106年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及106年特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試
考試別：鐵路人員考試
等 別：高員三級考試
類 科：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
等 別：高員三級考試
類 科：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
甲、申論題部份：(50分)
(一)A=[12−13]⇒A2=[12−13][12−13]=[−18−47]⇒A2−4A+5I=[−18−47]+[−4−84−12]+[5005]=[0000]=0⇒A2−4A+5I=0,故得證(二)A2−4A+5I=0⇒A2=4A−5I⇒A3=(4A−5I)A=4A2−5A=4[−18−47]−5[12−13]=[−432−1628]−[510−515]=[−922−1113]A4=A3A=[−922−1113][12−13]=[−3148−2417]Ans: A3=[−922−1113],A4=[−3148−2417]
I(x)=e∫3x2dx=ex3⇒yI(x)=∫I(x)6x2dx⇒yex3=6∫x2ex3dx=2ex3+C⇒y=2+Ce−x3,由y(0)=7⇒7=2+C⇒C=5⇒y=2+5e−x3
解：f(t)={t+π−π≤t≤0−t+π0≤t≤π⇒f(t)=f(−t)⇒f為偶函數⇒bn=0,n≥1a0=12π∫π−πf(t)dt=1π∫π0(−t+π)dt=1π[−12t2+πt]|π0=1π×12π2=π2an=1π∫π−πf(t)cosntdt=2π∫π0(−t+π)cosntdt=2π[−tnsinnt−1n2cosnt+πnsinnt]|π0=2π((−1n2cosnπ)−(−1n2))=2π(1n2−1n2cosnπ)=2n2π(1−cosnπ)⇒f(t)=a0+∞∑n=1ancosnt=π2+2π∞∑n=11n2(1−cosnπ)cosnt
解：E(X)=∞∑x=0xP(x)=∞∑x=0xe−λλxx!=∞∑x=1e−λλx(x−1)!=e−λλ∞∑x=1λx−1(x−1)!=e−λλeλ=λE(X(X−1))=∞∑x=0x(x−1)P(x)=∞∑x=0x(x−1)e−λλxx!=e−λλ2∞∑x=2λx−2(x−2)!=e−λλ2e−λ=λ2Var(X)=E(X2)−(E(X))2=E(X(X−1))+E(X)−(E(X))2=λ2+λ−λ2=λAns: E(X)=Var(X)=λ
解：a(1−3x+2x2)+b(1+x+4x2)+c(1−7x)=0⇒a:b:c=−2:1:1⇒(a,b,c)有(0,0,0)以外的解，故選(C)
解：{[x1x2]=[1−2121−3][y1y2y3][y1y2y3]=[122−123][z1z2]⇒[x1x2]=[1−2121−3][122−123][z1z2]⇒M=[1−2121−3][122−123]=[−17−2−6]，故選(B)
解：[−3104−21]r2+r1→[1−114−21]−4r1+r2→[1−1102−3](1/2)r2→[1−1101−3/2]r2+r1→[10−1/201−3/2]，故選(A)
解：A=[100101]⇒P=A(ATA)−1AT=[100101]([100011][100101])−1[100011]=[100101][1002]−1[100011]=[100101][1001/2][100011]=[1001/201/2][100011]=[10001/21/201/21/2]⇒[231]P=[231][10001/21/201/21/2]=[222]，故選(D)
解：A=[1002],B=[1001/2]⇒AB=[1001],但det(A)=2≠1/2=det(B)，故選(B)
解：T=[abcdef]⇒{T([111])=[44]T([111])=[44]T([111])=[44]⇒{[abcdef][111]=[44][abcdef][110]=[34][abcdef][100]=[21]⇒{a+b+c=4d+e+f=4a+b=3d+e=4a=2d=1⇒{c=1f=0b=1e=3a=2d=1⇒T=[211130]⇒T([−231])=[211130][−231]=[07]=[mn]⇒m+n=0+7=7，故選(B)
解：lnz=12+πi⇒z=e1/2+πi=e1/2⋅eπi=e1/2(cosπ+isinπ)=−e1/2，故選(B)
解：Resz=π/2=limz→π/2(z−π/2)sinzcosz=limz→π/2sinz+(z−π/2)cosz−sinz=1−1=−1Resz=−π/2=limz→−π/2(z+π/2)sinzcosz=limz→π/2sinz+(z+π/2)cosz−sinz=1−1=−1⇒∮ctanzdz=∮|z|=2sinzcoszdz=2πi(Resz=π/2+Resz=−π/2)=2πi(−1−1)=−4πi，故選(C)
解：|q|=1⇒∞∑n=0qn=∞,1,−1⇒發散，故選(C)
解：y″
解：y=e^{ 2x }\left( 1+c_{ 1 }\sin { \sqrt { 3 } x } +c_{ 2 }\cos { \sqrt { 3 } x } \right) \Rightarrow \lambda =2\pm \sqrt { 3 } i\Rightarrow { \left( \lambda -2 \right) }^{ 2 }+3=0\\ \Rightarrow \lambda^2-4\lambda+7=0\Rightarrow y''-4y'+7y=Ae^{2x}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解：y=e^{ x }\Rightarrow y'=y''=y=e^{ x }\Rightarrow x^{ 2 }y''+Axy'+By=0=x^{ 2 }e^{ x }+Axe^{ x }+Be^{ x }\\ =e^{ x }\left( x^{ 2 }+Ax+B \right) \\ \because e^{ x }\neq 0,無法找到常數A與B使得x^{ 2 }+Ax+B=0,\\ 因此e^{ x }不是該微分方程的解，故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解：f\left( t \right) =t\sin { \left( at \right) } \Rightarrow L\left\{ f\left( t \right) \right\} =L\left\{ t\sin { \left( at \right) } \right\} =-\frac { d }{ ds } L\left\{ \sin { \left( at \right) } \right\} =-\frac { d }{ ds } \left( \frac { a }{ s^{ 2 }+a^{ 2 } } \right) \\ =\frac { 2as }{ { \left( s^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解：\frac { 3s^{ 2 }-s+8 }{ s^{ 3 }+4s^{ 2 }-s-4 } =\frac { 3s^{ 2 }-s+8 }{ s^{ 2 }\left( s+4 \right) -\left( s+4 \right) } =\frac { 3s^{ 2 }-s+8 }{ \left( s^{ 2 }-1 \right) \left( s+4 \right) } =\frac { A }{ s-1 } +\frac { B }{ s+1 } +\frac { C }{ s+4 } \\ \Rightarrow A\left( s+1 \right) \left( s+4 \right) +B\left( s-1 \right) \left( s+4 \right) +C\left( s-1 \right) \left( s+1 \right) =3s^{ 2 }-s+8\\ \Rightarrow As^{ 2 }+5As+4A+Bs^{ 2 }+3Bs-4B+Cs^{ 2 }-C=3s^{ 2 }-s+8\\ \Rightarrow \begin{cases} A+B+C=3 \\ 5A+3B=-1 \\ 4A-4B-C=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A+B+C=3 \\ 5A+3B=-1 \\ 4A-4B-C=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=1 \\ B=-2 \\ C=4 \end{cases}\\ \Rightarrow L\left\{ f\left( t \right) \right\} =\frac { 1 }{ s-1 } +\frac { -2 }{ s+1 } +\frac { 4 }{ s+4 } \\ \Rightarrow f\left( t \right) =L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s-1 } +\frac { -2 }{ s+1 } +\frac { 4 }{ s+4 } \right\} =e^{ t }-2e^{ -t }+4e^{ -4t }\\ \Rightarrow f\left( 0 \right) =1-2+4=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解：\mathcal{F} \left\{ f\left( t \right) \right\} =F\left( s \right) \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ f\left( at \right) \right\} =\frac { 1 }{ \left| a \right| } F\left( \frac { s }{ a } \right) \\ \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ f\left( -t \right) \right\} =F\left( -s \right) =\frac { -s }{ { \left( -s \right) }^{ 3 }+5{ \left( -s \right) }^{ 2 }+1 } =\frac { -s }{ -s^{ 3 }+5s^{ 2 }+1 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解：\bbox[red,2pt]{本題無解}
解：
由於f(t)為奇函數，所以a_n=0, n\ge 0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解：
正面超過3次=出現正面4次、正面5次及正面6次，共有C^6_4+C^6_5+C^6_6 = 15+6+1=22種情形，全部是2^6=64種情形，所以機率為\frac{22}{64}=\frac{11}{32}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。
解：P\left[ Y\le 1.2X \right] =\int _{ 0 }^{ 5 }{ \int _{ 0 }^{ 1.2x }{ \frac { 1 }{ 40 } dydx } } =\int _{ 0 }^{ 5 }{ \frac { 1 }{ 40 } \times \frac { 6 }{ 5 } xdx } =\int _{ 0 }^{ 5 }{ \frac { 3 }{ 100 } xdx } \\ =\left. \left[ \frac { 3 }{ 200 } x^{ 2 } \right] \right| _{ 0 }^{ 5 }=\frac { 3 }{ 200 } \times 25=\frac { 3 }{ 8 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解：\begin{cases} \mu _{ X }=5 \\ \sigma _{ X }^{ 2 }=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} EX=5 \\ EX^{ 2 }-{ \left( EX \right) }^{ 2 }=25 \end{cases}\Rightarrow EX^{ 2 }=50\\ \mu _{ Y }=E{ \left( { \left( X+5 \right) }^{ 2 } \right) }=E\left( X^{ 2 }+10X+25 \right) =E\left( X^{ 2 } \right) +10E\left( X \right) +25\\=50+10\times 5+25=125，故選\bbox[red,2pt]{(D)}
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