105年公務人員特種考試關務人員考試、105年公務人員特種考試身心障礙人員考試及105年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試
考試別:身心障礙人員考試
等 別:三等考試
類科別:電力工程
科 目:工程數學
等 別:三等考試
類科別:電力工程
科 目:工程數學
甲、申論題部份:(50分)
解:
(一)det(A−λI)=0⇒|−5−λ−66−9−8−λ12−12−1216−λ|=0⇒(λ−1)(λ−4)(λ+2)=0λ1=1⇒[−6−66−9−912−12−1215][x1x2x3]=0⇒u1=[1−10]λ2=4⇒[−9−66−9−1212−12−1212][x1x2x3]=0⇒u2=[011]λ3=−2⇒[−3−66−9−612−12−1218][x1x2x3]=0⇒u3=[212]X=[u1,u2,u3]=[102−111012]⇒X−1=[−1−22−2−2311−1]⇒X−1AX=[10004000−2]=D(二)X=[u1,u2,u3]=[102−111012]⇒X−1=[−1−22−2−2311−1]⇒X−1AX=[10004000−2]=DX−1AX=D⇒A=XDX−1⇒A50=XD50X−1=[102−111012][1000450000250][−1−22−2−2311−1]=[10251−14502500450251][−1−22−2−2311−1]=[251−1251−22−2511−2⋅450+2502−2⋅450+250−2+3⋅450−250−2⋅450+251−2⋅450+2513⋅450−251]
解:
(一)∫CF∙dr=∫π0F(r(t))∙r′(t)dt=∫π0(−2sin(t),2cos(t),t2)∙(−2sin(t),2cos(t),1)dt=∫π0(4sin2(t)+4cos2(t)+t2)dt=∫π0(4+t2)dt=[4t+13t3]|π0=4π+13π3(二)F=[−y,x,z2]=[−2sin(t),2cos(t),t2]⇒∫CF(r)dt=∫C√(ddt(−2sin(t)))2+(ddt(2cos(t)))2+(ddt(t2))2dt=∫π0√(−2cos(t))2+(−2sin(t))2+(2t)2dt=∫π0√4cos2(t)+4sin2(t)+4t2dt=2∫π0√1+t2dt=2[12t√1+t2+12ln(√1+t2+t)]|π0=π√1+π2+ln(√1+π2+π)
解:
(一)f(z)=5z+2iz(z+i)=az+bz+i⇒{a+b=5a=2⇒{b=3a=2⇒f(z)=2z+3z+i{2z=2i+(z−i)=2i⋅11+(z−ii)=2i∑∞n=0(−1)n(z−ii)n=2i∑∞n=0(−1i)n(z−i)n3z+i=32i+(z−i)=32i⋅11+(z−i2i)=32i∑∞n=0(−1)n(z−i2i)n=32i∑∞n=0(−12i)n(z−i)n⇒f(z)=2i∞∑n=0(−1i)n(z−i)n+32i∞∑n=0(−12i)n(z−i)n(二){2z=2i+(z−i)=2z−i⋅11+(iz−i)=2z−i∑∞n=0(−1)n(iz−i)n=2∑∞n=0(−i)n(1z−i)n+13z+i=32i+(z−i)=3z−i⋅11+(2iz−i)=3z−i∑∞n=0(−1)n(2iz−i)n=3∑∞n=0(−2i)n(1z−i)n+1⇒f(z)=2∞∑n=0(−i)n(1z−i)n+1+3∞∑n=0(−2i)n(1z−i)n+1
解:F+G2=i,故選(A)
解:|−28−12−10√(−4)2+32|=505=10,故選(A)
解:(x,y,z)=(1,2cost,−sint)⇒(y2)2+z2=1,故選(A)
解:fg=xyz(x+y−z)=x2yz+xy2z−xyz2⇒∇(fg)=(∂∂xfg,∂∂yfg,∂∂zfg,)=(2xyz+y2z−yz2,x2z+2xyz−xz2,x2y+xy2−2xyz)⇒∇⋅∇(fg)=∂∂x(2xyz+y2z−yz2)+∂∂y(x2z+2xyz−xz2)+∂∂z(x2y+xy2−2xyz)=2yz+2xz−2xy=2(yz+xz−xy),故選(A)
解:A為正交矩陣≡AAT=I[1√21√61√3−1√21√61√30−2√61√3][1√21√61√3−1√21√61√30−2√61√3]T=[1√21√61√3−1√21√61√30−2√61√3][1√2−1√201√61√6−2√61√31√31√3]=[12+16+13−12+16+13−26+13−12+16+1312+16+13−26+13−26+13−26+1346+13]=[100010001],故選(C)
解:[103040305][000010000]=[000040000]=[000010000][103040305],故選(C)
解:|−2−λ2−321−λ−6−1−2−λ|=0⇒−λ(λ−1)(λ+2)+12+12+3(λ−1)+4λ+12(λ+2)=0⇒λ3+λ2−21λ−45=0⇒(λ+3)2(λ−5)⇒λ=−3,5,故選(B)
解:
(66−13)+(18−13)=53+5=58,故選(C)
解:limn→∞zn=0不一定收斂,故選(D)
解:∫cezz2+π2dz=∫cez(z+πi)(z−πi)dz=∫cf(z)(z−πi)dz=2πi×f(πi)=2πi×eπi2πi=eπi=cosπ+isinπ=−1,故選(D)
解:ei(π−tan−1(4))=cos(π−tan−1(4))+isin(π−tan−1(4))=−cos(tan−1(4))+isin(tan−1(4))=−1√17+i4√17⇒√17ei(π−tan−1(4))=√17(−1√17+i4√17)=−1+4i,故選(C)
解:y=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯⇒y′=a1+2a2x+3a3x2+⋯⇒{xy′=a1x+2a2x2+3a3x3+⋯y″=2a2+6a3x+12a4x2+⋯⇒y″−xy′+2y=(2a2+2a1)+(6a3−a1+2a1)x+⋯=0⇒2a2+2a1=0,又{y(0)=1y′(0)=1⇒{a0=1a1=1,因此a2=−a1=−1⇒2∑n=0an=a0+a1+a2=1+1−1=1,故選(D)
解:
這是一維的波動偏微方程,故選(D)
解:F(s)=3s−4s2+5s+4=3(s+1)−7(s+4)(s+1)=3s+4−7(s+4)(s+1)=3s+4−73(1s+1−1s+4)=(3+73)1s+4−73⋅1s+1=163⋅1s+4−73⋅1s+1⇒L−1{F(s)}=163e−4t−73e−t,故選(B)
解:B(ω)=2π∫∞0f(x)sin(ωx)dx=2π∫∞0e−3xsin(ωx)dx=2π[−ωω2+9e−3x(3ωsin(ωx)+cos(ωx))]|∞0=2π(0+ωω2+9)=2π⋅ωω2+9⇒f(x)=∫∞0B(ω)sin(ωx)dx=2π∫∞0ωω2+9sin(ωx)dx,故選(D)
解:y=∞∑n=0anxn⇒y′=∞∑n=1nanxn−1⇒{x2y′=∑∞n=1nanxn+1y″=∑∞n=2n(n−1)anxn−2⇒y″+x2y+4y的xn係數為(n+2)(n+1)an+2+(n−1)an−1+4an,故選(D)P.S. 由於y″+x2y+4y=1+x2,該遞迴式應該從n≥3開始才對!
解:f(x)為偶函數≡f(−x)=f(x)(B)f(x)=√2x2+6=f(−x),故選(B)
解:
C:{(x,y):x2+y2≤1}為一圓盤,且半徑為1,面積為π;因此F(r)=r2ππ=r2,故選(C)
解:
全部命中機率為0.74,全部不命中的機率為0.34,因此該射手的機率為1−0.74−0.34=1−240110000−8110000=751810000=375910000,故選(C)
解:∑p(x)=1⇒∞∑x=1K(23)x=1⇒K×231−23=1⇒K×2=1⇒K=12,故選(A)
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