104年專科學力鑑定考試--工程數學詳解

104年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試

專業科目(一)：工程數學 詳解

解： $$\frac { dy }{ dx } =e^{ x }+y\Rightarrow y'-y=e^{ x }\Rightarrow \begin{cases} y_{ h }=ce^{ x } \\ y_{ p }=dxe^{ x } \end{cases}\\ y'_{ p }-y_p=de^{ x }+dxe^{ x }-dxe^{ x }=e^{ x }\Rightarrow d=1\Rightarrow y_{ p }=xe^{ x }\\ y=y_{ h }+y_{ p }=ce^{ x }+xe^{ x }，故選：\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$y_{ p }=\frac { 3 }{ 4 } xe^{ 2x }\Rightarrow y'_{ p }=\frac { 3 }{ 4 } e^{ 2x }+\frac { 3 }{ 2 } xe^{ 2x }\Rightarrow y''_{ p }=\frac { 3 }{ 2 } e^{ 2x }+\frac { 3 }{ 2 } e^{ 2x }+3xe^{ 2x }=3e^{ 2x }+3xe^{ 2x }\\ \Rightarrow y''_{ p }-4y_{ p }=3e^{ 2x }+3xe^{ 2x }-4\times \frac { 3 }{ 4 } xe^{ 2x }=3e^{ 2x }\left( 符合要求 \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$L^{ -1 }\left\{ \frac { 2s+1 }{ s^{ 2 }+4s+4 }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { 2s+1 }{ { \left( s+2 \right)  }^{ 2 } }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { 2\left( s+2 \right)  }{ { \left( s+2 \right)  }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \left( s+2 \right)  }^{ 2 } }  \right\} \\ =L^{ -1 }\left\{ \frac { 2 }{ s+2 } -\frac { 3 }{ { \left( s+2 \right)  }^{ 2 } }  \right\} =2L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s+2 }  \right\} -3L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ { \left( s+2 \right)  }^{ 2 } }  \right\} \\ =2e^{ -2t }-3te^{ -2t }=e^{ -2t }\left( 2-3t \right) ， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y''+y=\cos { t } \Rightarrow L\left\{ y''+y \right\} =L\left\{ \cos { t }  \right\} \Rightarrow L\left\{ y'' \right\} +L\left\{ y \right\} =\frac { s }{ s^{ 2 }+1 } \\ \Rightarrow s^{ 2 }L\left\{ y \right\} -sy\left( 0 \right) -y'\left( 0 \right) +L\left\{ y \right\} =\frac { s }{ s^{ 2 }+1 } \Rightarrow \left( s^{ 2 }+1 \right) L\left\{ y \right\} -s\cdot 0-1=\frac { s }{ s^{ 2 }+1 } \\ \Rightarrow \left( s^{ 2 }+1 \right) L\left\{ y \right\} =\frac { s }{ s^{ 2 }+1 } +1\Rightarrow L\left\{ y \right\} =\frac { s }{ (s^{ 2 }+1)^{ 2 } } +\frac { 1 }{ s^{ 2 }+1 } =\frac { s^{ 2 }+s+1 }{ (s^{ 2 }+1)^{ 2 } } ， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right) dx-xydy=0\Rightarrow \begin{cases} M\left( x,y \right) =x^{ 2 }+y^{ 2 } \\ N\left( x,y \right) =-xy \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { d }{ dy } \left( x^{ -3 }M\left( x,y \right)  \right) =\frac { d }{ dy } \left( x^{ -1 }+x^{ -3 }y^{ 2 } \right) =\frac { 2y }{ x^{ 3 } }  \\ \frac { d }{ dx } \left( x^{ -3 }N\left( x,y \right)  \right) =\frac { d }{ dx } \left( -x^{ -2 }y \right) =\frac { 2y }{ x^{ 3 } }  \end{cases}\\ 上式兩者相等\Rightarrow x^{ -3 }為積分因子， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right] \Rightarrow \begin{cases} 2x_{ 1 }+x_{ 2 }+x_{ 3 }=0\cdots \left( 1 \right)  \\ 4x_{ 1 }+3x_{ 2 }+2x_{ 3 }=2\cdots \left( 2 \right)  \\ 2x_{ 1 }-x_{ 2 }-3x_{ 3 }=0\cdots \left( 3 \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow (1)\times 2-(2)\Rightarrow -x_2=-2\Rightarrow x_2=2， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow A^{ 2 }=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}\Rightarrow A^{ 3 }=A^{ 2 }A=\begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 39 & 11 \\ 22 & 6 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow A^{ 3 }-3A^{ 2 }+2A=\begin{bmatrix} 39 & 11 \\ 22 & 6 \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 39 & 11 \\ 22 & 6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -33 & -9 \\ -18 & -6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 12 & 4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\left( \vec { a } \times \vec { b }  \right) \cdot \vec { c } =\left( 2,-3,1 \right) \times \left( 1,1-1 \right) \cdot \left( 1,0,2 \right) =\left( 2,3,5 \right) \cdot \left( 1,0,2 \right) =2+10=12，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec { c } \cdot \vec { a } =0 \\ \vec { c } \cdot \vec { b } =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( 1,\alpha ,\beta  \right) \cdot \left( 2,1,-1 \right) =0 \\ \left( 1,\alpha ,\beta  \right) \cdot \left( 1,-2,3 \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \alpha -\beta =-2 \\ -2\alpha +3\beta =-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \alpha=-7 \\\beta=-5  \end{cases}\Rightarrow \alpha+\beta=-12，\\故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

由於$\sin{x}$為奇函數，且週期為$2\pi$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$e^{ 2x+5y }y'=\frac { x^{ 2 } }{ y^{ 5 } } \Rightarrow e^{ 2x+5y }\frac { dy }{ dx } =\frac { x^{ 2 } }{ y^{ 5 } } \Rightarrow e^{ 2x+5y }dy=\frac { x^{ 2 } }{ y^{ 5 } } dx\Rightarrow y^{ 5 }e^{ 5y }dy=\frac { x^{ 2 } }{ e^{ 2x } } dx，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

二階齊次線性常微分方程式的形式為$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$y''=4\left( y'-y \right) \Rightarrow y''-4y''+4y=0\Rightarrow 特徵方程式為\lambda^2-4\lambda+4=0\Rightarrow (\lambda-2)^2=0\Rightarrow \lambda=2\\\Rightarrow y_h=(A+Bx)e^{2x}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
該方程式符合柯西-歐拉形式，因此 $$m\left( m-1 \right) -4m+6=0\Rightarrow m^{ 2 }-5m+6=0\Rightarrow (m-3)(m-2)=0\Rightarrow m=2,3\\ \Rightarrow y=c_{ 1 }e^{ 2\ln { x }  }+c_{ 2 }e^{ 3\ln { x }  }=c_1x^2+c_2x^3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$L\left\{ t^{ n }e^{ at } \right\} =\frac { n! }{ { \left( s-a \right)  }^{ n+1 } } \Rightarrow L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =L\left\{ t^{ 104 }e^{ 2015t } \right\} =\frac { 104! }{ { \left( s-2015 \right)  }^{ 105 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =L\left\{ \int _{ 0 }^{ t }{ e^{ 2015\tau  }{ \left( t-\tau  \right)  }^{ 104 } } d\tau  \right\} =L\left\{ e^{ 2015t }\ast t^{ 104 } \right\} =L\left\{ e^{ 2015t } \right\} \times L\left\{ t^{ 104 } \right\}\\ =\frac { 1 }{ s-2015 } \times \frac { 104! }{ { s }^{ 105 } }  ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} 奇函數:\sin { x }  \\ 偶函數:\cos { x }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 奇函數:\sin { x } ,\sin { x } \cdot \cos { y }  \\ 偶函數:\cos { x } ,\sin { x } \cdot \sin { y } ,\cos { x } \cdot \cos { y } , \end{cases}\\ 因此\left( 104\sin { 2015x } +2015\cos { 104x }  \right) \left( 2015\sin { 104x } +104\cos { 2015x }  \right) 的結果扣除奇函數,\\ 剩下偶函數104\times 2015\sin { 2015x } \sin { 104x } +104\times 2015\cos { 104x } \cos { 2015x } \\ =104\times 2015\left( \sin { 2015x } \sin { 104x } +\cos { 104x } \cos { 2015x }  \right) =104\times 2015\cos { \left( 2015x-104x \right)  } \\ =104\times 2015\cos { \left( 1911x \right)  } \Rightarrow \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( x \right) g\left( x \right) dx } =104\times 2015\int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \cos { \left( 1911x \right)  } dx } \\ =104\times 2015\left. \left[ \frac { 1 }{ 1911 } \sin { \left( 1911x \right)  }  \right]  \right| _{ -\pi  }^{ \pi  }=0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( x \right) 為奇函數\Rightarrow \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( x \right) dx } =0\\ a_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( x \right) dx } =\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \left( x^{ 2015 }\cos { x } +104 \right) dx } =\frac { 104 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ 1dx } =104\\ a_{ 3 }=\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( x \right) \cos { 3x } dx } =\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \left( x^{ 2015 }\cos { x } +104 \right) \cos { 3x } dx } =\frac { 104 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \cos { 3x } dx } =0\\ a_{ 5 }=\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( x \right) \cos { 5x } dx } =\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \left( x^{ 2015 }\cos { x } +104 \right) \cos { 5x } dx } =\frac { 104 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \cos { 5x } dx } =0\\ \Rightarrow a_{ 0 }+a_{ 3 }+a_{ 5 }=104，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\vec { a } \cdot \vec { b } =|\vec { a } ||\vec { b } |\cos { 60° } =\left| \left( 3,4,12 \right)  \right| \left| \left( b_{ 1 },b_{ 2 },12 \right)  \right| \times \frac { 1 }{ 2 } \\ =\sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 }+12^{ 2 } } \times \sqrt { b_{ 1 }^{ 2 }+b_{ 2 }^{ 2 }+12^{ 2 } } \times \frac { 1 }{ 2 } =13\times 15\times \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 195 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} { \left( AB \right)  }^{ T }=B^{ T }A^{ T } \\ { \left( A^{ -1 } \right)  }^{ T }={ \left( A^{ T } \right)  }^{ -1 } \end{cases}\Rightarrow { \left( 2A^{ T } \right)  }^{ -1 }={ \left( 2IA^{ T } \right)  }^{ -1 }={ \left( A^{ T } \right)  }^{ -1 }{ \left( 2I \right)  }^{ -1 }={ \left( A^{ -1 } \right)  }^{ T }\frac { 1 }{ 2 } I=\frac { 1 }{ 2 } I{ \left( A^{ -1 } \right)  }^{ T }\\=0.5{ \left( A^{ -1 } \right)  }^{ T }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解題僅供參考