105年公務人員特種考試警察人員、一般警察考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試
考試別：一般警察人員考試
等 別：三等考試
類 科別：消防警察人員
科 目：工程數學
等 別：三等考試
類 科別：消防警察人員
科 目：工程數學
解：
(一)$$\begin{matrix} x_{ 1 }+x_{ 2 }-x_{ 3 }+2x_{ 4 }=-2 \\ -2x_{ 1 }+2x_{ 3 }-x_{ 4 }=3 \\ -x_{ 1 }+3x_{ 2 }+x_{ 3 }+4x_{ 4 }=0 \end{matrix}\equiv \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \end{matrix} \right] ,b=\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} \right]} \\ 又A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \end{matrix} \right] \xrightarrow [ ]{ r_{ 1 }+r_{ 3 },2r_{ 1 }+r_{ 2 } } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 6 \end{matrix} \right] \xrightarrow [ ]{ -2r_{ 2 }+r_{ 3 }} \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{rank(A)=2} $$(二)$$[Ax|b]=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1&1&-1&2&-2\\
-2&0&2&-1&3\\
-1&3&1&4&0\\
\end{array}
\right]\xrightarrow{2r_1+r_2,r_1+r_3}
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1&1&-1&2&-2\\
0&2&0&3&-1\\
0&4&0&6&-2\\
\end{array}
\right]
\\
\xrightarrow{-2r_2+r_3}
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1&1&-1&2&-2\\
0&2&0&3&-1\\
0&0&0&0&0\\
\end{array}
\right]\Rightarrow \begin{array}{} x_1+x_2-x_3+2x_4=-2 \\2x_2+3x_4=-1 \end{array}
\\\Rightarrow 令x_3=s,x_4=t\Rightarrow \left\{\begin{array}{}x_1=s+(-3-t)/2 \\ x_2=(-1-3t)/2\\x_3=s\\x_4=t\end{array}\right.s,t\in R\Rightarrow 有\bbox[red,2pt]{無限多組解}$$
解：
(一)$$u\left( x,y \right) =\nabla P=\left[ \begin{matrix} \frac { \partial }{ \partial x } P \\ \frac { \partial }{ \partial y } P \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { \partial }{ \partial x } \sin { x } \sinh { y } \\ \frac { \partial }{ \partial y } \sin { x } \sinh { y } \end{matrix} \right] =\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} \cos { x } \sinh { y } \\ \sin { x } \cosh { y } \end{matrix} \right] }$$(二)$$v=2i+3j的單位向量為u=\frac { 2 }{ \sqrt { 2^{ 2 }+3^{ 2 } } } i+\frac { 3 }{ \sqrt { 2^{ 2 }+3^{ 2 } } } j=\frac { 2 }{ \sqrt { 13 } } i+\frac { 3 }{ \sqrt { 13 } } j=\cos { \theta } i+\sin { \theta } i\\ D_{ u }P\left( x,y \right) =\left( \cos { x } \sinh { y } \right) \cos { \theta } +\left( \sin { x } \cosh { y } \right) \sin { \theta } =\frac { 2\cos { x } \sinh { y } }{ \sqrt { 13 } } +\frac { 3\sin { x } \cosh { y } }{ \sqrt { 13 } } \\ \Rightarrow D_{ u }P\left( 0,1 \right) =\frac { { e }-{ e }^{ -1 } }{ \sqrt { 13 } } +0=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ \sqrt { 13 } } \left( e-\frac { 1 }{ e } \right) }$$
解：$$X\left( j\omega \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f\left( t \right) { e }^{ -j\omega t }dt } =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { \left( t \right) } { e }^{ -j\omega t }dt } =\left. \left[ \frac { -\cos { \left( t \right) } { e }^{ -j\omega t }-j\omega \sin { \left( t \right) } { e }^{ -j\omega t } }{ 1-{ \omega }^{ 2 } } \right] \right| _{ 0 }^{ \pi }\\ =\bbox[red,2pt]{\frac { { e }^{ -j\omega \pi }+1 }{ 1-{ \omega }^{ 2 } }} $$
解：$$令u\left( x,t \right) =F\left( x \right) G\left( t \right) \Rightarrow \frac { \partial \left( FG \right) }{ \partial t } =9\frac { \partial ^{ 2 }\left( FG \right) }{ \partial x^{ 2 } } \Rightarrow FG'=9F''G\\ \Rightarrow \frac { FG' }{ FG } =\frac { 9F''G }{ FG } \Rightarrow \frac { G' }{ G } =9\frac { F'' }{ F } \\ 由於F與G各有不同的變數,所以\frac { G' }{ G } =9\frac { F'' }{ F } =常數=-k^{ 2 }(假設是負值)\\ \Rightarrow \begin{cases} \frac { G' }{ G } =-k^{ 2 } \\ 9\frac { F'' }{ F } =-k^{ 2 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} G'+k^{ 2 }G=0 \\ F''+\left( \frac { k }{ 3 } \right) ^{ 2 }F=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} G\left( t \right) =C{ e }^{ -k^{ 2 }t } \\ F\left( x \right) =A\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right) } +B\sin { \left( \frac { k }{ 3 } x \right) } \end{cases}\\ \Rightarrow u\left( x,t \right) =F\left( x \right) G\left( t \right) =C{ e }^{ -k^{ 2 }t }\left( A\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right) } +B\sin { \left( \frac { k }{ 3 } x \right) } \right) \\ =C_{ 1 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right) } +C_{ 2 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\sin { \left( \frac { k }{ 3 } x \right) }
\\
\Rightarrow \frac{\partial}{\partial x}u\left( x,t \right) =-C_{ 1 }\frac { k }{ 3 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\sin { \left( \frac { k }{ 3 } x \right) } +C_{ 2 }\frac { k }{ 3 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right) }
\\\frac{\partial}{\partial x}u\left( 0,t \right) =0\Rightarrow C_{ 2 }\frac { k }{ 3 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }=0 \Rightarrow C_2=0\Rightarrow u\left( x,t \right) =C_{ 1 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right) }
\\
u\left( 3\pi,t \right) =0 \Rightarrow C_{ 1 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\cos { \left( k\pi \right) }=0 \Rightarrow k=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\dots=\frac{2n-1}{2},n=1,2,3,...
\\
令 u_n=a_n{ e }^{ -{(2n-1)}^{ 2 }t/4 }\cos {\left(\frac{2n-1}{6}x\right) }\Rightarrow u\left( x,t \right)=\sum_{n=1}^{\infty}{u_n} =\sum_{n=1}^{\infty}{a_n{ e }^{ -{(2n-1)}^{ 2 }t/4 }\cos {\left(\frac{2n-1}{6} x\right) }}
\\ 又u\left( x,0 \right) =x\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cos {\left(\frac{2n-1}{6} x\right) }}=x \Rightarrow a_n=\frac{2}{3\pi}\int_{0}^{3\pi}{x\cos {\left(\frac{2n-1}{6} x\right) }dx}
\\ =\frac{2}{3\pi}\left.\left[\frac{6x}{2n-1}\sin{\left(\frac{2n-1}{6}x\right)}+\frac{36}{(2n-1)^2} \cos{\left(\frac{2n-1}{6}x\right)}\right]\right|_0^{3\pi}
\\=\frac{2}{3\pi}\left(\left(\frac{18\pi}{2n-1}\sin{\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)}+\frac{36}{(2n-1)^2} \cos{\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)}\right)-\left(\frac{36}{(2n-1)^2}\right)\right)
\\=\frac{2}{3\pi}\left(\left(\frac{18\pi}{2n-1}\right)-\left(\frac{36}{(2n-1)^2}\right)\right)=\frac{12}{2n-1}-\frac{24}{(2n-1)^2\pi}
\\ u\left( x,t \right)=\bbox[red,2pt]{\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{12}{2n-1}-\frac{24}{(2n-1)^2\pi}\right){ e }^{ -{(2n-1)}^{ 2 }t/4 }\cos {\left(\frac{2n-1}{6} x\right) }}} $$
沒有留言:
張貼留言