106年國安情報人員考試_電子組(選試英文)--工程數學詳解

106年公務人員特種考試、司法人員、法務部調查局調查人員、國家安全局國家安全情報人
員、海岸巡防人員及移民行政人員考試

考試別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類 科：電子組(選試英文)
科 目：工程數學

甲、申論題部份：(50分)

解：
(一) $$det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} -10-\lambda  & -1 & 1 \\ 1 & 1-\lambda  & -1 \\ 1 & -1 & 1-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow { \left( \lambda -1 \right)  }^{ 2 }\left( -10-\lambda  \right) -1+1-\left( 1-\lambda  \right) +\left( 1-\lambda  \right) -\left( -10-\lambda  \right) =0\\ \Rightarrow { \left( \lambda -1 \right)  }^{ 2 }\left( -10-\lambda  \right) -\left( -10-\lambda  \right) =0\Rightarrow \left( -10-\lambda  \right) \left( { \left( \lambda -1 \right)  }^{ 2 }-1 \right) =0\Rightarrow \lambda \left( \lambda -2 \right) \left( \lambda +10 \right) =0\\ \Rightarrow 特徵值\bbox[red,2pt]{\lambda =0,2,-10}$$ (二) $$\lambda_1 =0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -10 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} -10x_{ 1 }-x_{ 2 }+x_{ 3 }=0 \\ x_{ 1 }+x_{ 2 }-x_{ 3 }=0 \\ x_{ 1 }-x_{ 2 }+x_{ 3 }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }=0 \\ x_{ 2 }=x_{ 3 } \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ \lambda_2 =2\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -12 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} -12x_{ 1 }-x_{ 2 }+x_{ 3 }=0 \\ x_{ 1 }-x_{ 2 }-x_{ 3 }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x_{ 2 }=-11x_{ 1 } \\ 2x_{ 3 }=13x_{ 1 } \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 2 \\ -11 \\ 13 \end{matrix} \right] \\ \lambda_3 =-10\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 11 & -1 \\ 1 & -1 & 11 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} -x_{ 2 }+x_{ 3 }=0 \\ x_{ 1 }+11x_{ 2 }-x_{ 3 }=0 \\ x_{ 1 }-x_{ 2 }+11x_{ 3 }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_{ 2 }=x_{ 3 } \\ x_{ 1 }=-10x_{ 2 } \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 3 }=\left[ \begin{matrix} 10 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow 特徵向量為\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] ,\left[ \begin{matrix} 2 \\ -11 \\ 13 \end{matrix} \right] 及\left[ \begin{matrix} 10 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right]}$$ (三) $$\left[ \begin{matrix} x_{ 1 }\left( t \right)  \\ x_{ 2 }\left( t \right)  \\ x_{ 3 }\left( t \right)  \end{matrix} \right] =C_{ 1 }u_{ 1 }e^{ \lambda _{ 1 }t }+C_{ 2 }u_{ 2 }e^{ \lambda _{ 2 }t }+C_{ 3 }u_{ 3 }e^{ \lambda _{ 3 }t }\\ \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x_{ 1 }\left( t \right)  \\ x_{ 2 }\left( t \right)  \\ x_{ 3 }\left( t \right)  \end{matrix} \right] =\bbox[red,2pt]{C_{ 1 }\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] +C_{ 2 }\left[ \begin{matrix} 2 \\ -11 \\ 13 \end{matrix} \right] e^{ 2t }+C_{ 3 }\left[ \begin{matrix} 10 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right] e^{ -10t }},其中C_{ 1 },C_{ 2 }及C_{ 3 }皆為常數$$

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解：
$$\begin{cases} u=\left( x_{ 1 },y_{ 1 },z_{ 1 } \right)  \\ v=\left( x_{ 2 },y_{ 2 },z_{ 2 } \right)  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} T\left( u \right) =\left( x_{ 1 }+y_{ 1 },x_{ 1 }-y_{ 1 },z_{ 1 } \right)  \\ T\left( v \right) =\left( x_{ 2 }+y_{ 2 },x_{ 2 }-y_{ 2 },z_{ 2 } \right)  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} T\left( u+v \right) =\left( x_{ 1 }+x_{ 2 },y_{ 1 }+y_{ 2 },z_{ 1 }+z_{ 2 } \right)  \\ T\left( au \right) =\left( ax_{ 1 },ay_{ 1 },az_{ 1 } \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} T\left( u+v \right) =\left( x_{ 1 }+x_{ 2 }+y_{ 1 }+y_{ 2 },x_{ 1 }+x_{ 2 }-y_{ 1 }-y_{ 2 },z_{ 1 }+z_{ 2 } \right) =\left( x_{ 1 }+y_{ 1 },x_{ 1 }-y_{ 1 },z_{ 1 } \right) +\left( x_{ 2 }+y_{ 2 },x_{ 2 }-y_{ 2 },z_{ 2 } \right)  \\ T\left( au \right) =\left( ax_{ 1 }+ay_{ 1 },ax_{ 1 }-ay_{ 1 },az_{ 1 } \right) =a\left( x_{ 1 }+y_{ 1 },x_{ 1 }-y_{ 1 },z_{ 1 } \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} T\left( u+v \right) =T\left( u \right) +T\left( v \right)  \\ T\left( au \right) =aT\left( u \right)  \end{cases}\Rightarrow T為線性轉換,故得證.$$

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解： $$f\left( z \right) =u\left( x,y \right) +iv\left( x,y \right) 可解析\Rightarrow \begin{cases} \frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { \partial v }{ \partial y } =-6xy \\ \frac { \partial u }{ \partial y } =-\frac { \partial v }{ \partial x } =3y^{ 2 }-3x^{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} v\left( x,y \right) =\int { -6xydy } +g\left( x \right) =-3xy^{ 2 }+g\left( x \right)  \\ v\left( x,y \right) =-\int { \left( 3y^{ 2 }-3x^{ 2 } \right) dx } +h\left( y \right) =-3xy^{ 2 }+x^{ 3 }+h\left( y \right)  \end{cases}\Rightarrow v\left( x,y \right) =x^{ 3 }-3xy^{ 2 }+C\\ \Rightarrow f\left( z \right) =u\left( x,y \right) +iv\left( x,y \right) =\left( y^{ 3 }-3x^{ 2 }y \right) +i\left( x^{ 3 }-3xy^{ 2 }+C \right) \\ 又f\left( 0 \right) =0\Rightarrow C=0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{f\left( z \right) =\left( y^{ 3 }-3x^{ 2 }y \right) +i\left( x^{ 3 }-3xy^{ 2 } \right) }$$

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解：
該方程式符合柯西-尤拉方程式
(一)先求$y_h$ $$y={ x }^{ m }\Rightarrow y'=mx^{ m-1 }\Rightarrow y''=m(m-1)x^{ m-2 }代入原式可得\\ m(m-1)x^{ m-2 }-4mx^{ m-2 }+4x^{ m-2 }=0\Rightarrow m^{ 2 }-5m+4=0\Rightarrow (m-4)(m-1)=0\\ \Rightarrow m=4,1\Rightarrow \begin{cases} y_{ 1 }=x \\ y_{ 2 }=x^{ 4 } \end{cases}y_{ h }=C_{ 1 }y_1+C_{ 2 }y_2=C_1x+C_2x^4$$ (二)再求$y_p$ $$W= \begin{vmatrix} y_{ 1 } & y_{ 2 } \\ y'_{ 1 } & y'_{ 2 } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & x^{ 4 } \\ 1 & 4x^{ 3 } \end{vmatrix}=3x^{ 4 }\\ \Rightarrow { y }_{ p }=-y_{ 1 }\int { \frac { y_{ 2 }r\left( x \right)  }{ W } dx } +y_{ 2 }\int { \frac { y_{ 1 }r\left( x \right)  }{ W } dx } =-x\int { \frac { x^{ 4 }\left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }{ 3x^{ 4 } } dx } +x^{ 4 }\int { \frac { x\left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }{ 3x^{ 4 } } dx } \\ =-\frac { x }{ 3 } \int { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) dx } +\frac { x^{ 4 } }{ 3 } \int { \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x^{ 3 } } dx } =-\frac { x }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }+x \right) +\frac { x^{ 4 } }{ 3 } \left( \ln { x } -\frac { 1 }{ 2x^{ 2 } }  \right) \\ =-\frac { 1 }{ 9 } x^{ 4 }-\frac { 1 }{ 3 } x^{ 2 }+\frac { x^{ 4 } }{ 3 } \ln { x } -\frac { 1 }{ 6 } x^{ 2 }=\left( \frac { 1 }{ 3 } \ln { x } -\frac { 1 }{ 9 }  \right) x^{ 4 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }$$ 因此 $$y=y_{ h }+y_{ p }=\bbox[red,2pt]{C_{ 1 }x+C_{ 2 }x^{ 4 }+\left( \frac { 1 }{ 3 } \ln { x } -\frac { 1 }{ 9 }  \right) x^{ 4 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$\left| \frac { -7\cdot 7+4\cdot \left( -4 \right) -4\cdot \left( -5 \right) -19 }{ \sqrt { (-7)^{ 2 }+4^{ 2 }+(-4)^{ 2 } }  }  \right| =\left| \frac { -64 }{ \sqrt { 81 }  }  \right| =\frac { 64 }{ 9 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$u\times v=-v\times u\ne v\times u ，故選\bbox[red,2pt]{(B}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 0 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \end{matrix} \right| =0-12+6-2+8-0=0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} trace\left( A \right) =1 \\ \left| A \right| =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b+1=1 \\ ab+1-1=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b=0 \\ ab=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=0 \end{cases}\Rightarrow A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \\ det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} 1-\lambda  & 0 & 1 \\ 1 & -\lambda  & 1 \\ 0 & 1 & -\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow \lambda ^{ 2 }\left( 1-\lambda  \right) +1-\left( 1-\lambda  \right) =0 \Rightarrow \lambda \left( \lambda ^{ 2 }-\lambda -1 \right) =0\\ \Rightarrow \lambda =0,\frac { 1\pm \sqrt { 5 }  }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：A需為非奇異矩陣(non-singular)，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} \sqrt { 3 } /2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt { 3 } /2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos { \frac { \pi  }{ 6 }  }  & -\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  }  \\ \sin { \frac { \pi  }{ 6 }  }  & \cos { \frac { \pi  }{ 6 }  }  \end{matrix} \right] \Rightarrow A為旋轉矩陣，角度為\frac { \pi  }{ 6 } \\ \Rightarrow A^{ 27 }代表旋轉{ \left( \frac { \pi  }{ 6 }  \right)  }\times 27=\frac { 9\pi  }{ 2 } =4\pi +\frac { \pi  }{ 2 } ,即旋轉90度\\ \Rightarrow A^{ 27 }x=\left[ \begin{matrix} \cos { \frac { \pi  }{ 2 }  }  & -\sin { \frac { \pi  }{ 2 }  }  \\ \sin { \frac { \pi  }{ 2 }  }  & \cos { \frac { \pi  }{ 2 }  }  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \sqrt { 3 }  \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \sqrt { 3 }  \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ \sqrt { 3 }  \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$W=\sqrt [ 4 ]{ 5+5i } \Rightarrow W^{ 4 }=5+5i=\sqrt { 50 } \left( \frac { 5 }{ \sqrt { 50 }  } +\frac { 5 }{ \sqrt { 50 }  } i \right) =\sqrt { 50 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } i \right) \\ =\sqrt { 50 } { e }^{ i\left( \pi /4 \right)  }\Rightarrow W=\sqrt [ 8 ]{ 50 } { e }^{ i\left( \pi /16+n\pi /2 \right)  },n=0,1,2,3. ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$z=e^{ i\theta  }\Rightarrow \cos { \theta  } =\left( z+1/z \right) /2\Rightarrow dz=ie^{ i\theta  }d\theta =izd\theta \\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \frac { d\theta  }{ 4-\cos { \theta  }  }  } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \frac { d\theta  }{ 4-\cos { \theta  }  }  } =\frac { 1 }{ 2 } \oint _{ \left| z \right| =1 }{ \frac { 1 }{ 4-\left( z+1/z \right) /2 } \cdot \frac { dz }{ iz }  } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \oint _{ \left| z \right| =1 }{ \frac { 2z }{ -z^{ 2 }+8z-1 } \cdot \frac { dz }{ iz }  } =-\frac { 1 }{ i } \oint _{ \left| z \right| =1 }{ \frac { dz }{ z^{ 2 }-8z+1 }  } \\ =-\frac { 1 }{ i } \oint _{ \left| z \right| =1 }{ \frac { dz }{ \left( z-\left( 4+\sqrt { 15 }  \right)  \right) \left( z-\left( 4-\sqrt { 15 }  \right)  \right)  }  } \\ =\left( -\frac { 1 }{ i }  \right) \cdot 2\pi i\cdot Res\left( f\left( 4-\sqrt { 15 }  \right)  \right) =\left( -2\pi  \right) \cdot \lim _{ z\to 4-\sqrt { 15 }  }{ \frac { z-\left( 4-\sqrt { 15 }  \right)  }{ \left( z-\left( 4+\sqrt { 15 }  \right)  \right) \left( z-\left( 4-\sqrt { 15 }  \right)  \right)  }  } \\ =\left( -2\pi  \right) \cdot \frac { 1 }{ -2\sqrt { 15 }  } =\frac { \pi  }{ \sqrt { 15 }  } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( z \right) =\frac { 1 }{ z+z^{ 2 } } \Rightarrow Res\left( f\left( 0 \right)  \right) =\lim _{ z\to 0 }{ \frac { z }{ z+z^{ 2 } }  } =\lim _{ z\to 0 }{ \frac { 1 }{ 1+z }  } =1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：次方數需與階數相同，只有(C)不符，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$X\left( s \right) =\frac { 3 }{ \left( s^{ 2 }+4 \right) \left( s^{ 2 }+9 \right)  } =\frac { 3 }{ 5 } \left( \frac { 1 }{ s^{ 2 }+4 } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }+9 }  \right) =\frac { 3 }{ 5 } \left( \frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { 2 }{ s^{ 2 }+2^{ 2 } } -\frac { 1 }{ 3 } \cdot \frac { 3 }{ s^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } }  \right) \\ \Rightarrow L^{ -1 }\left\{ X\left( s \right)  \right\} =\frac { 3 }{ 10 } L^{ -1 }\left\{ \frac { 2 }{ s^{ 2 }+2^{ 2 } }  \right\} -\frac { 1 }{ 5 } L^{ -1 }\left\{ \frac { 3 }{ s^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } }  \right\} =\frac { 3 }{ 10 } \sin { 2t } -\frac { 1 }{ 5 } \sin { 3t } \\ \Rightarrow x\left( t \right) =\frac { 3 }{ 10 } \sin { 2t } -\frac { 1 }{ 5 } \sin { 3t } \Rightarrow x'\left( t \right) =\frac { 3 }{ 5 } \cos { 2t } -\frac { 3 }{ 5 } \cos { 3t } \Rightarrow \begin{cases} x\left( 0 \right) =0 \\ x'\left( 0 \right) =0 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$y=x^{ m }\Rightarrow y'=mx^{ m-1 }\Rightarrow y''=m(m-1)x^{ m-2 }\Rightarrow x^{ 2 }y''+5xy'+4y=m(m-1)x^{ m }+5mx^{ m }+4x^{ m }=0\\ \Rightarrow m(m-1)+5m+4=0\Rightarrow m^{ 2 }+4m+4=0\Rightarrow (m+2)^{ 2 }=0\Rightarrow m=-2(二重根)\\ \Rightarrow y=(C_{ 1 }+C_{ 2 }\ln { x } )x^{ -2 }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\bbox[red,2pt]{本題送分}$$

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解： $$y=a_{ 0 }x^{ r }+a_{ 1 }x^{ r+1 }+a_{ 2 }x^{ r+2 }+a_{ 3 }x^{ r+3 }+\cdots \\ \Rightarrow y'=ra_{ 0 }x^{ r-1 }+\left( r+1 \right) a_{ 1 }x^{ r }+\left( r+2 \right) a_{ 2 }x^{ r+1 }+\left( r+3 \right) a_{ 3 }x^{ r+2 }+\cdots \\ \Rightarrow y''=r\left( r-1 \right) a_{ 0 }x^{ r-2 }+\left( r+1 \right) ra_{ 1 }x^{ r-1 }+\left( r+2 \right) \left( r+1 \right) a_{ 2 }x^{ r }+\left( r+3 \right) \left( r+2 \right) a_{ 3 }x^{ r+1 }+\cdots \\ \Rightarrow x^{ 2 }y''+x^{ 2 }y'-2y=r\left( r-1 \right) a_{ 0 }x^{ r }+\left( r+1 \right) ra_{ 1 }x^{ r+1 }+\left( r+2 \right) \left( r+1 \right) a_{ 2 }x^{ r+2 }+\cdots \\ +ra_{ 0 }x^{ r+1 }+\left( r+1 \right) a_{ 1 }x^{ r+2 }+\left( r+2 \right) a_{ 2 }x^{ r+3 }+\cdots -2a_{ 0 }x^{ r }-2a_{ 1 }x^{ r+1 }-2a_{ 2 }x^{ r+2 }+\cdots \\ =\left( r^{ 2 }-r-2 \right) a_{ 0 }x^{ r }+\cdots \Rightarrow \text{Indicial equation: } r^2-r-2=0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$y\left( x \right) =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { x^{ n }+{ \left( 2x \right)  }^{ n } }{ n! }  } =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ n }+1 }{ n! } x^{ n } } \Rightarrow \begin{cases} y'\left( x \right) =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ n }+1 }{ \left( n-1 \right) ! } x^{ n-1 } }  \\ y''\left( x \right) =\sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ n }+1 }{ \left( n-2 \right) ! } x^{ n-2 } }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y\left( 0 \right) =2 \\ y'\left( 0 \right) =3 \end{cases}\\ y''+ay'+by=\left( 2+3a+5b \right) +\left( 3+5a+9b \right) x+\cdots =0\Rightarrow \begin{cases} 3a+5b=-2 \\ 5a+9b=-3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-3/2 \\ b=1/2 \end{cases}\\ \Rightarrow a+b+y_{ 0 }+y'_{ 0 }=-3/2+1/2+2+3=4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$c_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( t \right) { e }^{ -int }dt } =\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ t{ e }^{ -int }dt } =\frac { 1 }{ 2\pi  } \left. \left[ -\frac { t }{ in } { e }^{ -int }+\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } { e }^{ -int } \right]  \right| _{ -\pi  }^{ \pi  }\\ =\frac { 1 }{ 2\pi  } \left( \left( -\frac { \pi  }{ in } { e }^{ -in\pi  }+\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } { e }^{ -in\pi  } \right) -\left( \frac { \pi  }{ in } { e }^{ in\pi  }+\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } { e }^{ in\pi  } \right)  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2\pi  } \left( \left( -\frac { \pi  }{ in } \cos { n\pi  } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \cos { n\pi  }  \right) -\left( \frac { \pi  }{ in } \cos { n\pi  } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \cos { n\pi  }  \right)  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2\pi  } \times \left( -\frac { 2\pi  }{ in } \cos { n\pi  }  \right) =-\frac { 1 }{ in } { \left( -1 \right)  }^{ n }=\frac { i }{ n } { \left( -1 \right)  }^{ n }\\ \Rightarrow f\left( x \right) =\sum _{ -\infty  }^{ \infty  }{ c_{ n }{ e }^{ in\pi  } } =\sum _{ -\infty  }^{ \infty  }{ \frac { i }{ n } { \left( -1 \right)  }^{ n }{ e }^{ in\pi  } } ，\\故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：振幅變為原來的三分之一，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$C_{ 5 }^{ 10 }C_{ 2 }^{ 5 }C_{ 3 }^{ 3 }=\frac { 10! }{ 5!5! } \times \frac { 5! }{ 2!3! } \times 1=2520，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$E\left[ XY \right] =\int _{ 0 }^{ 2 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ xyf\left( x,y \right)  } dxdy } =\int _{ 0 }^{ 2 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 3 }{ 4 } x^{ 3 }y^{ 2 }+\frac { 1 }{ 4 } xy^{ 2 } } dxdy } =\int _{ 0 }^{ 2 }{ \left. \left[ \frac { 3 }{ 16 } x^{ 4 }y^{ 2 }+\frac { 1 }{ 8 } x^{ 2 }y^{ 2 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }dy } \\ =\int _{ 0 }^{ 2 }{ \frac { 3 }{ 16 } y^{ 2 }+\frac { 1 }{ 8 } y^{ 2 }dy } =\left. \left[ \frac { 1 }{ 16 } y^{ 3 }+\frac { 1 }{ 24 } y^{ 3 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 2 }=\frac { 8 }{ 16 } +\frac { 8 }{ 24 } =\frac { 5 }{ 6 }  ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f_{ X }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 32\pi  }  } { e }^{ -\frac { { \left( x+3 \right)  }^{ 2 } }{ 32 }  }=\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi  }  } { e }^{ -\frac { { \left( x-u \right)  }^{ 2 } }{ 2{ \sigma  }^{ 2 } }  }\Rightarrow \begin{cases} u=-3 \\ \sigma =4 \end{cases}\\ \Rightarrow EX=u=-3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考