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2018年9月15日 星期六

106年公務人員高等考試三級考試-工程數學 詳解


106年公務人員高等考試三級考試
類 科 :電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程
科 目:工程數學



(一)[111211][x1x2]=[012]Ax=bATAˆx=ATb,ˆxA=[111211]AT=[111121]ATA=[111121][111211]=[3226](ATA)1=[3226]1=114[6223]ˆx=(ATA)1ATb=114[6223][111121][012]=114[428145][012]=114[186]=[9/73/7][1.290.43]




(一)|1λ1113λ1311λ|=0λ33λ24λ12=0(λ3)(λ2)(λ+2)=0λ=3,±2(二)|1λ1113λ1311λ|=0λ33λ24λ12=0(λ3)(λ2)(λ+2)=0λ=3,±2λ1=3[211101314][x1x2x3]=0u1=[111]λ2=2[111111313][x1x2x3]=0u2=[101]λ3=2[311151311][x1x2x3]=0u2=[114]P=[u1,u2,u3]=[111101114]MP=P[λ1000λ2000λ3]P1MP=[λ1000λ2000λ3](三)P1MP=[λ1000λ2000λ3](P1MP)4=[λ1000λ2000λ3]4P1M4P=[λ1000λ2000λ3]4=[λ41000λ42000λ43]=[810001600016]M4=P[810001600016]P1=[111101114][810001600016][1/511/51101/501/5]=[81161681016811664][1/511/51101/501/5]=[36513138113136529]


13s3+45s2+52s+50s4+4s3+7s2+16s+12=13s3+45s2+52s+50(s+1)(s+3)(s2+4)=As+1+Bs+3+Cs+Ds2+413s3+45s2+52s+50=A(s+3)(s2+4)+B(s+1)(s2+4)+(Cs+D)(s+1)(s+3){A+B+C=133A+B+4C+D=454A+4B+3C+4D=5212A+4B+3D=50{A=3B=2C=8D=213s3+45s2+52s+50s4+4s3+7s2+16s+12=3s+1+2s+3+8s+2s2+4y(t)=L1{Y(s)}=3L1{1s+1}+2L1{1s+3}+8L1{8ss2+22}+L1{2s2+22}y(t)=3et+2e3t+8cos2t+sin2t=yh+yp{yh=et+2e3typ=et+2e3t(λ+1)(λ+3)=0λ2+4λ+3=0y+4y+3y=0{a=4b=3{y(0)=y0=3+2+8=13y(0)=y0=36+2=7{y0=13y0=7(){a=4b=3y0=13y0=7,()y(t)=3et+2e3t+8cos2t+sin2t


F(x)x0{F(x0)F(x0+1)1F(x0)F(x01)1()F(x0)F(x0+1)=n!x0!(nx0)!px0(1p)nx0n!(x0+1)!(nx01)!px0+1(1p)nx01=(x0+1)(1p)(nx0)p1x0np+p1()F(x0)F(x01)=n!x0!(nx0)!px0(1p)nx0n!(x01)!(nx0+1)!px01(1p)nx0+1=(nx0+1)p(1p)x01x0np+p()()np+p1x0np+p{x0=np+p,np+p1np+px0=np+pnp+p

乙、測驗題部分:(50分)

{P1=(2,2,0)P2=(1,0,2)P3=(0,4,3){P1P2=(3,2,2)P1P3=(2,2,3)P1P2P3=12|P1P2|2|P1P3|2(P1P2P1P3)2=12(9+4+4)(4+4+9)(64+6)2=12225=152=7.5(C)


(A)1×(3,1,4)3×(2,0,1)+1×(3,1,1)=(0,0,0)×(B)×(C)a×(1,1,2)+b×(0,1,0)+c×(2,1,1)=(0,0,0)a=b=c=0(D)×(C

x2yxyy2=0yyxy2x2=0u=yxy=u+xuu+xuuu2=0xu=u21u2du=1xdx1u=ln|x|+Cxy=ln|x|+Cy=xln|x|+C(B)


(x+y+z)2+y2+z20(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)+y2+z20x2+2y2+2z2+2xy+2yz+2zx0(D)


A=[1320]|1λ32λ|=0λ2λ6=0(λ3)(λ+2)=0λ=3,2λ1=3[2323][x1x2]=0x1=[32]λ2=2[3322][x1x2]=0x2=[11]A=[3121][3002][3121]1cosA=[3121][cos300cos(2)][3121]1=[3121][cos300cos(2)][1/51/52/53/5]=15[3cos3cos(2)2cos3cos(2)][1123]=15[3cos3+2cos(2)3cos3+3cos(2)2cos3+2cos(2)2cos3+3cos(2)]=15[3cos3+2cos23cos3+3cos22cos3+2cos22cos3+3cos2](C)


A=[110021003]A2=[110021003][110021003]=[131045009]f(A)=2[131045009]6[110021003]+3[100010001]=[102014003](A)


cosh(a+bi)=coshacosb+isinhasinbcosh(52i)=cosh5cos(2)+isinh5sin(2)=cosh5cos2isinh5sin2(B)


i=eπ2ii1+i=(eπ2i)1+i=eπ2iπ2=ieπ2=ie(2nπ+π2),n(C)


ex=1+x1!+x22!+x33!+e3Z=1+3Z1!+(3Z)22!+(3Z)33!+e3ZZ4=1Z4+3Z3+322Z2+336Z+ResZ=0(e3ZZ4)=336=92Ce3ZZ4dZ=2πi×ResZ=0(e3ZZ4)=2πi×92=9πi(C)


y+4y=cost{yh=Ce4typ=Asint+Bcosty=yh+yp=Ce4t+Asint+Bcost(D)


y3y4y=0λ23λ4=0(λ4)(λ+1)=0λ=4,1yh=C1e4t+C2ety3y4y=8x2yp=Ax2+Bx+Cyp3yp4yp=2A3(2Ax+B)4(Ax2+Bx+c)=4Ax2+(6A4B)x+(2A3B4C)=8x2{4A=86A4B=02A3B4C=0{A=2B=3C=13/4y=yh+yp=C1e4t+C2et2x2+3x13/4{y(0)=1y(0)=2{C1+C213/4=14C1C2+3=2{C1=13/20C2=18/5y(0)=16C1+C24=16×1320+1854=7054==144=10(A)


y=a0+a1x+a2x2+a3x3++anxn+y=a1+2a2x+3a3x2++nanxn1+y=2a2+6a3x+12a4x2++n(n1)xn2+xy+2y=6x2a1+(6a26)x+12a3x2++n(n+1)anxn1+=0{2a1=06a26=0an=0,n3{a1=0a2=1an=0,n3y=a0+x2{y(1)=1y(1)=2a0=0y=x2y=2xy(1)=2(D)


dy(t)dt3y(t)=6{yh=Ae3typ=By=yh+yp=Ae3t+B3Ae3t3(Ae3t+B)=6B=2lim


\int _{ 0 }^{ 1+i }{ z^{ 2 }dz } =\left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } z^{ 3 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1+i }=\frac { 1 }{ 3 } \left( 1+i \right) ^{ 3 }=\frac { 2i-2 }{ 3 } ,故選\bbox[red,2pt]{(C)}


\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { \frac { n }{ 2^{ n }\left( 3n-1 \right)  }  }{ \frac { \left( n+1 \right)  }{ 2^{ n+1 }\left( 3\left( n+1 \right) -1 \right)  }  }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 2n\left( 3n+2 \right)  }{ \left( 3n-1 \right) \left( n+1 \right)  }  } =\frac { 6 }{ 3 } =2,故選\bbox[red,2pt]{(B)}


L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =F\left( s \right) \Rightarrow L\left\{ tf\left( t \right)  \right\} =-\frac { d }{ ds } F\left( s \right) \Rightarrow tf\left( t \right) =-L^{ -1 }\left\{ \frac { d }{ ds } F\left( s \right)  \right\} \\ \Rightarrow f\left( t \right) =-\frac { 1 }{ t } L^{ -1 }\left\{ \frac { d }{ ds } F\left( s \right)  \right\} \\ L^{ -1 }\left\{ \ln { \frac { s+1 }{ s-1 }  }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \ln { \left( s+1 \right)  } -\ln { \left( s-1 \right)  }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \ln { \left( s+1 \right)  }  \right\} -L^{ -1 }\left\{ \ln { \left( s-1 \right)  }  \right\} \\ =-\frac { 1 }{ t } L^{ -1 }\left\{ \frac { d }{ ds } \ln { \left( s+1 \right)  }  \right\} +\frac { 1 }{ t } L^{ -1 }\left\{ \frac { d }{ ds } \ln { \left( s-1 \right)  }  \right\} =-\frac { 1 }{ t } L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s+1 }  \right\} +\frac { 1 }{ t } L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s-1 }  \right\} \\ =-\frac { 1 }{ t } e^{ -t }+\frac { 1 }{ t } e^{ t }=\frac { 1 }{ t } \left( e^{ t }-e^{ -t } \right) =\frac { 2 }{ t } \cdot \frac { e^{ t }-e^{ -t } }{ 2 } =\frac { 2 }{ t } \sinh { t } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}


f\left( x \right) 為奇函數\Rightarrow a_{ n }=0,n=0\~ \infty \\ b_{ n }=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -2 }^{ 2 }{ f\left( x \right) \sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  } dx } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -1 }^{ 1 }{ x\sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  } dx } =\frac { 1 }{ 2 } \left. \left[ -\frac { 2x }{ n\pi  } \cos { \frac { n\pi x }{ 2 }  } +{ \left( \frac { 2 }{ n\pi  }  \right)  }^{ 2 }\sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  }  \right]  \right| _{ -1 }^{ 1 }\\ =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left( -\frac { 2 }{ n\pi  } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +{ \left( \frac { 2 }{ n\pi  }  \right)  }^{ 2 }\sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  }  \right) -\left( \frac { 2 }{ n\pi  } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -{ \left( \frac { 2 }{ n\pi  }  \right)  }^{ 2 }\sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  }  \right)  \right] \\ =-\frac { 2 }{ n\pi  } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +{ \left( \frac { 2 }{ n\pi  }  \right)  }^{ 2 }\sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } \\ \Rightarrow f\left( x \right) =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ b_{ n }\sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  }  } =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \left( -\frac { 2 }{ n\pi  } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +{ \left( \frac { 2 }{ n\pi  }  \right)  }^{ 2 }\sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  }  \right) \sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  }  }  ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}


P\left( x\le 5|x\ge 2 \right) =\frac { P\left( 2\le x\le 5 \right)  }{ P\left( x\ge 2 \right)  } =\frac { F\left( 5 \right) -F\left( 2 \right)  }{ 1-F\left( 2 \right)  } =\frac { \frac { 3 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 }  }{ 1-\frac { 1 }{ 4 }  } =\frac { 2 }{ 3 } ,故選\bbox[red,2pt]{(D)}



不退貨的條件:10台手機全是好的或只有1台是壞的,其機率為(0.99)^{10}+10\times 0.01 \times (0.99)^9 =1.09\times 0.99^9,因此退貨的機率為1-1.09\times 0.99^9=1-1.09\times 0.9135 = 0.004285 \approx 0.4\%,故選\bbox[red,2pt]{(B)}



E\left[ X^{ 2 }Y^{ 2 } \right] =\frac { 1 }{ 24 } \int _{ 0 }^{ 4 }{ \int _{ 0 }^{ 6 }{ x^{ 2 }y^{ 2 }dxdy }  } =\frac { 1 }{ 24 } \int _{ 0 }^{ 4 }{ \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }y^{ 2 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 6 }dy } =3\int _{ 0 }^{ 4 }{ { y }^{ 2 }dy } \\ =3\left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } y^{ 3 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 4 }=4^{ 3 }=64,故選\bbox[red,2pt]{(D)}


考選部未公布答案,解題僅供參考

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