107年法務部調查局調查人員考試試題
考試別:調查人員
等 別:三等考試
類科組 :電子科學組
科 目:工程數學
等 別:三等考試
類科組 :電子科學組
科 目:工程數學
y=xm⇒y′=mxm−1⇒y″=m(m−1)xm−2⇒x2y″+xy′−4y=m(m−1)xm+mxm−4xm=0⇒m(m−1)+m−4=0⇒m2−4=0⇒m=±2⇒yh=C1x−2+C2x2x2y″+xy′−4y=4x2⇒y″+y′x−4yx2=4=r(x)令{y1=x−2y2=x2⇒W=|y1y2y′1y′2|=|x−2x2−2x−32x|=2x−1+2x−1=4x−1⇒yp=−y1∫y2r(x)Wdx+y2∫y1r(x)Wdx=−x−2∫4x24x−1dx+x2∫4x−24x−1dx=−x−2∫x3dx+x2∫x−1dx=−14x2+x2lnxy=yh+yp=C1x−2+C2x2−14x2+x2lnx=Ax−2+Bx2+x2lnx⇒y′=−2Ax−3+(2B+1)x+2xlnx{y(1)=0y′(1)=5⇒{A+B=0−2A+2B+1=5⇒{A=−1B=1⇒y=−x−2+x2+x2lnx
解:f(x)=coshx=ex+e−x2⇒f(x)=f(−x)⇒f(x)為偶函數⇒bn=0,n≥1a0=12π∫π−πf(x)dx=12π∫π−πex+e−x2dx=14π[ex−e−x]|π−π=14π((eπ−e−π)−(e−π−eπ))=14π(2eπ−2e−π)=12π(eπ−e−π)an=1π∫π−πf(x)cos(nx)dx=12π∫π−π(ex+e−x)cos(nx)dx=12π[nsin(nx)n2+1(ex+e−x)+cos(nx)n2+1(ex−e−x)]|π−π=12π×cos(nπ)n2+1((eπ−e−π)−(e−π−eπ))=12π×cos(nπ)n2+1×2(eπ−e−π)=(−1)n(n2+1)π(eπ−e−π)⇒f(x)=a0+∞∑n=1ancos(nx)=12π(eπ−e−π)+eπ−e−ππ∞∑n=1(−1)n(n2+1)cos(nx)
解:
(一)A=[−101−5]⇒det(A−λI)=0⇒|−1−λ01−5−λ|=0⇒(λ+1)(λ+5)=0⇒特徵值λ1=−1,λ2=−5λ1=−1⇒[−1+101−5+1][x1x2]=0⇒[001−4][x1x2]=0⇒x1=4x2,取u1=[41]λ2=−5⇒[−1+501−5+5][x1x2]=0⇒[4010][x1x2]=0⇒x1=0,取u2=[01]答:特徵值為−1及−5,相對應的特徵向量為[41]及[01](二)P=[u1u2]=[4011]⇒P−1=[1/40−1/41]⇒P−1AP=[λ100λ2]=[−100−5]⇒答:P=[4011](三)P−1AP=[−100−5]⇒A=P[−100−5]P−1⇒A18=P[−100−5]18P−1=P[(−1)1800(−5)18]P−1=[4011][100518][1/40−1/41]=[401518][1/40−1/41]=[10(1−518)/4518]答:A18=[10(1−518)/4518]
解:
(一)|z|=13⇒z=0為單極點⇒∮cf(z)dz=2πi×Resz=0f(z)=2πi×lim(二)\left| z \right| =3\Rightarrow z=0,1為單極點\Rightarrow \oint _{ c }{ f\left( z \right) dz } =2\pi i\times \left( Res_{ z=0 }f\left( z \right) +Res_{ z=1 }f\left( z \right) \right) \\ =2\pi i\times \left( \lim _{ z\to 0 }{ \frac { 2 }{ z-1 } } +\lim _{ z\to 1 }{ \frac { 2 }{ z } } \right) =2\pi i\times \left( -2+2 \right) =\bbox[red,2pt]{0}
解:
(一)\int _{ w\ge 2 }^{ }{ f_{ W }\left( w \right) dw } =\int _{ 2 }^{ 3 }{ \left( 3-w \right) dw } =\left. \left[ 3w-\frac { 1 }{ 2 } w^{ 2 } \right] \right| _{ 2 }^{ 3 }=\left( 9-\frac { 9 }{ 2 } \right) -\left( 6-2 \right) \\ =\frac { 9 }{ 2 } -4=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }} (二)E\left( W \right) =\int { wf_{ W }\left( w \right) dw } =\int _{ 1 }^{ 2 }{ w\left( w-1 \right) dw } +\int _{ 2 }^{ 3 }{ w\left( 3-w \right) dw } \\ =\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left( w^{ 2 }-w \right) dw } +\int _{ 2 }^{ 3 }{ \left( 3w-w^{ 2 } \right) dw } =\left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } w^{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } w^{ 2 } \right] \right| _{ 1 }^{ 2 }+\left. \left[ \frac { 3 }{ 2 } w^{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } w^{ 3 } \right] \right| _{ 2 }^{ 3 }\\ =\left( \frac { 8 }{ 3 } -2 \right) -\left( \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) +\left( \frac { 27 }{ 2 } -9 \right) -\left( 6-\frac { 8 }{ 3 } \right) =\frac { 2 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 6 } +\frac { 9 }{ 2 } -\frac { 10 }{ 3 } \\ =\frac { 12 }{ 6 } =\bbox[red,2pt]{2}分鐘
請教一下,第二題系數a0的第四個等號筆誤?括號內少打了+ 2 exp(-π)?
回覆刪除謝謝提醒,已修訂
刪除不客氣,感謝您的解題~
回覆刪除(三)之二小題的P錯了。
回覆刪除謝謝提醒,已修訂
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