106年特種考試地方政府公務人員考試--工程數學詳解

106年特種考試地方政府公務人員考試

等 別：三等考試
類 科：電力工程
科 目：工程數學

解：
(一) $$\begin{cases} \overrightarrow { OA } =\left( -3,1,0 \right) -\left( 2,0,2 \right) =\left( -5,1,-2 \right)  \\ \overrightarrow { OB } =\left( 1,1,4 \right) -\left( 2,0,2 \right) =\left( -1,1,2 \right)  \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow { OA } \times \overrightarrow { OB } =\left( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} -2 & -5 \\ 2 & -1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} -5 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \right) \\ =\left( 4,12,-4 \right) \Rightarrow \triangle ABC=\frac { 1 }{ 2 } \left| \overrightarrow { OA } \times \overrightarrow { OB }  \right| =\frac { 1 }{ 2 } \left| \left( 4,12,-4 \right)  \right| =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 4^{ 2 }+12^{ 2 }+4^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 176 } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 4^{ 2 }\times 11 } =\bbox[red,2pt]{2\sqrt { 11 }}$$ (二) $$\begin{cases} \overrightarrow { OA } =\left( -5,1,-2 \right)  \\ \overrightarrow { OB } =\left( -1,1,2 \right)  \\ \overrightarrow { OC } =\left( 3,2,-6 \right)  \end{cases}\Rightarrow \nabla OABC=\frac { 1 }{ 6 } \left| \begin{matrix} \overrightarrow { OA }  \\ \overrightarrow { OB }  \\ \overrightarrow { OC }  \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ 6 } \left| \begin{matrix} -5 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -6 \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ 6 } \times 60=\bbox[red,2pt]{10}$$

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解：
$$f\left( z \right) =\frac { 2 }{ \left( z+2 \right) \left( z-10 \right) \left( z^{ 2 }+1 \right)  } ,z為複數\Rightarrow z=-2,10,\pm i為單極點\\ \Rightarrow \begin{cases} \underset { z=-2 }{ Res } \left\{ f\left( z \right)  \right\} =\lim _{ z\to -2 }{ \frac { 2\left( z+2 \right)  }{ \left( z+2 \right) \left( z-10 \right) \left( z^{ 2 }+1 \right)  }  } =\frac { 2 }{ -12\times 5 } =-\frac { 1 }{ 30 }  \\ \underset { z=10 }{ Res } \left\{ f\left( z \right)  \right\} =\lim _{ z\to -2 }{ \frac { 2\left( z-10 \right)  }{ \left( z+2 \right) \left( z-10 \right) \left( z^{ 2 }+1 \right)  }  } =\frac { 2 }{ 12\times 101 } =\frac { 1 }{ 606 }  \\ \underset { z=i }{ Res } \left\{ f\left( z \right)  \right\} =\lim _{ z\to -2 }{ \frac { 2\left( z-i \right)  }{ \left( z+2 \right) \left( z-10 \right) \left( z^{ 2 }+1 \right)  }  } =\frac { 2 }{ \left( i+2 \right) \times \left( i-10 \right) \times 2i } =\frac { 8+21i }{ 505 }  \end{cases}\\ \Rightarrow \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ \frac { 2 }{ \left( x+2 \right) \left( x-10 \right) \left( x^{ 2 }+1 \right)  } dx } =\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ \frac { 2 }{ \left( z+2 \right) \left( z-10 \right) \left( z^{ 2 }+1 \right)  } dz } \\ =2\pi i\times \frac { 8+21i }{ 505 } +\pi i\times \left( -\frac { 1 }{ 30 } +\frac { 1 }{ 606 }  \right) =\pi i\left( \frac { 16+42i }{ 505 } -\frac { 1 }{ 30 } +\frac { 1 }{ 606 }  \right) \\ =\pi i\left( \frac { 96+252i }{ 3030 } -\frac { 101 }{ 3030 } +\frac { 5 }{ 606 }  \right) =\pi i\times \frac { 42i }{ 505 } =\bbox[red,2pt]{-\frac { 42\pi  }{ 505 }}$$

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解： $$u=f\left( x \right) g\left( y \right) \Rightarrow x^{ 2 }u_{ xy }-2y^{ 2 }u=x^{ 2 }f'\left( x \right) g'\left( y \right) -2y^{ 2 }f\left( x \right) g\left( y \right) =0\Rightarrow x^{ 2 }f'\left( x \right) g'\left( y \right) =2y^{ 2 }f\left( x \right) g\left( y \right) \\ \Rightarrow \frac { x^{ 2 }f'\left( x \right)  }{ f\left( x \right)  } =\frac { 2y^{ 2 }g\left( y \right)  }{ g'\left( y \right)  } =\lambda \Rightarrow \begin{cases} \frac { x^{ 2 }f'\left( x \right)  }{ f\left( x \right)  } =\lambda  \\ \frac { 2y^{ 2 }g\left( y \right)  }{ g'\left( y \right)  } =\lambda  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x^{ 2 }f'\left( x \right) -\lambda f\left( x \right) =0 \\ 2y^{ 2 }g\left( y \right) -\lambda g'\left( y \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f'\left( x \right) -\frac { \lambda  }{ x^{ 2 } } f\left( x \right) =0 \\ g'\left( y \right) -\frac { 2y^{ 2 } }{ \lambda  } g\left( y \right) =0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( x \right) =C_{ 1 }e^{ -\lambda /x } \\ g\left( y \right) =C_{ 2 }e^{ 2y^{ 3 }/3\lambda  } \end{cases}\Rightarrow u=f\left( x \right) g\left( y \right) =C_{ 1 }C_{ 2 }e^{ -\lambda /x+2y^{ 3 }/3\lambda  }=Ce^{ -\frac { \lambda  }{ x } +\frac { 2y^{ 3 } }{ 3\lambda  }  }\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{u=Ce^{ -\frac { \lambda  }{ x } +\frac { 2y^{ 3 } }{ 3\lambda  }  },C為常數}$$

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解：
(一) $$f_{ X }\left( x \right) =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ f_{ X,Y }\, dy } =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ 2xe^{ -y }\, dy } =\left. \left[ -2xe^{ -y } \right]  \right| _{ 0 }^{ \infty  }=2x\\ f_{ Y }\left( y \right) =\int _{ 0 }^{ 1 }{ f_{ X,Y }\, dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ 2xe^{ -y }\, dx } =\left. \left[ x^{ 2 }e^{ -y } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=e^{ -y }\\ Ans:\bbox[red,2pt]{\begin{cases} f_{ X }\left( x \right) =2x,0<x<1 \\ f_{ Y }\left( y \right) =e^{ -y },0<y \end{cases}}$$ (二) $$E\left[ XY \right] =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ xyf_{ X,Y }\, dxdy }  } =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ 2x^{ 2 }ye^{ -y }\, dxdy }  } =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \left. \left[ \frac { 2 }{ 3 } x^{ 3 }ye^{ -y } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }dy } \\ =\frac { 2 }{ 3 } \int _{ 0 }^{ \infty  }{ ye^{ -y }dy } =\frac { 2 }{ 3 } \left. \left[ -ye^{ -y }-e^{ -y } \right]  \right| _{ 0 }^{ \infty  }=\bbox[red,2pt]{\frac { 2 }{ 3 }}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$det(A)=det(-A)\ne -det(A)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $${ \left| \vec { u } \times \vec { v }  \right|  }^{ 2 }={ |\vec { u } | }^{ 2 }{ |\vec { v } | }^{ 2 }-{ (\vec { u } \cdot \vec { v } ) }^{ 2 }\Rightarrow { \left| \vec { u } \times \vec { v }  \right|  }^{ 2 }+{ (\vec { u } \cdot \vec { v } ) }^{ 2 }={ |\vec { u } | }^{ 2 }{ |\vec { v } | }^{ 2 }\\ =\left( \vec { u } \cdot \vec { u }  \right) \left( \vec { v } \cdot \vec { v }  \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(C}$$

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解： $$\begin{cases} x_{ 1 }+x_{ 2 }+x_{ 3 }=4\cdots (1) \\ x_{ 3 }=2\cdots \cdots \cdots \cdots \left( 2 \right)  \\ \left( a^{ 2 }-4 \right) x_{ 3 }=a-2\cdots \left( 3 \right)  \end{cases}(2)=(3)\Rightarrow x_{ 3 }=\frac { a-2 }{ a^{ 2 }-4 } =\frac { 1 }{ a+2 } =2\Rightarrow a=-\frac { 3 }{ 2 }  ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} \right] \Rightarrow det\left( A \right) =-2-8+9=-1\Rightarrow A^{ -1 }=-\left[ \begin{matrix} \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} -3 & 5 & 3 \\ 8 & -12 & -7 \\ -2 & 3 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} a_{ 1,1 } & a_{ 1,2 } & a_{ 1,3 } \\ a_{ 2,1 } & a_{ 2,2 } & a_{ 2,3 } \\ a_{ 3,1 } & a_{ 3,2 } & a_{ 3,3 } \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$A=\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -10 & 6 \end{bmatrix}\Rightarrow A^{ 2 }=\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -10 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -10 & 6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -11 & 6 \\ -30 & 16 \end{bmatrix}\Rightarrow A^{ 3 }=\begin{bmatrix} -11 & 6 \\ -30 & 16 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -10 & 6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -27 & 14 \\ -70 & 36 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow f\left( A \right) =A^{ 3 }-2A^{ 2 }+A+1=\begin{bmatrix} -27 & 14 \\ -70 & 36 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} -11 & 6 \\ -30 & 16 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -10 & 6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -7 & 4 \\ -20 & 11 \end{bmatrix}，\\故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix} \right] \Rightarrow det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} -\lambda  & 0 & -2 \\ 1 & 2-\lambda  & 1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow -\lambda \left( \lambda -2 \right) \left( \lambda -3 \right) +2\left( 2-\lambda  \right) =0\\ \Rightarrow \left( \lambda -2 \right) \left[ -\lambda \left( \lambda -3 \right) -2 \right] =0\Rightarrow { \left( \lambda -2 \right)  }^{ 2 }\left( \lambda -1 \right) =0\Rightarrow \lambda =1,2\\ \lambda =1\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow 取\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right] \\ \lambda =2\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow x_{ 1 }+x_{ 3 }=0\Rightarrow 取\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right] 或\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\cosh { (a+bi) } =\cosh { a } \cos { b } +i\sinh { a } \sin { b } \Rightarrow \cosh { (5-2i) } =\cosh { 5 } \cos { (-2) } +i\sinh { 5 } \sin { (-2) } \\ =\cosh { 5 } \cos { 2 } -i\sinh { 5 } \sin { 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$e^{z }為全域可解析，沒有極點，所以\oint_Ce^z\,dz=0 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $${ \left( z-1 \right)  }^{ 2 }=0\Rightarrow z=1為二階的極點\Rightarrow M=2\\ \underset { z=1 }{ Res } \left\{ f(z) \right\} =\lim _{ z\to 1 } \frac { d }{ dz } \left( { \left( z-1 \right)  }^{ 2 }f\left( z \right)  \right) =\lim _{ z\to 1 } \frac { d }{ dz } { e }^{ 2z }=2e^{ 2 }\\ \Rightarrow B=2e^{ 2 }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\lambda ^{ 2 }-4\lambda +4=0\Rightarrow { \left( \lambda -2 \right)  }^{ 2 }=0\Rightarrow \lambda =0\Rightarrow y=\left( A+Bx \right) e^{ 2x }\Rightarrow y'=\left( 2A+B+Bx \right) e^{ 2x }\\ \begin{cases} y\left( 0 \right) =3 \\ y'\left( 0 \right) =4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=3 \\ 2A+B=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=3 \\ B=-2 \end{cases}\Rightarrow y=\left( 3-2x \right) e^{ 2x }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$y'-\frac { 4xy }{ y-1 } =0\Rightarrow y'=\frac { 4xy }{ y-1 } \Rightarrow \left( y-1 \right) y'=4xy\Rightarrow \frac { y-1 }{ y } y'=4x\Rightarrow \frac { y-1 }{ y } dy=4xdx\\ \Rightarrow \int { \frac { y-1 }{ y } dy } =\int { 4xdx } \Rightarrow \int { \left( 1-\frac { 1 }{ y }  \right) dy } =\int { 4xdx } \Rightarrow y-\ln { \left| y \right|  } =2x^{ 2 }+C\\ y\left( 0 \right) =1\Rightarrow C=1\Rightarrow y-\ln { \left| y \right|  } =2x^{ 2 }+1\Rightarrow 2x^{ 2 }-y+\ln { \left| y \right|  } =-1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y\left( 0^{ + } \right) =\lim _{ s\to \infty  }{ sY\left( s \right)  } =\lim _{ s\to \infty  }{ \frac { s\left( s+14 \right)  }{ s^{ 4 }+3s^{ 3 }+7s^{ 2 } }  } =0\neq 7，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$xy\left( y' \right) ^{ 2 }+(x^{ 2 }+xy+y^{ 2 })y'+x(x+y)=0\Rightarrow \left( yy'+x \right) \left( xy'+x+y \right) =0\\ \Rightarrow \begin{cases} yy'+x=0 \\ xy'+x+y=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y\frac { dy }{ dx } =-x \\ y'+1+\frac { y }{ x } =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} ydy=-xdx \\ xu'+2u+1=0(u=y/x) \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \frac { 1 }{ 2 } y^{ 2 }=-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }+C_{ 1 } \\ -\frac { 1 }{ 2 } \ln { \left| 2u+1 \right|  } =\ln { \left| x \right| +C_{ 2 } }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x^{ 2 }+y^{ 2 }+C_{ 1 }=0 \\ \ln { \left| x \right| +\frac { 1 }{ 2 } \ln { \left| 2u+1 \right|  } +C_{ 2 }=0 }  \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\frac { \partial ^{ 2 }z }{ \partial x\partial y } =x^{ 2 }y\Rightarrow \frac { \partial z }{ \partial x } =\int { x^{ 2 }y\, dy } +f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }y^{ 2 }+f\left( x \right) \Rightarrow z=\int { \frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }y^{ 2 }dx } +\int { f\left( x \right) dx } +g\left( y \right) \\ =\frac { 1 }{ 6 } x^{ 3 }y^{ 2 }+F\left( x \right) +g\left( y \right) \Rightarrow z\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ 6 } x^{ 3 }y^{ 2 }+F\left( x \right) +g\left( y \right) \\ z\left( x,0 \right) =x^{ 2 }\Rightarrow F\left( x \right) +g\left( 0 \right) =x^{ 2 }\Rightarrow F\left( x \right) =x^{ 2 }\Rightarrow z\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ 6 } x^{ 3 }y^{ 2 }+x^{ 2 }+g\left( y \right) \\ z\left( 1,y \right) =\cos { y } \Rightarrow \frac { 1 }{ 6 } y^{ 2 }+1+g\left( y \right) =\cos { y } \Rightarrow g\left( y \right) =\cos { y } -1-\frac { 1 }{ 6 } y^{ 2 }\\ \Rightarrow z\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ 6 } x^{ 3 }y^{ 2 }+x^{ 2 }+\cos { y } -1-\frac { 1 }{ 6 } y^{ 2 }\Rightarrow z\left( 0,\pi  \right) =\cos { \pi  } -1-\frac { 1 }{ 6 } \pi ^{ 2 }\\ =-2-\frac { 1 }{ 6 } \pi ^{ 2 }=-\frac { 12+\pi ^{ 2 } }{ 6 }  ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$L\left\{ t\cos { at }  \right\} =-\frac { d }{ ds } L\left\{ \cos { at }  \right\} =-\frac { d }{ ds } \frac { s }{ s^{ 2 }+a^{ 2 } } =-\left( \frac { 1 }{ s^{ 2 }+a^{ 2 } } -\frac { 2s^{ 2 } }{ { \left( s^{ 2 }+a^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }  \right) =\frac { s^{ 2 }-a^{ 2 } }{ { \left( s^{ 2 }+a^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }  ，\\故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\left( A \right) u=x^{ 3 }-3xy^{ 2 }\Rightarrow \begin{cases} u_{ x }=3x^{ 2 }-3y^{ 2 } \\ u_{ y }=-6xy \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} u_{ xx }=6x \\ u_{ yy }=-6x \end{cases}\Rightarrow u_{ xx }+u_{ yy }=0$$ $$\left( B \right) u=\frac { x }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } \Rightarrow \begin{cases} u_{ x }=\frac { 1 }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } -\frac { 2x^{ 2 } }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }  \\ u_{ y }=\frac { -2xy }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} u_{ xx }=\frac { -6x }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } +\frac { 8{ x }^{ 3 } }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } }  \\ u_{ yy }=\frac { -2x }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } +\frac { 8xy^{ 2 } }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } }  \end{cases}\\ \Rightarrow u_{ xx }+u_{ yy }=\frac { -8x }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } +\frac { 8{ x }^{ 3 }+8xy^{ 2 } }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } } =\frac { -8x\left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } +\frac { 8{ x }^{ 3 }+8xy^{ 2 } }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } } =0$$ $$\left( C \right) u=\frac { x }{ y } -\frac { y }{ x } =\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ xy } \Rightarrow \begin{cases} u_{ x }=\frac { 2 }{ y } -\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }y }  \\ u_{ y }=\frac { -2 }{ x } -\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ { x }y^{ 2 } }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} u_{ xx }=\frac { -2 }{ xy } +\frac { 2\left( x^{ 2 }-y^{ 2 } \right)  }{ x^{ 3 }y^{ 2 } }  \\ u_{ yy }=\frac { 2 }{ xy } +\frac { 2\left( x^{ 2 }-y^{ 2 } \right)  }{ x^{ 2 }y^{ 3 } }  \end{cases}\Rightarrow u_{ xx }+u_{ yy }\neq 0$$ $$\left( D \right) u=\frac { x^{ 2 }-y^{ 2 } }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } \Rightarrow \begin{cases} u_{ x }=\frac { 2x }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } -\frac { 4x\left( x^{ 2 }-y^{ 2 } \right)  }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } }  \\ u_{ y }=\frac { -2y }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } -\frac { 4y\left( x^{ 2 }-y^{ 2 } \right)  }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} u_{ xx }=\frac { 2 }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } +\frac { -20x^{ 2 }+4y^{ 2 } }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } } +\frac { 24x^{ 2 }\left( x^{ 2 }-y^{ 2 } \right)  }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 4 } }  \\ u_{ yy }=\frac { -2 }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } +\frac { -4x^{ 2 }+20y^{ 2 } }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } } +\frac { 24y^{ 2 }\left( x^{ 2 }-y^{ 2 } \right)  }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 4 } }  \end{cases}\\ \Rightarrow u_{xx}+u_{yy}= \frac { -24x^{ 2 }+24y^{ 2 } }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } } +\frac { 24\left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right) \left( x^{ 2 }-y^{ 2 } \right)  }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 4 } } =\frac { -24\left( x^{ 2 }-y^{ 2 } \right)  }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } } +\frac { 24\left( x^{ 2 }-y^{ 2 } \right)  }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right)  }^{ 3 } } =0\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$E\left[ X \right] =\left( -2+1+2 \right) \times 0.15+3\times 0.55=0.15+1.65=1.8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\int _{ -3 }^{ 3 }{ \int _{ -2 }^{ 2 }{ a{ \left( x+y \right)  }^{ 2 }dxdy }  } =1\Rightarrow \int _{ -3 }^{ 3 }{ \int _{ -2 }^{ 2 }{ a{ \left( x^{ 2 }+2xy+y^{ 2 } \right)  }dxdy }  } =a\int _{ -3 }^{ 3 }{ \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }+x^{ 2 }y+y^{ 2 }x \right]  \right| _{ -2 }^{ 2 }{ dy } } \\ =a\int _{ -3 }^{ 3 }{ \left( \left( \frac { 8 }{ 3 } +4y+2y^{ 2 } \right) -\left( \frac { -8 }{ 3 } +4y-2y^{ 2 } \right)  \right) { dy } } =a\int _{ -3 }^{ 3 }{ \left( \frac { 16 }{ 3 } +4y^{ 2 } \right) { dy } } =a\left. \left[ \frac { 16 }{ 3 } y+\frac { 4 }{ 3 } y^{ 3 } \right]  \right| _{ -3 }^{ 3 }\\ =a\left( \left( 16+36 \right) -\left( -16-36 \right)  \right) =104a=1\Rightarrow a=\frac { 1 }{ 104 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：顯然是(D)，樣本的平方其變異數會隨之變動，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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考選部未公布答案，解題僅供參考