106年交通事業鐵路人員--工程數學詳解

106年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及106年特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試

考試別：鐵路人員考試
等 別：高員三級考試
類 科：電力工程、電子工程
科 目：工程數學

甲、申論題部份：(50分)

解：
(一) $$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right] \Rightarrow A^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 & 8 \\ -4 & 7 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow A^{ 2 }-4A+5I=\left[ \begin{matrix} -1 & 8 \\ -4 & 7 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} -4 & -8 \\ 4 & -12 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] =0\\ \Rightarrow A^{ 2 }-4A+5I=0,故得證$$ (二) $$A^{ 2 }-4A+5I=0\Rightarrow A^{ 2 }=4A-5I\Rightarrow A^{ 3 }=\left( 4A-5I \right) A=4A^{ 2 }-5A=4\left[ \begin{matrix} -1 & 8 \\ -4 & 7 \end{matrix} \right] -5\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} -4 & 32 \\ -16 & 28 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 5 & 10 \\ -5 & 15 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -9 & 22 \\ -11 & 13 \end{matrix} \right] \\ A^{ 4 }=A^{ 3 }A=\left[ \begin{matrix} -9 & 22 \\ -11 & 13 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -31 & 48 \\ -24 & 17 \end{matrix} \right] \\ \text{Ans: }\bbox[red,2pt]{A^{ 3 }=\left[ \begin{matrix} -9 & 22 \\ -11 & 13 \end{matrix} \right] ,A^{ 4 }=\left[ \begin{matrix} -31 & 48 \\ -24 & 17 \end{matrix} \right] }$$

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解：
$$I\left( x \right) ={ e }^{ \int { 3x^{ 2 } } dx }={ e }^{ { x }^{ 3 } }\Rightarrow yI\left( x \right) =\int { I\left( x \right) 6x^{ 2 }dx } \Rightarrow y{ e }^{ { x }^{ 3 } }=6\int { x^{ 2 }{ e }^{ { x }^{ 3 } }dx } =2{ e }^{ { x }^{ 3 } }+C\\ \Rightarrow y=2+C{ e }^{ { -x }^{ 3 } },由y\left( 0 \right) =7\Rightarrow 7=2+C\Rightarrow C=5\Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=2+5{ e }^{ { -x }^{ 3 } }}$$

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解： $$f\left( t \right) =\begin{cases} t+\pi  & -\pi \le t\le 0 \\ -t+\pi  & 0\le t\le \pi  \end{cases}\Rightarrow f\left( t \right) =f\left( -t \right) \Rightarrow f為偶函數\Rightarrow b_{ n }=0,n\ge 1\\ a_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( t \right) dt } =\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left( -t+\pi  \right) dt } =\frac { 1 }{ \pi  } \left. \left[ -\frac { 1 }{ 2 } t^{ 2 }+\pi t \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  }=\frac { 1 }{ \pi  } \times \frac { 1 }{ 2 } \pi ^{ 2 }=\frac { \pi  }{ 2 } \\ a_{ n }=\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( t \right) \cos { nt } dt } =\frac { 2 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left( -t+\pi  \right) \cos { nt } dt } =\frac { 2 }{ \pi  } \left. \left[ -\frac { t }{ n } \sin { nt } -\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \cos { nt } +\frac { \pi  }{ n } \sin { nt }  \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  }\\ =\frac { 2 }{ \pi  } \left( \left( -\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \cos { n\pi  }  \right) -\left( -\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  \right)  \right) =\frac { 2 }{ \pi  } \left( \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \cos { n\pi  }  \right) =\frac { 2 }{ { n }^{ 2 }\pi  } \left( 1-\cos { n\pi  }  \right) \\ \Rightarrow f\left( t \right) =a_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ a_{ n }\cos { nt }  } =\bbox[red,2pt]{\frac { \pi  }{ 2 } +\frac { 2 }{ \pi  } \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \left( 1-\cos { n\pi  }  \right) \cos { nt }  }}$$

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解： $$E\left( X \right) =\sum _{ x=0 }^{ \infty  }{ xP\left( x \right)  } =\sum _{ x=0 }^{ \infty  }{ x\frac { e^{ -\lambda  }\lambda ^{ x } }{ x! }  } =\sum _{ x=1 }^{ \infty  }{ \frac { e^{ -\lambda  }\lambda ^{ x } }{ \left( x-1 \right) ! }  } =e^{ -\lambda  }\lambda \sum _{ x=1 }^{ \infty  }{ \frac { \lambda ^{ x-1 } }{ \left( x-1 \right) ! }  } =e^{ -\lambda  }\lambda e^{ \lambda  }=\lambda \\ E\left( X\left( X-1 \right)  \right) =\sum _{ x=0 }^{ \infty  }{ x\left( x-1 \right) P\left( x \right)  } =\sum _{ x=0 }^{ \infty  }{ x\left( x-1 \right) \frac { e^{ -\lambda  }\lambda ^{ x } }{ x! }  } =e^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ 2 }\sum _{ x=2 }^{ \infty  }{ \frac { \lambda ^{ x-2 } }{ \left( x-2 \right) ! }  } =e^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ 2 }e^{ -\lambda  }={ \lambda  }^{ 2 }\\ Var\left( X \right) =E\left( X^{ 2 } \right) -{ \left( E\left( X \right)  \right)  }^{ 2 }=E\left( X\left( X-1 \right)  \right) +E\left( X \right) -{ \left( E\left( X \right)  \right)  }^{ 2 }={ \lambda  }^{ 2 }+\lambda -{ \lambda  }^{ 2 }=\lambda \\ \text{Ans: }\bbox[red,2pt]{E\left( X \right) =Var\left( X \right) =\lambda}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$a\left( 1-3x+2x^{ 2 } \right) +b\left( 1+x+4x^{ 2 } \right) +c\left( 1-7x \right) =0\Rightarrow a:b:c=-2:1:1\\ \Rightarrow \left( a,b,c \right) 有\left( 0,0,0 \right) 以外的解，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} y_{ 1 } \\ y_{ 2 } \\ y_{ 3 } \end{matrix} \right]  \\ \left[ \begin{matrix} y_{ 1 } \\ y_{ 2 } \\ y_{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} z_{ 1 } \\ z_{ 2 } \end{matrix} \right]  \end{cases}\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} z_{ 1 } \\ z_{ 2 } \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow M=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 & 7 \\ -2 & -6 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left[ \begin{matrix} -3 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 1 \end{matrix} \right] \xrightarrow { r_{ 2 }+r_{ 1 } } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \end{matrix} \right] \xrightarrow {-4r_{ 1 }+r_{ 2 }  } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \end{matrix} \right] \xrightarrow { (1/2)r_{ 2 } } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3/2 \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow { r_{ 2 }+r_{ 1 }  } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & -3/2 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \Rightarrow P=A{ \left( A^{ T }A \right)  }^{ -1 }A^{ T }=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] { \left( \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]  \right)  }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right] ^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \\ 0 & 1/2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{matrix} \right] \Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \end{matrix} \right] P=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 & 2 & 2 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{matrix} \right] \Rightarrow AB=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] ,但det\left( A \right) =2\neq 1/2=det\left( B \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$T=\left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix} \right] \Rightarrow \begin{cases} T\left( \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right]  \right) =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \right]  \\ T\left( \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right]  \right) =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \right]  \\ T\left( \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right]  \right) =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \right]  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \right]  \\ \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right]  \\ \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right]  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \begin{matrix} a+b+c=4 \\ d+e+f=4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a+b=3 \\ d+e=4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a=2 \\ d=1 \end{matrix} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \begin{matrix} c=1 \\ f=0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} b=1 \\ e=3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a=2 \\ d=1 \end{matrix} \end{cases}\Rightarrow T=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix} \right] \Rightarrow T\left( \left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right]  \right) =\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 7 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right] \Rightarrow m+n=0+7=7，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\ln { z } =\frac { 1 }{ 2 } +\pi i\Rightarrow z=e^{ 1/2+\pi i }=e^{ 1/2 }\cdot e^{ \pi i }=e^{ 1/2 }\left( \cos { \pi  } +i\sin { \pi  }  \right) =-e^{ 1/2 }，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$Res_{ z=\pi /2 }=\lim _{ z\to \pi /2 }{ \frac { \left( z-\pi /2 \right) \sin { z }  }{ \cos { z }  }  } =\lim _{ z\to \pi /2 }{ \frac { \sin { z } +\left( z-\pi /2 \right) \cos { z }  }{ -\sin { z }  }  } =\frac { 1 }{ -1 } =-1\\ Res_{ z=-\pi /2 }=\lim _{ z\to -\pi /2 }{ \frac { \left( z+\pi /2 \right) \sin { z }  }{ \cos { z }  }  } =\lim _{ z\to \pi /2 }{ \frac { \sin { z } +\left( z+\pi /2 \right) \cos { z }  }{ -\sin { z }  }  } =\frac { 1 }{ -1 } =-1\\ \Rightarrow \oint _{ c }{ \tan { z } dz } =\oint _{ |z|=2 }{ \frac { \sin { z }  }{ \cos { z }  } dz } =2\pi i\left( Res_{ z=\pi /2 }+Res_{ z=-\pi /2 } \right) =2\pi i\left( -1-1 \right) =-4\pi i，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\left| q \right| =1\Rightarrow \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ q^{ n } } =\infty ,1,-1\Rightarrow 發散，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y''+4y=0\Rightarrow \lambda ^{ 2 }+4=0\Rightarrow \lambda =\pm 2i\Rightarrow y=A\cos { 2x } +B\sin { 2x } \Rightarrow y'=-2A\sin { 2x } +2B\cos { 2x } \\ \begin{cases} y\left( 0 \right) =3 \\ y'\left( 0 \right) =-8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=3 \\ 2B=-8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=3 \\ B=-4 \end{cases}\Rightarrow y=3\cos { 2x } -4\sin { 2x }, 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$y=e^{ 2x }\left( 1+c_{ 1 }\sin { \sqrt { 3 } x } +c_{ 2 }\cos { \sqrt { 3 } x }  \right) \Rightarrow \lambda =2\pm \sqrt { 3 } i\Rightarrow { \left( \lambda -2 \right)  }^{ 2 }+3=0\\ \Rightarrow \lambda^2-4\lambda+7=0\Rightarrow y''-4y'+7y=Ae^{2x}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y=e^{ x }\Rightarrow y'=y''=y=e^{ x }\Rightarrow x^{ 2 }y''+Axy'+By=0=x^{ 2 }e^{ x }+Axe^{ x }+Be^{ x }\\ =e^{ x }\left( x^{ 2 }+Ax+B \right) \\ \because e^{ x }\neq 0,無法找到常數A與B使得x^{ 2 }+Ax+B=0,\\ 因此e^{ x }不是該微分方程的解，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f\left( t \right) =t\sin { \left( at \right)  } \Rightarrow L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =L\left\{ t\sin { \left( at \right)  }  \right\} =-\frac { d }{ ds } L\left\{ \sin { \left( at \right)  }  \right\} =-\frac { d }{ ds } \left( \frac { a }{ s^{ 2 }+a^{ 2 } }  \right) \\ =\frac { 2as }{ { \left( s^{ 2 }+a^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\frac { 3s^{ 2 }-s+8 }{ s^{ 3 }+4s^{ 2 }-s-4 } =\frac { 3s^{ 2 }-s+8 }{ s^{ 2 }\left( s+4 \right) -\left( s+4 \right)  } =\frac { 3s^{ 2 }-s+8 }{ \left( s^{ 2 }-1 \right) \left( s+4 \right)  } =\frac { A }{ s-1 } +\frac { B }{ s+1 } +\frac { C }{ s+4 } \\ \Rightarrow A\left( s+1 \right) \left( s+4 \right) +B\left( s-1 \right) \left( s+4 \right) +C\left( s-1 \right) \left( s+1 \right) =3s^{ 2 }-s+8\\ \Rightarrow As^{ 2 }+5As+4A+Bs^{ 2 }+3Bs-4B+Cs^{ 2 }-C=3s^{ 2 }-s+8\\ \Rightarrow \begin{cases} A+B+C=3 \\ 5A+3B=-1 \\ 4A-4B-C=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A+B+C=3 \\ 5A+3B=-1 \\ 4A-4B-C=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=1 \\ B=-2 \\ C=4 \end{cases}\\ \Rightarrow L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =\frac { 1 }{ s-1 } +\frac { -2 }{ s+1 } +\frac { 4 }{ s+4 } \\ \Rightarrow f\left( t \right) =L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s-1 } +\frac { -2 }{ s+1 } +\frac { 4 }{ s+4 }  \right\} =e^{ t }-2e^{ -t }+4e^{ -4t }\\ \Rightarrow f\left( 0 \right) =1-2+4=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\mathcal{F} \left\{ f\left( t \right)  \right\} =F\left( s \right) \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ f\left( at \right)  \right\} =\frac { 1 }{ \left| a \right|  } F\left( \frac { s }{ a }  \right) \\ \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ f\left( -t \right)  \right\} =F\left( -s \right) =\frac { -s }{ { \left( -s \right)  }^{ 3 }+5{ \left( -s \right)  }^{ 2 }+1 } =\frac { -s }{ -s^{ 3 }+5s^{ 2 }+1 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\bbox[red,2pt]{本題無解}$$

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解：

由於$f(t)$為奇函數，所以$a_n=0, n\ge 0$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
正面超過3次=出現正面4次、正面5次及正面6次，共有$C^6_4+C^6_5+C^6_6 = 15+6+1=22$種情形，全部是$2^6=64$種情形，所以機率為$\frac{22}{64}=\frac{11}{32}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$P\left[ Y\le 1.2X \right] =\int _{ 0 }^{ 5 }{ \int _{ 0 }^{ 1.2x }{ \frac { 1 }{ 40 } dydx }  } =\int _{ 0 }^{ 5 }{ \frac { 1 }{ 40 } \times \frac { 6 }{ 5 } xdx } =\int _{ 0 }^{ 5 }{ \frac { 3 }{ 100 } xdx } \\ =\left. \left[ \frac { 3 }{ 200 } x^{ 2 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 5 }=\frac { 3 }{ 200 } \times 25=\frac { 3 }{ 8 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} \mu _{ X }=5 \\ \sigma _{ X }^{ 2 }=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} EX=5 \\ EX^{ 2 }-{ \left( EX \right)  }^{ 2 }=25 \end{cases}\Rightarrow EX^{ 2 }=50\\ \mu _{ Y }=E{ \left( { \left( X+5 \right)  }^{ 2 } \right)  }=E\left( X^{ 2 }+10X+25 \right) =E\left( X^{ 2 } \right) +10E\left( X \right) +25\\=50+10\times 5+25=125，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考