105年鐵路特考--工程數學詳解

105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及107年特種考試交通事業鐵路人員考試

考試別：鐵路人員考試
等        別：高員三級考試
類科別：電力工程、電子工程
科        目：工程數學

甲、申論題部份：(50分)

解：

(一)先求$A$的特徵值 $$\left| \begin{matrix} 1-\lambda  & 2 \\ 2 & 1-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow { \left( \lambda -1 \right)  }^{ 2 }-4=0\Rightarrow \left( \lambda -3 \right) \left( \lambda +1 \right) =0\Rightarrow \lambda_1=-1,\lambda_2=3$$ 再利用Lagrange 內插多項式求解，即 $$\begin{cases} P_{ 1 }=\frac { A-\lambda _{ 2 }I }{ \lambda _{ 1 }-\lambda _{ 2 } } =-\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{matrix} \right]  \\ P_{ 2 }=\frac { A-\lambda _{ 1 }I }{ \lambda _{ 2 }-\lambda _{ 1 } } =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{matrix} \right]  \end{cases}\Rightarrow \sin { A } =\left( \sin { \lambda _{ 1 } }  \right) P_{ 1 }+\left( \sin { \lambda _{ 2 } }  \right) P_{ 2 }\\ =\sin { \left( -1 \right)  } \left[ \begin{matrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{matrix} \right] +\sin { \left( 3 \right)  } \left[ \begin{matrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} \sin { \left( -1 \right)  } +\sin { \left( 3 \right)  }  & -\sin { \left( -1 \right)  } +\sin { \left( 3 \right)  }  \\ -\sin { \left( -1 \right)  } +\sin { \left( 3 \right)  }  & \sin { \left( -1 \right)  } +\sin { \left( 3 \right)  }  \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow A=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} \sin { \left( -1 \right)  } +\sin { \left( 3 \right)  }  & \sin { \left( 1 \right)  } +\sin { \left( 3 \right)  }  \\ \sin { \left( 1 \right)  } +\sin { \left( 3 \right)  }  & \sin { \left( -1 \right)  } +\sin { \left( 3 \right)  }  \end{matrix} \right] }$$

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解： $$梯度\nabla \phi =\left[ \begin{matrix} \frac { \partial  }{ \partial x } \phi  \\ \frac { \partial  }{ \partial y } \phi  \\ \frac { \partial  }{ \partial z } \phi  \end{matrix} \right] =\bbox[red,2pt] {\left[ \begin{matrix} 18yz+e^{ x } \\ 18xz \\ 18xy \end{matrix} \right]} \\ \nabla \phi 的旋度=\left[ \begin{matrix} \frac { \partial  }{ \partial y } \left( 18xy \right) -\frac { \partial  }{ \partial z } \left( 18xz \right)  \\ \frac { \partial  }{ \partial z } \left( 18yz+e^{ x } \right) -\frac { \partial  }{ \partial x } \left( 18xy \right)  \\ \frac { \partial  }{ \partial x } \left( 18xz \right) -\frac { \partial  }{ \partial y } \left( 18yz+e^{ x } \right)  \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 18x-18x \\ 18y-18y \\ 18z-18z \end{matrix} \right] =\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] }$$

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解： $$3y^{ 4 }-1+12xy^{ 3 }y'=0\Rightarrow \left( 12xy^{ 3 } \right) dy=\left( 1-3y^{ 4 } \right) dx\Rightarrow \frac { 1 }{ 1-3y^{ 4 } } dy=\frac { 1 }{ 12xy^{ 3 } } dx\\ \Rightarrow \frac { 12y^{ 3 } }{ 1-3y^{ 4 } } dy=\frac { 1 }{ x } dx\Rightarrow \int { \frac { 12y^{ 3 } }{ 1-3y^{ 4 } } dy } =\int { \frac { 1 }{ x } dx } \Rightarrow -\ln { \left| 1-3y^{ 4 } \right|  } =\ln { \left| x \right|  } +C\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 1-3y^{ 4 } } =Ax\\ y\left( 1 \right) =2\Rightarrow \frac { 1 }{ 1-3\times 2^{ 4 } } =A\Rightarrow A=-\frac { 1 }{ 47 } \Rightarrow \frac { 1 }{ 1-3y^{ 4 } } =-\frac { 1 }{ 47 } x\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{x-3xy^4+47=0}$$

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解：
(一) $$\begin{cases} f\left( x \right) =\int { f\left( x,y \right) dy } =\int _{ x }^{ 1 }{ 2dy } =2-2x,0<x<1 \\ f\left( y \right) =\int { f\left( x,y \right) dx } =\int _{ 0 }^{ y }{ 2dx } =2y,0<y<1 \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( x \right) f\left( y \right) =4y\left( 1-x \right) \neq 2=f\left( x,y \right) \Rightarrow X和Y\bbox[red,2pt]{不是}獨立隨機變數$$ (二) $$f\left( x|y \right) =\frac { f\left( x,y \right)  }{ f\left( y \right)  } =\frac { 2 }{ 2y } =\frac { 1 }{ y } \Rightarrow f\left( x|y=0.75 \right) =\frac { 1 }{ 0.75 } =\frac { 4 }{ 3 } \\ \Rightarrow f\left( 0.25<x<0.5|y=0.75 \right) =\int _{ 0.25 }^{ 0.5 }{ \frac { 4 }{ 3 } dx } =\frac { 4 }{ 3 } \left( 0.5-0.25 \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 3 }}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$C之切線向量為\left( \frac { dx }{ dt } ,\frac { dy }{ dt } ,\frac { dz }{ dt }  \right) =\left( t\cos { t } ,t\sin { t } ,2t \right) =\left( \cos { t } ,\sin { t } ,2 \right) \\ 再單位化成為\frac { 1 }{ \sqrt { \cos ^{ 2 }{ t } +\sin ^{ 2 }{ t } +{ 2 }^{ 2 } }  } \left( \cos { t } ,\sin { t } ,2 \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left( \cos { t } ,\sin { t } ,2 \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\int _{ c }{ F\cdot dr } =\int _{ c }{ \left( F_{ 1 }\left( t \right) \frac { d }{ dt } x\left( t \right) +F_{ 2 }\left( t \right) \frac { d }{ dt } y\left( t \right) +F_{ 3 }\left( t \right) \frac { d }{ dt } z\left( t \right) + \right) dt } \\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 1+t^{ 2 }\left( -2t \right) -t^{ 4 } \right) dt } =1-\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 5 } =\frac { 3 }{ 10 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\left( u\left( t \right) \times v\left( t \right)  \right) '=u\left( t \right) \times v'\left( t \right) +v\left( t \right) \times u'\left( t \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$F=\left( 2xy \right) i+\left( xyz^{ 2 }-\sin { (yz) }  \right) j+\left( ze^{ x+y } \right) k\\ \Rightarrow div\quad F=\frac { \partial  }{ \partial x } \left( 2xy \right) +\frac { \partial  }{ \partial y } \left( xyz^{ 2 }-\sin { (yz) }  \right) +\frac { \partial  }{ \partial z } \left( ze^{ x+y } \right) \\ =\left( 2y \right) +\left( xz^{ 2 }-z\cos { (yz) }  \right) +\left( e^{ x+y } \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$D=X^{ -1 }AX=\begin{bmatrix} 1/5 & 2/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\\ X^{ -1 }AX=D\Rightarrow A=XDX^{ -1 }\Rightarrow A^{ 100 }={ \left( XDX^{ -1 } \right)  }^{ 100 }=XD^{ 100 }X^{ -1 }\\ \Rightarrow det\left( A^{ 100 } \right) =det\left( XD^{ 100 }X^{ -1 } \right) =det\left( D^{ 100 } \right) =5^{ 100 }\times 0=0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

每一橫列的和需小於1，才會越乘越小，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\begin{cases} \left( 2,-1+i,-2i \right) \cdot \left( 1,0,i \right) =2-2i\bar { i } =0 \\ \left( 2,-1+i,-2i \right) \cdot \left( 1,2,1 \right) =2+2\overline { \left( -1+i \right)  } -2\bar { i } =0 \end{cases}\Rightarrow \left( 2,-1+i,-2i \right) \in s^\bot，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$M=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & -2 \end{matrix} \right] \Rightarrow c_{ 41 }=-\left| \begin{matrix} -2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix} \right| =-(12-9)=-3\neq 3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$z=1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } i \right) =\sqrt { 2 } \left( \cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } +i\sin { \frac { \pi  }{ 4 }  }  \right) =\sqrt { 2 } { e }^{ i\left( \frac { \pi  }{ 4 } +2n\pi  \right)  }，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $${ e }^{ z }=1+z+\frac { z^{ 2 } }{ 2! } +\frac { z^{ 3 } }{ 3! } +\frac { z^{ 4 } }{ 4! } +\cdots \Rightarrow { e }^{ -z }=1-z+\frac { z^{ 2 } }{ 2! } -\frac { z^{ 3 } }{ 3! } +\frac { z^{ 4 } }{ 4! } -\cdots \\ \Rightarrow \cosh { z } =\frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ z }+{ e }^{ -z } \right) =1+\frac { z^{ 2 } }{ 2! } +\frac { z^{ 4 } }{ 4! } +\frac { z^{ 6 } }{ 6! } +\cdots \\ \Rightarrow 1-\cosh { z } =-\frac { z^{ 2 } }{ 2! } -\frac { z^{ 4 } }{ 4! } -\frac { z^{ 6 } }{ 6! } -\cdots \\ \Rightarrow \frac { 1-\cosh { z }  }{ { z }^{ 3 } } =-\frac { 1 }{ 2! } \cdot \frac { 1 }{ z } -\frac { z }{ 4! } -\frac { z^{ 3 } }{ 6! } -\cdots \\ \Rightarrow M=1,B=-\frac { 1 }{ 2! } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$y=x^{ m }\Rightarrow x^{ 2 }y''+11xy'+50y=0\Rightarrow m(m-1)+11m+50=0\Rightarrow m^{ 2 }+10m+50=0\\ \Rightarrow m=\frac { -10\pm 10i }{ 2 } =-5\pm 5i\Rightarrow \alpha =-5,\beta =5\Rightarrow \alpha +\beta =0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$y=a_{ 0 }+a_{ 1 }x+a_{ 2 }x^{ 2 }+a_{ 3 }x^{ 3 }+\cdots \Rightarrow y'=a_{ 1 }+2a_{ 2 }x+3a_{ 3 }x^{ 2 }+4a_{ 4 }x^{ 3 }+\cdots \\ \Rightarrow xy'=a_{ 1 }x+2a_{ 2 }x^{ 2 }+3a_{ 3 }x^{ 3 }+4a_{ 4 }x^{ 4 }+\cdots \\ \Rightarrow (1+x)y'=a_{ 1 }+(a_{ 1 }+2a_{ 2 })x+(2a_{ 2 }+3a_{ 3 })x^{ 2 }+(3a_{ 3 }+4a_{ 4 })x^{ 3 }+\cdots \\ 又(1+x)y'=2y=2a_{ 0 }+2a_{ 1 }x+2a_{ 2 }x^{ 2 }+2a_{ 3 }x^{ 3 }+\cdots \\ \Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=2a_{ 0 } \\ a_{ 1 }+2a_{ 2 }=2a_{ 1 } \\ 2a_{ 2 }+3a_{ 3 }=2a_{ 2 } \\ \cdots  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=2a_{ 0 } \\ a_{ 2 }=a_{ 1 }/2=a_{ 0 } \\ a_{ 3 }=a_{ 4 }=\cdots =0 \end{cases}\Rightarrow y=a_{ 0 }+2a_{ 0 }x+a_{ 0 }x^{ 2 }=a_{ 0 }\left( 1+2x+x^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=2 \\ c=1 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} x^{ 2 }y''+axy'+by=0\Rightarrow m\left( m-1 \right) +am+b=0\Rightarrow m^{ 2 }+(a-1)m+b=0 \\ y=c_{ 1 }\frac { 1 }{ \sqrt { x }  } +c_{ 2 }x^{ 2 }\Rightarrow m=-\frac { 1 }{ 2 } ,2\Rightarrow \left( m+\frac { 1 }{ 2 }  \right) \left( m-2 \right) =0\Rightarrow m^{ 2 }-\frac { 3 }{ 2 } m-1=0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a-1=-\frac { 3 }{ 2 }  \\ b=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-\frac { 1 }{ 2 }  \\ b=-1 \end{cases}\Rightarrow a+b=-\frac { 3 }{ 2 } =-1.5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$u\left( t \right) \ast u\left( t \right) =tu\left( t \right) \Rightarrow u\left( t \right) \ast 2u\left( t \right) =2tu\left( t \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =\frac { 9{ e }^{ -2s } }{ s^{ 2 }+4s+13 } ={ e }^{ -2s }\frac { 3\times 3 }{ { \left( s+2 \right)  }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \\ 由u\left( t-2 \right) g\left( t-2 \right) ={ e }^{ -2s }G\left( s \right) \Rightarrow G\left( s \right) =\frac { 3\times 3 }{ { \left( s+2 \right)  }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \Rightarrow g\left( t \right) =3{ e }^{ -2t }\sin { \left( 3t \right)  } \\ \Rightarrow f\left( t \right) =u\left( t-2 \right) g\left( t-2 \right) =u\left( t-2 \right) 3{ e }^{ -2\left( t-2 \right)  }\sin { \left( 3\left( t-2 \right)  \right)  } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\frac { 1 }{ 1-z } =1+z+z^{ 2 }+\cdots \Rightarrow \frac { 1 }{ { \left( 1-z \right)  }^{ 2 } } =1+2z+3z^{ 2 }+\cdots \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ { \left( 1-z \right)  }^{ 3 } } =2+6z+12z^{ 2 }+\cdots +n\left( n-1 \right) { z }^{ n-2 }+\cdots =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) { z }^{ n } } \\ \Rightarrow f\left( z \right) =\frac { 1 }{ { \left( 1-z \right)  }^{ 3 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) { z }^{ n } } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} 指數分佈 \\ 平均值為10 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f\left( x;\lambda  \right) =\lambda { e }^{ -\lambda x } \\ \frac { 1 }{ \lambda  } =10 \end{cases}\Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 10 } { e }^{ -x/10 }\\ \Rightarrow \frac { f\left( 15 \right)  }{ f\left( 10 \right)  } =\frac { \frac { 1 }{ 10 } { e }^{ -15/10 } }{ \frac { 1 }{ 10 } { e }^{ -1 } } ={ e }^{ -15/10+1 }={ e }^{ -1/2 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$P\left( X=1|Y\le 2 \right) =\frac { P\left( X=1且Y\le 2 \right)  }{ P\left( Y\le 2 \right)  } \\ =\frac { P_{ X,Y }\left( 1,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 1,2 \right)  }{ P_{ X,Y }\left( 1,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 2,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 3,1 \right) +P_{ X,Y }\left( 1,2 \right) +P_{ X,Y }\left( 2,2 \right) +P_{ X,Y }\left( 3,2 \right)  } \\ =\frac { c\left( \frac { 1 }{ 1 } +\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }{ c\left( \frac { 1 }{ 1 } +\frac { 2 }{ 1 } +\frac { 3 }{ 1 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 }  \right)  } =\frac { \frac { 3 }{ 2 }  }{ 9 } =\frac { 1 }{ 6 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
可以被3整除的共有$1000/3=333$個，可以被5整除的共有$1000/5=200$個，可以被3也可以被5整除的共有$1000/15=66$個。因此機率為$\frac{333+200-66}{1000}=\frac{467}{1000}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：由於X是連續隨機變數，任一點的機率皆為0，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考