107年國安情報人員三等考試_電子組(選試英文)--工程數學詳解

107年國家安全局國家安全情報人員考試

考試別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類 科：電子組
科 目：工程數學

解： $$det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} 2-\lambda  & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda  & 0 \\ 1 & 0 & 1-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow { \left( \lambda -1 \right)  }^{ 2 }\left( 2-\lambda  \right) +\left( \lambda -1 \right) =0\\\Rightarrow \left( \lambda -1 \right) \left( \lambda ^{ 2 }-3\lambda +1 \right) =0 \Rightarrow 特徵值\lambda =1,\frac { 3\pm \sqrt { 5 }  }{ 2 } \\ \lambda =1\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }+x_{ 3 }=0 \\ x_{ 1 }=0 \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \\ \lambda =\frac { 3+\sqrt { 5 }  }{ 2 } \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  & 0 & 1 \\ 0 & \frac { -1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  & 0 \\ 1 & 0 & \frac { -1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} 2x_{ 1 }=\left( 1+\sqrt { 5 }  \right) x_{ 3 } \\ x_{ 2 }=0 \end{cases}\\ \Rightarrow 取u_{ 2 }=\left[ \begin{matrix}  1+\sqrt { 5 }   \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] \\ \lambda =\frac { 3-\sqrt { 5 }  }{ 2 } \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  & 0 & 1 \\ 0 & \frac { -1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  & 0 \\ 1 & 0 & \frac { -1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} \left( 1-\sqrt { 5 }  \right) x_{ 3 }=2x_{ 1 } \\ x_{ 2 }=0 \end{cases}\\ \Rightarrow 取u_{ 3 }=\left[ \begin{matrix} 1-\sqrt{5} \\ 0 \\ { 2 }  \end{matrix} \right] \\ 答：特徵值\bbox[red,2pt]{\lambda =1,\frac { 3\pm \sqrt { 5 }  }{ 2 }} ,相對應的特徵向量分別為\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] ,\left[ \begin{matrix}  1+\sqrt { 5 }    \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] 及\left[ \begin{matrix} 1 -\sqrt{5}\\ 0 \\ { 2 }  \end{matrix} \right] }$$

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解：
(一) $$\left| \begin{matrix} 7-\lambda  & -6 & -12 \\ -4 & 5-\lambda  & 8 \\ 6 & -6 & -11-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow { \left( \lambda -1 \right)  }^{ 2 }\left( \lambda +1 \right) =0\Rightarrow \lambda =\pm 1\\ \lambda =1\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 6 & -6 & -12 \\ -4 & 4 & 8 \\ 6 & -6 & -12 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow x_{ 1 }-x_{ 2 }-2x_{ 3 }=0\Rightarrow u_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] ,u_{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ \lambda =-1\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 8 & -6 & -12 \\ -4 & 6 & 8 \\ 6 & -6 & -10 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }=x_{ 3 } \\ 2x_{ 1 }+3x_{ 2 }=0 \end{cases}\Rightarrow u_{ 3 }=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2/3 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ P=\left[ u_{ 1 },u_{ 2 },u_{ 3 } \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2/3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \Rightarrow P^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & -3 & -5 \\ -3 & 3 & 6 \end{matrix} \right] \Rightarrow P^{ -1 }AP=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow A=P\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] P^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2/3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & -3 & -5 \\ -3 & 3 & 6 \end{matrix} \right] =Q^{ -1 }DQ\\ 答:\bbox[red,2pt]{Q=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & -3 & -5 \\ -3 & 3 & 6 \end{matrix} \right] ,D=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] }$$ (二) $$A=Q^{ -1 }DQ\Rightarrow A^{ n }=Q^{ -1 }D^{ n }Q\Rightarrow A^{ 25 }+3A^{ 100 }=Q^{ -1 }D^{ 25 }Q+3\left( Q^{ -1 }D^{ 100 }Q \right) \\ =\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2/3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & -3 & -5 \\ -3 & 3 & 6 \end{matrix} \right] +3\left( \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2/3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & -3 & -5 \\ -3 & 3 & 6 \end{matrix} \right]  \right) \\ =A+3\left( \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2/3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & -3 & -5 \\ -3 & 3 & 6 \end{matrix} \right]  \right) =A+3I=\left[ \begin{matrix} 7 & -6 & -12 \\ -4 & 5 & 8 \\ 6 & -6 & -11 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 10 & -6 & -12 \\ -4 & 8 & 8 \\ 6 & -6 & -8 \end{matrix} \right] \\ 答:A^{ 25 }+3A^{ 100 }=\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 10 & -6 & -12 \\ -4 & 8 & 8 \\ 6 & -6 & -8 \end{matrix} \right] }$$

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解： $$\begin{cases}x'(t)+y'(t)-x(t)=0 \\ x'(t)+2 y'(t)=\sin{2t} \end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases} L\{x'(t)\}+ L\{ y'(t)\}- L\{x(t)\}=0 \\ L\{x'(t) \}+L\{2y'(t) \}=L\{\sin{2t}\} \end{cases}  \\\Rightarrow \begin{cases} sL\{x(t)\}-x(0)+ sL\{y(t)\}-y(0) - L\{x(t)\}=0 \\ sL\{x(t) \}-x(0)+2sL\{y(t) \}={2\over s^2+4} \end{cases} \\\Rightarrow \begin{cases} (s-1)L\{x(t)\}+ sL\{y(t)\} =0\cdots(1) \\ sL\{x(t) \}+2sL\{y(t) \}={2\over s^2+4} \cdots(2) \end{cases}  \\\Rightarrow (s-1)\times(2)-s\times(1) \Rightarrow (2s^2-2s-s^2)L\{y(t)\}={2(s-1)\over s^2+4}\\ \Rightarrow L\{y(t)\}= {2(s-1)\over s(s-2)(s^2+4)} ={1\over 4}\cdot{1\over s}+ {1\over 8}\cdot {1\over s-2}-{3\over 8}{s\over s^2+4} -{1\over 8}{2\over s^2+4} \\\Rightarrow y(t)= {1\over 4} + {1\over 8}e^{2t}-{3\over 8}\cos{2t}-{1\over 8}\sin{2t} \Rightarrow y'(t)={1\over 4}e^{2t}+{3\over 4}\sin{2t}-{1\over 4}\cos{2t}\\將y' 代回\;x'(t)+2 y'(t)=\sin{2t} \Rightarrow x'(t)=\sin{2t}-2\left( {1\over 4}e^{2t}+{3\over 4}\sin{2t}-{1\over 4}\cos{2t}\right)\\=  -{1\over 2}e^{2t}-{1\over 2}\sin{2t}+{1\over 2}\cos{2t} \Rightarrow x(t)=  -{1\over 4}e^{2t}+{1\over 4}\cos{2t}+{1\over 4}\sin{2t}+C\\由x(0)=0 \Rightarrow 0=-{1\over 4}+{1\over 4}+C \Rightarrow C=0\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\begin{cases} x(t)=  -{1\over 4}e^{2t}+{1\over 4}\cos{2t}+{1\over 4}\sin{2t}\\  y(t)= {1\over 4} + {1\over 8}e^{2t}-{3\over 8}\cos{2t}-{1\over 8}\sin{2t}\end{cases}}$$

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解： $$E\left[ X\mid X>5 \right] =\int _{ 5 }^{ \infty  }{ \lambda x{ e }^{ -\lambda x }dx } =\left. \left[ -x{ e }^{ -\lambda x }-\frac { 1 }{ \lambda  } { e }^{ -\lambda x } \right]  \right| _{ 5 }^{ \infty  }=0-\left( -5e^{-5\lambda}-\frac { 1 }{ \lambda} e^{-5\lambda } \right) \\=\bbox[red,2pt]{(5+\frac { 1 }{ \lambda  })e^{-5\lambda}}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$\left| \begin{matrix} 4-\lambda  & 0 & 1 \\ -2 & 1-\lambda  & 0 \\ -2 & 0 & 1-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow { \left( \lambda -1 \right)  }^{ 2 }\left( 4-\lambda  \right) +2\left( 1-\lambda  \right) =0\Rightarrow \left( \lambda -1 \right) \left( \lambda -2 \right) \left( \lambda -3 \right) =0\\ \Rightarrow \lambda =1,2,3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\left( A \right) \begin{cases} a=1 \\ b=c=0 \end{cases}\Rightarrow \left( a+c,b-a,c-b,b+a \right) =\left( 1,-1,0,1 \right) \\ \left( B \right) \begin{cases} a=c=0 \\ b=1 \end{cases}\Rightarrow \left( a+c,b-a,c-b,b+a \right) =\left( 0,1,-1,1 \right) \\ \left( C \right) \begin{cases} a=b=0 \\ c=1 \end{cases}\Rightarrow \left( a+c,b-a,c-b,b+a \right) =\left( 1,0,1,0 \right) \\ \left( D \right) \left( a+c,b-a,c-b,b+a \right) =\left( 0,1,0,1 \right) \Rightarrow \begin{cases} a=-c\cdots \left( 1 \right)  \\ b-a=1\cdots \left( 2 \right)  \\ b=c\cdots \left( 3 \right)  \\ a+b=1\cdots \left( 4 \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow 由(2)及(4)可知\begin{cases} a=0 \\ b=1 \end{cases}再代入(1)可得c=0,代入(3)可得c=1,兩者矛盾\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ -3 & 6 & 27 \\ 7 & 0 & -5 \end{matrix} \right| =0且\ \left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ -3 & 6 & 27 \\ 7 & 0 & -5 \end{matrix} \right] \xrightarrow []{  r_{ 1 }+r_{ 2 },(-7/3)r_{ 1 }+r_{ 3 }  } \left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 7 & 29 \\ 0 & -7/3 & -29/3 \end{matrix} \right] \xrightarrow [  ]{ (-3)r_{ 3 } } \left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 7 & 29 \\ 0 & 7 & 29 \end{matrix} \right] \\\Rightarrow 無窮多組解 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$Z軸為零，其餘不變，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$det(A)=4\Rightarrow AX=0\Rightarrow X=0為唯一解\Rightarrow 零空間之維度不是1 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$L\left\{ \cos { t }  \right\} =\frac { s }{ s^{ 2 }+1 } \Rightarrow L\left\{ { e }^{ -t }\cos { t }  \right\} =\frac { s+1 }{ \left( s+1 \right) ^{ 2 }+1 } =\frac { s+1 }{ s^{ 2 }+2s+2 } \\ \Rightarrow L\left\{ { te }^{ -t }\cos { t }  \right\} =-\frac { d }{ ds } \left( \frac { s+1 }{ s^{ 2 }+2s+2 }  \right) =\frac { -1 }{ s^{ 2 }+2s+2 } +\frac { \left( s+1 \right) \left( 2s+2 \right)  }{ { \left( s^{ 2 }+2s+2 \right)  }^{ 2 } } \\ =\frac { -s^{ 2 }-2s-2+2s^{ 2 }+4s+2 }{ { \left( s^{ 2 }+2s+2 \right)  }^{ 2 } } =\frac { s^{ 2 }+2s }{ { \left( s^{ 2 }+2s+2 \right)  }^{ 2 } } =\frac { as^{ 2 }+bs+c }{ { \left( s^{ 2 }+2s+2 \right)  }^{ 2 } }\\ \Rightarrow a+b+c=1+2+0=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( z \right) ={ \left( 1+3i \right)  }^{ 2 }+3\left( 1+3i \right) =1+6i-9+3+9i=-5+15i\\ \Rightarrow 實部-5,虛部15，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
(A)與(B)顯然不可微； $$\left( D \right) f\left( z \right) =x^{ 3 }+2xy^{ 2 }+i\left( y^{ 3 }+2x^{ 2 }y \right) \equiv u\left( x,y \right) +iv\left( x,y \right) \Rightarrow \begin{cases} u\left( x,y \right) =x^{ 3 }+2xy^{ 2 } \\ v\left( x,y \right) =y^{ 3 }+2x^{ 2 }y \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { \partial  }{ \partial x } u\left( x,y \right) =3x^{ 2 }+2y^{ 2 }\neq \frac { \partial  }{ \partial y } v\left( x,y \right) =3y^{ 2 }+2x^{ 2 }\Rightarrow f\left( z \right) 不可微$$
，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$z=0\Rightarrow z-5=-5\Rightarrow |z-5|=5>3，超出收斂半徑，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\lambda ^{ 2 }-2\lambda +1=0\Rightarrow (\lambda -1)^{ 2 }=0\Rightarrow \lambda =1\Rightarrow y_{ h }=(C_{ 1 }+C_{ 2 }x)e^{ x }\\ y_{ p }=Ax^{ 2 }e^{ x }\Rightarrow y'_{ p }=2Axe^{ x }+Ax^{ 2 }e^{ x }\Rightarrow y''_{ p }=2Ae^{ x }+4Axe^{ x }+Ax^{ 2 }e^{ x }\\ \Rightarrow y''_{ p }-2y'_{ p }+y_{ p }=\left( 2Ae^{ x }+4Axe^{ x }+Ax^{ 2 }e^{ x } \right) -2\left( 2Axe^{ x }+Ax^{ 2 }e^{ x } \right) +Ax^{ 2 }e^{ x }=-12e^{ x }\\ \Rightarrow 2Ae^{ x }=-12e^{ x }\Rightarrow A=-6\Rightarrow y_{ p }=-6x^{ 2 }e^{ x }\Rightarrow y=y_{ h }+y_{ p }=(C_{ 1 }+C_{ 2 }x)e^{ x }-6x^{ 2 }e^{ x }, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$此為單一迴路二階電路，符合L\frac { d^{ 2 }i }{ dt } +R\frac { di }{ dt } +\frac { i }{ C } =\frac { dv }{ dt } \\ 依本題符號表示，即為LI''+RI'+\frac { I }{ C } =E'(t)\equiv I''+\frac { R }{ L } I'+\frac { I }{ LC } =\frac { I }{ L } E_{ 0 }\omega \cos { \omega t } \\ \Rightarrow a=\frac { R }{ L } ,b=\frac { I }{ LC } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\lambda ^{ 2 }+a\lambda +b=0\Rightarrow \lambda =\frac { -a\pm \sqrt { a^{ 2 }-4b }  }{ 2 } \Rightarrow y={ e }^{ \alpha x }\left( A\cos { \left( \beta x \right)  } +B\sin { \left( \beta x \right)  }  \right) ,當a^{ 2 }-4b<0\\ y=A\cos { \left( 2\pi x \right)  } +B\sin { \left( 2\pi x \right)  } \Rightarrow \begin{cases} \alpha =0=-\frac { a }{ 2 }  \\ \beta =2\pi =\pm \frac { \sqrt { a^{ 2 }-4b }  }{ 2 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=4\pi ^{ 2 }(a^{ 2 }-4b<0\Rightarrow b=-4\pi ^{ 2 }不合) \end{cases}\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$z=1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } +i\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  \right) =\sqrt { 2 } \left( \cos { \left( \frac { \pi  }{ 4 } +2n\pi  \right) \frac { \pi  }{ 4 }  } +i\sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } +2n\pi  \right)  }  \right) =\sqrt { 2 } { e }^{ i\left( \frac { \pi  }{ 4 } +2n\pi  \right)  }\\ \Rightarrow \ln { \left( z \right)  } =\ln { \left( \sqrt { 2 } { e }^{ \left( \frac { \pi  }{ 4 } +2n\pi  \right)  } \right)  } =\ln { \sqrt { 2 }  } +\ln { { e }^{ \left( \frac { \pi  }{ 4 } +2n\pi  \right)  } } =\ln { \sqrt { 2 }  } +i\left( \frac { \pi  }{ 4 } +2n\pi  \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 3-\lambda  & 1 & 1 \\ 2 & 4-\lambda  & 2 \\ -1 & -1 & 1-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow { \left( \lambda -2 \right)  }^{ 2 }\left( \lambda -4 \right) =0\Rightarrow \lambda =2,4\\D的對角線元素即為特徵值\lambda，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\cosh { \left( at \right) \cos { \left( at \right)  }  } =\frac { e^{ at }+e^{ -at } }{ 2 } \cos { \left( at \right)  } =\frac { 1 }{ 2 } e^{ at }\cos { \left( at \right)  } +\frac { 1 }{ 2 } e^{ -at }\cos { \left( at \right)  } \\ \Rightarrow L^{ -1 }\left\{ \cosh { \left( at \right) \cos { \left( at \right)  }  }  \right\} =\frac { 1 }{ 2 } L^{ -1 }\left\{ e^{ at }\cos { \left( at \right)  }  \right\} +\frac { 1 }{ 2 } L^{ -1 }\left\{ e^{ -at }\cos { \left( at \right)  }  \right\} \\ =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { s-a }{ { \left( s-a \right)  }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { s+a }{ { \left( s+a \right)  }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \left( \frac { \left( s-a \right) \left( { \left( s+a \right)  }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) +\left( s+a \right) \left( { \left( s-a \right)  }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right)  }{ \left( { \left( s-a \right)  }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) \left( { \left( s+a \right)  }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right)  }  \right) \\ =\frac { s^{ 3 } }{ \left( s^{ 2 }+2a^{ 2 }+2as \right) \left( s^{ 2 }+2a^{ 2 }-2as \right)  } =\frac { s^{ 3 } }{ { \left( s^{ 2 }+2a^{ 2 } \right)  }^{ 2 }-{ \left( 2as \right)  }^{ 2 } } =\frac { s^{ 3 } }{ s^{ 4 }+4a^{ 4 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$a_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }dx } =\frac { 1 }{ 2 } \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right]  \right| _{ -1 }^{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 3 }  \right) =\frac { 1 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
第1章可以分給6個老師中的一位、第2章分給5個老師中的一位、...、第4章可以分給3個老師中的一位，因此共有$6\times 5\times 4\times 3=360$種分配方式，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\begin{cases} f_{ X,Y }\left( -1,0 \right) =f_{ X,Y }\left( 0,0 \right) =0.1 \\ f_{ X,Y }\left( 0,2 \right) =f_{ X,Y }\left( 1,3 \right) =0.1 \\ f_{ X,Y }\left( 1,-2 \right) =0.4 \\ f_{ X,Y }\left( 1,1 \right) =0.2 \end{cases}\\\Rightarrow E\left[ XY \right] =\sum { xyf_{ X,Y }\left( x,y \right)  } =0.1\left( 0+0+0+3 \right) +0.4\times \left( -2 \right) +0.2\times 1\\ =0.3-0.8+0.2=-0.3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} E\left[ X \right] =1 \\ Var\left[ X \right] =2 \end{cases}\Rightarrow E\left[ X^{ 2 } \right] -{ \left( E\left[ X \right]  \right)  }^{ 2 }=2\Rightarrow E\left[ X^{ 2 } \right] =2+{ \left( E\left[ X \right]  \right)  }^{ 2 }=3\\ \Rightarrow E\left[ (1+X)^{ 2 } \right] =E\left[ 1+2X+X^{ 2 } \right] =E\left[ 1 \right] +2E\left[ X \right] +E\left[ X^{ 2 } \right] =1+2+3=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考