107年公務人員高等考試三級考試
類 科 :氣象
科 目:應用數學(微積分、微分方程與向量分析)
科 目:應用數學(微積分、微分方程與向量分析)
(一)[12−31121−14][x1x2x3]=[−111](二){x1+2x2−3x3=−1x1+x2+2x3=1x1−x2+4x3=1⇒[12−31121−14][x1x2x3]=[−111]≡AX=bdet(A−λI)=0⇒|1−λ2−311−λ21−14−λ|=0⇒(λ−2)3=0⇒特徵值λ=2[1−λ2−311−λ21−14−λ][x1x2x3]=0⇒[−12−31−121−12][x1x2x3]=0{−x1+2x2−3x3=0x1−x2+2x3=0⇒{x2−x3=0x1+x2=0⇒取特徵向量[x1x2x3]=[1−1−1](三)A=[12−31121−14]⇒det(A)=4+3+4+3−8+2=8A−1=1det(A)[|12−14|−|1214||111−1|−|2−3−14||1−314|−|121−1||2−312|−|1−312||1211|]T=18[6−2−2−5737−5−1]T=18[6−57−27−5−23−1]=[3/4−5/87/8−1/47/8−5/8−1/43/8−1/8]由AX=b⇒A−1AX=A−1b⇒X=A−1b=[3/4−5/87/8−1/47/8−5/8−1/43/8−1/8][−111]=[−1/21/21/2]即{x1=−1/2x2=x3=1/2
解:
∫21∫logx0(x−1)√1+e2ydydx=∫log20∫2ey(x−1)√1+e2ydxdy=∫log20√1+e2y[12x2−x]|2eydy=∫log20√1+e2y(ey−12e2y)dy=∫log20ey√1+e2ydy−12∫log20e2y√1+e2ydy=[12(e2y⋅√1+1e2y+log(√e2y+1+ey))]|log20−12[13(1+e2y)3/2]|log20=12((2√5+log(√5+2))−(√2+log(√2+1)))−16(53/2−23/2)=16(√5−√2)+12log√5+2√2+1≈0.418
解:
(一)y=∞∑n=0anxn⇒y′=∞∑n=1nanxn−1⇒y″=∞∑n=2n(n−1)anxn−2∞∑n=2n(n−1)anxn−2−∞∑n=12nanxn+∞∑n=02anxn=0(2a0+2a2)+6a3x+(12a4−2a2)x2+⋯+((n+2)(n+1)an+2−2(n−1)an)xn+⋯=0y(0)=a0=−13⇒a2=13a3=0an+2=2(n−1)(n+2)(n+1)an⇒an=2(n−3)n(n−1)an−2a7=2⋅47⋅6a5,a5=2⋅25⋅4a3,∵a3=0⇒a2r+1=0 for r≥1a8=2⋅58⋅7a6,a6=2⋅36⋅5a4,a4=2⋅14⋅3a2,a2=13⇒a2r=(13)2r(2r)!r−1∏k=1(2k−1),r≥2y=−13+13x2+13∞∑r=2(2r(2r)!r−1∏k=1(2k−1))x2r(二)3(1+x)y′−2yy′+3y=1−2x⇒(3+3x−2y)y′=1−2x−3y令u=3x−2y⇒y=12(3x−u)⇒y′=32−12u′代回原式可得(3+u)(32−12u′)=1−2x−32(3x−u)⇒(−12u−32)u′=−72−132x⇒∫(−12u−32)du=∫(−72−132x)dx⇒−14u2−32u=−72x−134x2+C⇒−14(3x−2y)2−32(3x−2y)=−72x−134x2+C⇒x2+3xy−y2−x+3y=C由y(0)=0可知C=0,因此其解為x2+3xy−y2−x+3y=0
解:
y″+y′=e−xsinx⇒L{y″}+L{y′}=L{e−xsinx}⇒s2L{y}−sy(0)−y′(0)+sL{y}−y(0)=1(s+1)2+1⇒(s2+s)L{y}−1=1(s+1)2+1⇒L{y}=1((s+1)2+1)(s2+s)+1s2+s=s2+2s+2((s+1)2+1)(s2+s)=32⋅1s−2s+1−12⋅1(s+1)2+1+12⋅s+1(s+1)2+1y=L−1{32⋅1s−2s+1−12⋅1(s+1)2+1+12⋅s+1(s+1)2+1}=32L−1{1s}−2L−1{1s+1}−12L−1{1(s+1)2+1}+12L−1{s+1(s+1)2+1}=32−2e−x−12e−xsinx+12e−xcosx⇒其解為y=32−2e−x−12e−xsinx+12e−xcosx
解:
(一){P(x,y)=4x2yQ(x,y)=2y⇒∮C4x2ydx+2ydy=∬R(∂∂xQ(x,y)−∂∂yP(x,y))dA=∬R(−4x2)dA=∫20∫y/20(−4x2)dxdy=∫20[−43x3]|y/20dy=∫20−16y3dy=[−124y4]|20=−23(二)(1)F=(1+x)ex+yi+(xex+y−2z)j−2yk⇒∇×F=|ijk∂x∂y∂z(1+x)ex+yxex+y−2z−2y|=−2i+(ex+y+xex+y)k+0j−(1+x)ex+yk−0j+2i=0⇒守恆性成立(2)f為F的電位能函數,即F=∇f⇒{∂f∂x=(1+x)ex+y∂f∂y=xex+y−2z∂f∂z=−2y∂f∂z=−2y⇒f(x,y,z)=∫−2ydz+g(x,y)=−2yz+g(x,y)⇒∂f∂y=−2z+gy=xex+y−2z⇒gy=xex+y⇒g(x,y)=∫xex+ydy+h(x)=xex+y+h(x)⇒f(x,y,z)=−2yz+xex+y+h(x)⇒∂f∂x=ex+y+xex+y+h′(x)=(1+x)ex+y⇒h′(x)=0⇒h(x)=C⇒f(x,y,z)=−2yz+xex+y+C,C為常數
考選部未公布答案,解題僅供參考
第二題當轉換dydx至dxdy時,是否dx的下底為10^y?因為log的底數為10。
回覆刪除由於該題有e^{2y},因此我把log看成自然對數,否則結果會變得很複雜;至於log代表底數是10,還是自然數e,題目本身應該交代清楚。
刪除謝謝指教,也非常謝謝您的部落格有詳細的推算過程,獲益良多!
刪除第二題
回覆刪除答案第一式根號內抄題是否有誤?
對, 一開始題目就抄錯了, 已修訂, 謝謝!
刪除第三題的第二小題
回覆刪除最後展開好像有誤
應為
x^+3xy-y^2-x+3y=0
已修訂, 謝謝!
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刪除第三題的第二小題,符合一階正合的條件,也可以用正合來解
回覆刪除老師,想請問您,第二大題的第一小題 x^4 以後的係數,是否有誤? 根據前面疊代推演a_4 = 1/6 * a_2 > 0 (因已知a2>0)
回覆刪除但通式給出x^4的係數a_4為 當(r=2) => x^4 & k=1..1
a_4 = (-1/3) * ((2*2)/(4!))*(2-1) < 0
是否前面係數(-1/3)應改為(1/3)?
是第三題還是第二題啊?
刪除不好意思 是第三大題的第一小題 (解偏微分方程式的那個大題)
刪除謝謝,已修訂(-1/3)→(1/3)
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