ -\cos { x }  & \sin { x }  & 0 \\ -\sin ^{ 2 }{ x }  & -\cos { x } \sin { x }  & \cos { x }  \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow AA^{ T }=\left[ \begin{matrix} \cos { x } \sin { x }  & \cos ^{ 2 }{ x }  & \sin { x }  \\ -\cos { x }  & \sin { x }  & 0 \\ -\sin ^{ 2 }{ x }  & -\cos { x } \sin { x }  & \cos { x }  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos { x } \sin { x }  & -\cos { x }  & -\sin ^{ 2 }{ x }  \\ \cos ^{ 2 }{ x }  & \sin { x }  & -\cos { x } \sin { x }  \\ \sin { x }  & 0 & \cos { x }  \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} \cos ^{ 2 }{ x } \sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 4 }{ x } +\sin ^{ 2 }{ x }  & -\cos ^{ 2 }{ x } \sin { x } +\cos ^{ 2 }{ x } \sin { x }  & -\cos { x } \sin ^{ 3 }{ x } -\cos ^{ 3 }{ x } \sin { x } +\cos { x } \sin { x }  \\ -\cos ^{ 2 }{ x } \sin { x } +\cos ^{ 2 }{ x } \sin { x }  & \cos ^{ 2 }{ x } +\sin ^{ 2 }{ x }  & \cos { x } \sin ^{ 2 }{ x } -\cos { x } \sin ^{ 2 }{ x }  \\ -\cos { x } \sin ^{ 3 }{ x } -\cos ^{ 3 }{ x } \sin { x } +\cos { x } \sin { x }  & \cos { x } \sin ^{ 2 }{ x } -\cos { x } \sin ^{ 2 }{ x }  & \sin ^{ 4 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x } \sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x }  \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} \cos ^{ 2 }{ x } \left( \sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x }  \right) +\sin ^{ 2 }{ x }  & 0 & -\cos { x } \sin { x } \left( \sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x }  \right) +\cos { x } \sin { x }  \\ 0 & 1 & 0 \\ -\cos { x } \sin { x } \left( \sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x }  \right) +\cos { x } \sin { x }  & 0 & \sin ^{ 2 }{ x } \left( \sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x }  \right) +\cos ^{ 2 }{ x }  \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} \cos ^{ 2 }{ x } +\sin ^{ 2 }{ x }  & 0 & -\cos { x } \sin { x } +\cos { x } \sin { x }  \\ 0 & 1 & 0 \\ -\cos { x } \sin { x } +\cos { x } \sin { x }  & 0 & \sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x }  \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 3 & 7 & 10 & 13 \\ 2 & 6 & 12 & 14 \\ 5 & 9 & 11 & 15 \\ 4 & 12 & 24 & 28 \end{matrix} \right] \xrightarrow [  ]{ \left( 1/2 \right) r_{ 2 } } \left[ \begin{matrix} 3 & 7 & 10 & 13 \\ 1 & 3 & 6 & 7 \\ 5 & 9 & 11 & 15 \\ 4 & 12 & 24 & 28 \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow [  ]{ \left( -3 \right) r_{ 2 }+r_{ 1 },\left( -5 \right) r_{ 3 }+r_{ 1 },\left( -4 \right) r_{ 2 }+r_{ 4 }, } \left[ \begin{matrix} 0 & -2 & -8 & -8 \\ 1 & 3 & 6 & 7 \\ 0 & -6 & -19 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f\left( x_{ 1 },x_{ 2 },x_{ 3 } \right) =x_{ 1 }^{ 2 }+3x_{ 2 }^{ 2 }+6x_{ 3 }^{ 2 }-2x_{ 1 }x_{ 2 }+2ax_{ 1 }x_{ 3 }=\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } & x_{ 2 } & x_{ 3 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & a \\ -1 & 3 & 0 \\ a & 0 & 6 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] ={ X }^{ T }AX\\ f\left( x_{ 1 },x_{ 2 },x_{ 3 } \right) >0\Rightarrow { X }^{ T }AX>0為正定矩陣\Rightarrow A之特徵值均為正值\\ 求A之特徵值\Rightarrow \left| \begin{matrix} 1-\lambda  & -1 & a \\ -1 & 3-\lambda  & 0 \\ a & 0 & 6-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow \lambda ^{ 3 }-10\lambda ^{ 2 }+(26-a^{ 2 })\lambda +3a^{ 2 }-12=0\\ 令g\left( \lambda  \right) =\lambda ^{ 3 }-10\lambda ^{ 2 }+(26-a^{ 2 })\lambda +3a^{ 2 }-12\Rightarrow g\left( 0 \right) <0\Rightarrow 3a^{ 2 }-12<0\Rightarrow -2<a<2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $${ e }^{ z }=1-i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } i \right) =\sqrt { 2 } \left( \cos { \left( -\frac { \pi  }{ 4 }  \right)  } +i\sin { \left( -\frac { \pi  }{ 4 }  \right)  }  \right) \\ ={ e }^{ \ln { \sqrt { 2 }  }  }{ e }^{ i\left( -\frac { \pi  }{ 4 }  \right)  }={ e }^{ \ln { \sqrt { 2 }  } +i\left( -\frac { \pi  }{ 4 }  \right)  }={ e }^{ \frac { 1 }{ 2 } \ln { 2 } +i\left( -\frac { \pi  }{ 4 }  \right)  }\Rightarrow z=\frac { 1 }{ 2 } \ln { 2 } +i\left( -\frac { \pi  }{ 4 }  \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$z=0為\text{simple pole}\Rightarrow \int_C{e^{1/z}}=2\pi i\times f(0)=2\pi i\times 1=2\pi i，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\int _{ i }^{ i/2 }{ { e }^{ \pi z }dz } =\left. \left[ \frac { 1 }{ \pi  } { e }^{ \pi z } \right]  \right| _{ i }^{ i/2 }=\frac { 1 }{ \pi  } \left( { e }^{ i\pi /2 }-{ e }^{ \pi i } \right) =\frac { 1 }{ \pi  } \left( i+1 \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$L\left\{ \cos { \left( 4t \right)  }  \right\} =\frac { s }{ s^{ 2 }+4^{ 2 } } \Rightarrow \left\{ { e }^{ -3t }\cos { \left( 4t \right)  }  \right\} =\frac { s+3 }{ \left( s+3 \right) ^{ 2 }+4^{ 2 } } \\ \Rightarrow \left\{ { 2e }^{ -3t }\cos { \left( 4t \right)  }  \right\} =\frac { 2\left( s+3 \right)  }{ \left( s+3 \right) ^{ 2 }+4^{ 2 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y'=2y+2x\Rightarrow y'-2y=2x\Rightarrow \begin{cases} y_{ h }=C{ e }^{ 2x } \\ y_{ p }=Ax+B \end{cases}\\ y'_{ p }-2y_{ p }=A-2\left( Ax+B \right) =-2Ax+\left( A-2B \right) =2x\Rightarrow \begin{cases} -2A=2 \\ A-2B=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=-1 \\ B=-1/2 \end{cases}\\ y=y_{ h }+y_{ p }=C{ e }^{ 2x }-x-\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} x'+2y'-y=0 \\ x'+y=e^{ -t } \end{cases}\Rightarrow \left( e^{ -t }-y \right) +2y'-y=0\Rightarrow y'-y=-\frac { 1 }{ 2 } e^{ -t }\Rightarrow \begin{cases} y_{ h }=Ce^{ t } \\ y_{ p }=Ae^{ -t } \end{cases}\\ y'_{ p }-y_{ p }=-Ae^{ -t }-Ae^{ -t }=-2Ae^{ -t }=-\frac { 1 }{ 2 } e^{ -t }\Rightarrow A=\frac { 1 }{ 4 } \Rightarrow y_{ p }=\frac { 1 }{ 4 } e^{ -t }\\ y=y_{ h }+y_{ p }=Ce^{ t }+\frac { 1 }{ 4 } e^{ -t },由y\left( 0 \right) =0可知C+\frac { 1 }{ 4 } =0\Rightarrow C=-\frac { 1 }{ 4 } \\ \Rightarrow y=-\frac { 1 }{ 4 } e^{ t }+\frac { 1 }{ 4 } e^{ -t }\Rightarrow x'=e^{ -t }-y=\frac { 1 }{ 4 } e^{ t }+\frac { 3 }{ 4 } e^{ -t }\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 4 } e^{ t }-\frac { 3 }{ 4 } e^{ -t }+B\\ 由x\left( 0 \right) =0可知\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 3 }{ 4 } +B=0\Rightarrow B=\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { 1 }{ 4 } e^{ t }-\frac { 3 }{ 4 } e^{ -t }+\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\frac { 2s-1 }{ s^{ 2 }+8s+25 } =\frac { 2\left( s+4 \right) -9 }{ \left( s+4 \right) ^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\frac { 2\left( s+4 \right)  }{ \left( s+4 \right) ^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } -\frac { 3\times 3 }{ \left( s+4 \right) ^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \\ \Rightarrow L^{ -1 }\left\{ \frac { 2s-1 }{ s^{ 2 }+8s+25 }  \right\} =2L^{ -1 }\left\{ \frac { s+4 }{ \left( s+4 \right) ^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } }  \right\} -3L^{ -1 }\left\{ \frac { 3 }{ \left( s+4 \right) ^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } }  \right\} \\ =2{ e }^{ -4t }\cos { \left( 3t \right)  } -3{ e }^{ -4t }\sin { \left( 3t \right)  } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$x^{ 2 }y'+xy=-y^{ -3/2 }\Rightarrow x^{ 2 }y'+xy+y^{ -3/2 }=0\Rightarrow x^{ 2 }y^{ 3/2 }y'+xy^{ 5/2 }+1=0\\ \Rightarrow x^{ 5/2 }y^{ 3/2 }y'+x^{ 3/2 }y^{ 5/2 }+x^{ 1/2 }=0\Rightarrow \frac { 2 }{ 5 } \left( x^{ 5/2 }y^{ 5/2 } \right) '+x^{ 1/2 }=0\\ \Rightarrow \frac { 2 }{ 5 } x^{ 5/2 }y^{ 5/2 }+\frac { 2 }{ 3 } x^{ 3/2 }=C\Rightarrow x^{ 5/2 }y^{ 5/2 }+\frac { 5 }{ 3 } x^{ 3/2 }=C，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$令P=u_{ x },則u_{ xy }-2u_{ x }=0\equiv \frac { \partial  }{ \partial y } P-2P=0\Rightarrow dp=2pdy\Rightarrow \frac { 1 }{ p } dp=2dy\Rightarrow \ln { p } =2y+A\left( x \right) \\ \Rightarrow p={ e }^{ 2y }\cdot f\left( x \right) \Rightarrow u={ e }^{ 2y }\int { f\left( x \right) dx } +k_1\left( y \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$令p=u_{ x },則u_{ xy }+2u_{ x }=x\equiv \frac { dp }{ dy } +2p=x\Rightarrow p={ e }^{ -2y }f\left( x \right) \\ \frac { \partial u }{ \partial x } \left( x,0 \right) =x^{ 2 }\Rightarrow p\left( x,0 \right) =x^{ 2 }\Rightarrow f\left( x \right) =x^{ 2 }\Rightarrow p={ e }^{ -2y }x^{ 2 }\\ \Rightarrow u\left( x,y \right) =\int { pdx } +g\left( y \right) ={ e }^{ -2y }\int { x^{ 2 }dx } +g\left( y \right) ={ e }^{ -2y }\left( \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }+C \right) +g\left( y \right) \\ u\left( 0,y \right) =0\Rightarrow C{ e }^{ -2y }+g\left( y \right) =0\Rightarrow g\left( y \right) =-C{ e }^{ -2y }\Rightarrow u\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }{ e }^{ -2y }\\ \Rightarrow u\left( 1,0 \right) =\frac { 1 }{ 3 }  ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\frac { d^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } } +4\frac { dy }{ dt } +4y=2t^{ 2 }\Rightarrow L\left\{ \frac { d^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } } \right\} +4L\left\{ \frac { dy }{ dt } \right\} +4L\left\{ y \right\} =2L\left\{ t^{ 2 } \right\} \\ \Rightarrow s^{ 2 }Y\left( s \right) -sy\left( 0 \right) -y'\left( 0 \right) +4\left( sY\left( s \right) -y\left( 0 \right) \right) +4Y\left( s \right) =2\frac { 2 }{ s^{ 3 } } \\ \Rightarrow s^{ 2 }Y\left( s \right) +4sY\left( s \right) +4Y\left( s \right) =\frac { 4 }{ s^{ 3 } } \Rightarrow Y\left( s \right) { \left( s+2 \right) }^{ 2 }=\frac { 4 }{ s^{ 3 } } \\ \Rightarrow Y\left( s \right) =\frac { 4 }{ { \left( s+2 \right) }^{ 2 }s^{ 3 } } =\frac { a }{ s^{ 3 } } +\frac { b }{ s^{ 2 } } +\frac { c }{ s } +\frac { d }{ \left( s+2 \right) ^{ 2 } } +\frac { e }{ s+2 } \\ \Rightarrow a{ \left( s+2 \right) }^{ 2 }+bs{ \left( s+2 \right) }^{ 2 }+cs^{ 2 }{ \left( s+2 \right) }^{ 2 }+ds^{ 3 }+es^{ 3 }\left( s+2 \right) =4\\ \Rightarrow \left( c+e \right) s^{ 3 }+\left( b+4c+d+2e \right) s^{ 3 }+\left( a+4b+4c \right) s^{ 2 }+\left( 4a+4b \right) s+4a=4\\ \Rightarrow \begin{cases} c+e=0 \\ b+4c+d+2e=0 \\ a+4b+4c=0 \\ 4a+4b=0 \\ 4a=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \\ c=3/4 \\ d=-1/2 \\ e=-3/4 \end{cases}\Rightarrow a+d=1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$Var\left[kX\right]=k^2Var\left[X\right]，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$P\left( X\le 2Y \right) =\frac { \triangle OBC }{ \triangle OAC } =\frac { \overline { BC }  }{ \overline { AC }  } =0.5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$E\left( X \right) =0\times 0.1+1\times \left( 0.1+0.1 \right) +2\times \left( 0.2+0.5 \right) =1.6\\ E\left( Y \right) =0\times 0.1+1\times \left( 0.1+0.2 \right) +2\times \left( 0.1+0.5 \right) =1.5\\ E\left( XY \right) =0.1+2\times 0.2+2\times 0.1+2\times 2\times 0.5=2.7\\ Cov\left( X,Y \right) =E\left( XY \right) -E\left( X \right) E\left( Y \right) =2.7-1.6\times 1.5=0.3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考