107 年度高中學力鑑定考試-數學科詳解

107 年度自學進修普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試

科目：數學

一、選擇題：（12 題，每題 5 分，共 60 分）

解： $$\left| \begin{matrix} x+2 & 3 \\ 2 & x+1 \end{matrix} \right| =0\Rightarrow \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) -6=0\Rightarrow x^{ 2 }+3x-4=0\Rightarrow \left( x+4 \right) \left( x-1 \right) =0\\ \Rightarrow x=1,-4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\sum _{ k=1 }^{ 5 }{ \left( 2k^{ 2 }-3k+5 \right)  } =2\sum _{ k=1 }^{ 5 }{ k^{ 2 } } -3\sum _{ k=1 }^{ 5 }{ k } +5\sum _{ k=1 }^{ 5 }{ 1 } =2\left( \frac { 5\times 6\times 11 }{ 6 }  \right) -3\left( \frac { 5\times 6 }{ 2 }  \right) +5\times 5\\ =110-45+25=90$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

挑選數字大小變化較大者，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
選項A可被選或不選，有兩種方式；五個選項共有$2\times 2\times 2\times   2\times   2=2^5=32$種填寫式方，由於至少有一個選項是正確，因此32種填答方中需扣除全不選，因此只31種選項，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

不等式區域即為上圖填滿區域，
$y=0$時，$x=2,\cdots,\frac{25}{3}$，共7個格子點、
$y=1$時，$x=1,\cdots,\frac{20}{3}$，共6個格子點、
$y=2$時，$x=0,\cdots,5$，共6個格子點、
$y=3$時，$x=0,\cdots,\frac{10}{3}$，共4個格子點、
$y=4$時，$x=0,\cdots,\frac{5}{3}$，共2個格子點、
$y=5$時，$x=0$，共1個格子點，
因此共有$7+6+6+4+2+1=26$個格子點，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
擲硬幣三次，出現$n$次正面的機率為$C^3_n\frac{1}{8}$，因此期望值為 $$\frac { 1 }{ 8 } \sum _{ n=0 }^{ 3 }{ C^{ 3 }_{ n } } \times \left( 4n-2\left( 3-n \right)  \right) =\frac { 1 }{ 8 } \sum _{ n=0 }^{ 3 }{ C^{ 3 }_{ n } } \times \left( 6n-6 \right) =\frac { 1 }{ 8 } \left( -6+0+18+12 \right) =3$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $${ 101 }^{ 2.012 }=a\Rightarrow \log { { 101 }^{ 2.012 } } =\log { a } \Rightarrow \log { a } =2.012\times \log { 101 } \\ 查表可知\log { 1.01 } =0.0043\Rightarrow \log { 101 } =\log { \left( 1.01\times 100 \right)  } =2+\log { 1.01 } =2.0043\\ \Rightarrow \log { a } =2.012\times \log { 101 } =2.012\times 2.0043\approx 4.032\Rightarrow a={ 10 }^{ 4.032 }={ 10 }^{ 4 }\times { 10 }^{ 0.032 }\\ 查表可知\log { 1.07 } =0.0294,\log { 1.08 } =0.0334\Rightarrow { 10 }^{ 4 }\times 1.07<a<{ 10 }^{ 4 }\times 1.08\\ \Rightarrow 10700<a<10800$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

(A)應為(a, 0, 0)  (B) 應為(a, b, 0) (D) 應為(a,b,-c)，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

最高次項係數的絕對值越大，則開口越小，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\vec { a } \cdot \left( \vec { a } +\vec { b }  \right) =(1,2)\cdot \left( (1,2)+(x,1-x) \right) =(1,2)\cdot \left( 1+x,3-x \right) =1+x+2(3-x)=7-x=0\\ \Rightarrow x=7,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$L_{ 1 }:\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { 2-y }{ 2 } =\frac { z+2 }{ 1 } \equiv \frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y-2 }{ -2 } =\frac { z+2 }{ 1 } \\ \Rightarrow L_{ 1 }的方向向量為(2,-2,1),而L_{ 2 }的方向向量(4,-4,2)\\ \Rightarrow 兩直線平行或重合\\ 又(1,2,-2)在L_{ 1 }上,也在L_{ 2 }上,所以兩直線重合$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$z=\frac { 2a-i }{ 1-2i } =\frac { \left( 2a-i \right) \left( 1+2i \right)  }{ \left( 1-2i \right) \left( 1+2i \right)  } =\frac { 2a+2+\left( 4a-1 \right) i }{ 5 } \Rightarrow 4a-1=0\Rightarrow a=\frac { 1 }{ 4 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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二填充題(10題，每題4分，共40分)

解： $$f\left( x \right) =p\left( x \right) \left( x+1 \right) \left( x-3 \right) +ax+b\Rightarrow \begin{cases} f\left( -1 \right) =6 \\ f\left( 3 \right) =-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -a+b=6 \\ 3a+b=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-2 \\ b=4 \end{cases}$$

答：餘式為$\bbox[red,2pt]{-2x+4}$

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解： $$f\left( 1 \right) =4\Rightarrow 1+a+5-1=4\Rightarrow a=-1$$

答：$\bbox[red,2pt]{-1}$

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解：

該平面經過A、B的中點P，即$P=((1+5)/2, (2+6)/2, (3+7)/2)=(3,4,5)$，且$\overrightarrow{AB} = (4,4,4)$為平面的法向量，因此平面方程式為$4(x-3)+4(y-4)+4(z-5)=0\Rightarrow x+y+z=12$

答：$\bbox[red,2pt]{x+y+z=12}$

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解：

$M為\overline{BC}$的中點且$Q為\overline{AC}$的中點$\Rightarrow P為\triangle ABC的重心$；

由於P為重心，所以$\overline{PQ}=\overline{BQ}/3=\overline{AQ}/3$；因此$\tan{\alpha}= \frac{\overline{PQ}}{\overline{AQ}}=\frac{1}{3}$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac{1}{3}}$

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解： $$1\le x\le 3\Rightarrow \left( x-1 \right) \left( x-3 \right) \le 0\Rightarrow x^{ 2 }-4x+3\le 0\Rightarrow -x^{ 2 }+4x-3\ge 0\\ \Rightarrow \left( a,b \right) =\left( -1,4 \right)$$

答：$\bbox[red,2pt]{\left( -1,4 \right)}$

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解：

由餘弦定理可知: ${\overline{AB}}^2=3^2+5^2-30\cos{120^\circ}=9+25+15=49\Rightarrow \overline{AB}=7$

答：$\bbox[red,2pt]{7}$

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解： $$\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 2n-3 }{ n^{ 2 }+1 }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 2-\frac { 3 }{ n }  }{ n+\frac { 1 }{ n }  }  } =\frac { 2 }{ \infty  } =0$$

答:$\bbox[red,2pt]{0}$

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解： $$a_{10}=a_1r^9=(-8)\times(-\frac{1}{2})^9=8\times\frac{1}{2^9}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$$

答:$\bbox[red,2pt]{\frac{1}{64}}$

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解： $$\sqrt { 19-8\sqrt { 3 }  } =\sqrt { 19-2\sqrt { 48 }  } =\sqrt { { \left( \sqrt { 16 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 3 }  \right)  }^{ 2 }-2\sqrt { 16\times 3 }  } \\ =\sqrt { { \left( \sqrt { 16 } -\sqrt { 3 }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { 16 } -\sqrt { 3 } =4-\sqrt { 3 } =4-1.7XX=2.YYY$$

答：$\bbox[red,2pt]{2}$

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解：
1吃、2葡、2萄、1不、1吐、1皮，八個字排列，共有$\frac{8!}{2!2!}=10080$種排法；

答：$\bbox[red,2pt]{10080}$

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-- END --