107年調查人員三等考試_電子科學組--工程數學詳解

107年法務部調查局調查人員考試試題

考試別：調查人員
等    別：三等考試
類科組 ：電子科學組
科 目：工程數學

解：
$$y=x^{ m }\Rightarrow y'=mx^{ m-1 }\Rightarrow y''=m(m-1)x^{ m-2 }\Rightarrow x^{ 2 }y''+xy'-4y=m(m-1)x^{ m }+mx^{ m }-4x^{ m }=0\\ \Rightarrow m(m-1)+m-4=0\Rightarrow m^{ 2 }-4=0\Rightarrow m=\pm 2\Rightarrow y_{ h }=C_{ 1 }x^{ -2 }+C_{ 2 }x^{ 2 }\\ x^{ 2 }y''+xy'-4y=4x^{ 2 }\Rightarrow y''+\frac { y' }{ x } -\frac { 4y }{ x^{ 2 } } =4=r\left( x \right) \\ 令\begin{cases} y_{ 1 }=x^{ -2 } \\ y_{ 2 }=x^{ 2 } \end{cases}\Rightarrow W=\left| \begin{matrix} y_{ 1 } & y_{ 2 } \\ y_{ 1 }' & y_{ 2 }' \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} x^{ -2 } & x^{ 2 } \\ -2x^{ -3 } & 2x \end{matrix} \right| =2x^{ { -1 } }+2x^{ -1 }=4x^{ -1 }\\ \Rightarrow y_{ p }=-y_{ 1 }\int { \frac { y_{ 2 }r\left( x \right)  }{ W } dx } +y_{ 2 }\int { \frac { y_{ 1 }r\left( x \right)  }{ W } dx } =-x^{ -2 }\int { \frac { 4x^{ 2 } }{ 4x^{ -1 } } dx } +x^{ 2 }\int { \frac { 4x^{ -2 } }{ 4x^{ -1 } } dx } \\ =-x^{ -2 }\int { x^{ 3 }dx } +x^{ 2 }\int { x^{ -1 }dx } =-\frac { 1 }{ 4 } x^{ 2 }+x^{ 2 }\ln { x } \\ y=y_{ h }+y_{ p }=C_{ 1 }x^{ -2 }+C_{ 2 }x^{ 2 }-\frac { 1 }{ 4 } x^{ 2 }+x^{ 2 }\ln { x } =Ax^{ -2 }+Bx^{ 2 }+x^{ 2 }\ln { x }\\ \Rightarrow y'=-2Ax^{ -3 }+(2B+1)x+2x\ln { x } \\ \begin{cases} y\left( 1 \right) =0 \\ y'\left( 1 \right) =5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A+B=0 \\ -2A+2B+1=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=-1 \\ B=1 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=-x^{ -2 }+x^{ 2 }+x^{ 2 }\ln { x } }$$

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解： $$f\left( x \right) =\cosh { x } =\frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }{ 2 } \Rightarrow f\left( x \right) =f\left( -x \right) \Rightarrow f\left( x \right) 為偶函數\Rightarrow b_{ n }=0,n\ge 1\\ a_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( x \right) dx } =\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }{ 2 } dx } =\frac { 1 }{ 4\pi  } \left. \left[ { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right]  \right| _{ -\pi  }^{ \pi  }=\frac { 1 }{ 4\pi  } \left( \left( { e }^{ \pi  }-{ e }^{ -\pi  } \right) -\left( { e }^{ -\pi  }-{ e }^{ \pi  } \right)  \right) \\ =\frac { 1 }{ 4\pi  } \left( 2{ e }^{ \pi  }-2e^{-\pi} \right) =\frac { 1 }{ 2\pi  } \left({ e }^{ \pi  }-e^{-\pi}\right)\\ a_{ n }=\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( x \right) \cos { \left( nx \right)  } dx } =\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \left( { e }^{ x }+{ e }^{ -x } \right) \cos { \left( nx \right)  } dx } \\=\frac { 1 }{ 2\pi  } \left. \left[ { \frac { n\sin { \left( nx \right)  }  }{ n^{ 2 }+1 } \left( e^{ x }+{ e }^{ -x } \right)  }+\frac { \cos { \left( nx \right)  }  }{ n^{ 2 }+1 } \left( e^{ x }-{ e }^{ -x } \right)  \right]  \right| _{ -\pi  }^{ \pi  }\\ =\frac { 1 }{ 2\pi  } \times \frac { \cos { \left( n\pi  \right)  }  }{ n^{ 2 }+1 } \left( \left( e^{ \pi  }-{ e }^{ -\pi  } \right) -\left( e^{ -\pi  }-{ e }^{ \pi  } \right)  \right) =\frac { 1 }{ 2\pi  } \times \frac { \cos { \left( n\pi  \right)  }  }{ n^{ 2 }+1 } \times 2\left( e^{ \pi  }-{ e }^{ -\pi  } \right) =\frac { { \left( -1 \right)  }^{ n } }{ \left( n^{ 2 }+1 \right) \pi  } \left( e^{ \pi  }-{ e }^{ -\pi  } \right) \\ \Rightarrow f\left( x \right) =a_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ a_{ n }\cos { \left( nx \right)  }  } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2\pi  } \left({ e }^{ \pi  }-e^{-\pi}\right)+\frac { e^{ \pi  }-{ e }^{ -\pi  } }{ \pi  } \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -1 \right)  }^{ n } }{ \left( n^{ 2 }+1 \right)  } \cos { \left( nx \right)  }  } }$$

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解：
(一) $$A=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -5 \end{bmatrix}\Rightarrow det(A-\lambda I)=0\Rightarrow \begin{vmatrix} -1-\lambda  & 0 \\ 1 & -5-\lambda  \end{vmatrix}=0\Rightarrow \left( \lambda +1 \right) \left( \lambda +5 \right) =0\\ \Rightarrow 特徵值\lambda _{ 1 }=-1,\lambda _{ 2 }=-5\\ \lambda _{ 1 }=-1\Rightarrow \begin{bmatrix} -1+1 & 0 \\ 1 & -5+1 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow x_{ 1 }=4x_{ 2 },取u_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ \lambda _{ 2 }=-5\Rightarrow \begin{bmatrix} -1+5 & 0 \\ 1 & -5+5 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow x_{ 1 }=0,取u_{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ 答:\bbox[red,2pt]{特徵值為-1及-5，相對應的特徵向量為\left[ \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right] 及\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] }$$ (二) $$\\ P=\left[ \begin{matrix} u_{ 1 } & u_{ 2 } \end{matrix} \right] =\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow P^{ -1 }=\begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ -1/4 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow P^{ -1 }AP=\begin{bmatrix} \lambda _{ 1 } & 0 \\ 0 & \lambda _{ 2 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow 答:P=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 4 & 0 \\1 & 1 \end{bmatrix}}$$ (三) $$P^{ -1 }AP=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}\Rightarrow A=P\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}P^{ -1 }\Rightarrow A^{ 18 }=P\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}^{ 18 }P^{ -1 }=P\begin{bmatrix} { \left( -1 \right)  }^{ 18 } & 0 \\ 0 & { \left( -5 \right)  }^{ 18 } \end{bmatrix}P^{ -1 }\\ =\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & { 5 }^{ 18 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ -1/4 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & { 5 }^{ 18 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ -1/4 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \left( 1-{ 5 }^{ 18 } \right) /4 & { 5 }^{ 18 } \end{bmatrix}\\答: A^{18}=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \left( 1-{ 5 }^{ 18 } \right) /4 & { 5 }^{ 18 } \end{bmatrix}}$$

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解：
(一) $$\left| z \right| =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow z=0為單極點\Rightarrow \oint _{ c }{ f\left( z \right) dz } =2\pi i\times Res_{ z=0 }f\left( z \right) =2\pi i\times \lim _{ z\to 0 }{ \frac { 2 }{ z-1 }  } \\ =2\pi i\times \left( -2 \right) =\bbox[red,2pt]{-4\pi i}$$ (二) $$\left| z \right| =3\Rightarrow z=0,1為單極點\Rightarrow \oint _{ c }{ f\left( z \right) dz } =2\pi i\times \left( Res_{ z=0 }f\left( z \right) +Res_{ z=1 }f\left( z \right)  \right) \\ =2\pi i\times \left( \lim _{ z\to 0 }{ \frac { 2 }{ z-1 }  } +\lim _{ z\to 1 }{ \frac { 2 }{ z }  }  \right) =2\pi i\times \left( -2+2 \right) =\bbox[red,2pt]{0}$$

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解：
(一) $$\int _{ w\ge 2 }^{  }{ f_{ W }\left( w \right) dw } =\int _{ 2 }^{ 3 }{ \left( 3-w \right) dw } =\left. \left[ 3w-\frac { 1 }{ 2 } w^{ 2 } \right]  \right| _{ 2 }^{ 3 }=\left( 9-\frac { 9 }{ 2 }  \right) -\left( 6-2 \right) \\ =\frac { 9 }{ 2 } -4=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }}$$ (二) $$E\left( W \right) =\int { wf_{ W }\left( w \right) dw } =\int _{ 1 }^{ 2 }{ w\left( w-1 \right) dw } +\int _{ 2 }^{ 3 }{ w\left( 3-w \right) dw } \\ =\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left( w^{ 2 }-w \right) dw } +\int _{ 2 }^{ 3 }{ \left( 3w-w^{ 2 } \right) dw } =\left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } w^{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } w^{ 2 } \right]  \right| _{ 1 }^{ 2 }+\left. \left[ \frac { 3 }{ 2 } w^{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } w^{ 3 } \right]  \right| _{ 2 }^{ 3 }\\ =\left( \frac { 8 }{ 3 } -2 \right) -\left( \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2 }  \right) +\left( \frac { 27 }{ 2 } -9 \right) -\left( 6-\frac { 8 }{ 3 }  \right) =\frac { 2 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 6 } +\frac { 9 }{ 2 } -\frac { 10 }{ 3 } \\ =\frac { 12 }{ 6 } =\bbox[red,2pt]{2}分鐘$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考