105年公務人員高等考試三級考試
類科別:電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程
科 目:工程數學
類科別:電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程
科 目:工程數學
甲、申論題部份:(50分)
解:A=[0210]⇒A2=[0210][0210]=[2002]為一對角矩陣A49=A(A2)24=A[22400224]=[0210][22400224]=[02252240]
解:
a0=1L∫L0f(x)dx=1L(∫L/202kLxdx+∫LL/22kL(L−x)dx)=2kL2∫L/20xdx+2kL∫LL/2dx−2kL2∫LL/2xdx=2kL2[12x2]|L/20+2kL×L2−2kL2[12x2]|LL/2=2kL2×18L2+k−kL2×34L2=k4+k−34k=k2⇒a0=k2 an=2L(∫L/202kLxcosnπLxdx+∫LL/22kL(L−x)cosnπLxdx)=4kL2∫L/20xcosnπLxdx+4kL∫LL/2cosnπLxdx−4kL2∫LL/2xcosnπLxdx=4kL2[LnπxsinnπLx+L2n2π2cosnπLx]|L/20+4kL[LnπsinnπLx]|LL/2−4kL2[LnπxsinnπLx+L2n2π2cosnπLx]|LL/2=4kL2(L22nπsinnπ2+L2n2π2cosnπ2−L2n2π2)+4kL(−Lnπsinnπ2)−4kL2(L2n2π2cosnπ−L22nπsinnπ2−L2n2π2cosnπ2)=(2knπ−4knπ+2knπ)sinnπ2+(4kn2π2+4kn2π2)cosnπ2−4kn2π2cosnπ−4kn2π2=8kn2π2cosnπ2−4kn2π2cosnπ−4kn2π2=4kn2π2(2cosnπ2−cosnπ−1)⇒an=4kn2π2(2cosnπ2−cosnπ−1)
解:假設{A=(1,6,1)B=(−2,4,2)C=(3,0,0)D=(2,2,−4)⇒{→AB=(−3,−2,−4)→AC=(2,−6,−1)→AD=(1,−4,−5)⇒體積=‖−3−2−42−6−11−4−5‖=|−90+32+2−24−20+12|=88
解:E(Y)=E(0.5X2)=∫∞−∞0.5x2e−2|x|dx=2∫∞00.5x2e−2xdx=∫∞0x2e−2xdx=[−12x2e−2x−12xe−2x−14e−2x]|∞0=0−(−14)=14,故選(A)
解:F=(rcosθ,rsinθ)=(3cos(0.3π),3sin(0.3π))=3cos(0.3π)i+3sin(0.3π)j,故選(A)
解:{x=4cosθ+1y=2z=4sinθ+1⇒{x′=−4sinθy′=0z′=4cosθ⇒{x″=−4cosθy″=0z″=−4sinθ⇒曲率=√(z″y−z′y″)2+(x″z′−x′z″)2+(x″y′−x′y″)2(x′2+y′2+z′2)3/2=16(16)3/2=4243=14,故選(D)
解:{x(t)=t2y(t)=t⇒{dx=2tdtdy=dt⇒∫Cxydx−ysin(x)dy=∫4−12t4−tsin(t2)dt=[25t5+12cos(t2)]|4−1=(20485+12cos(16))−(−25+12cos(1))=20505+12cos(16)−12cos(1)=410+12cos(16)−12cos(1),故選(D)
解:A=[4812579362]⇒det(A)=84⇒A−1=184[|7962|−|81262||81279|−|5932||41232|−|41259||5736|−|4836||4857|]=184[−4056−1217−282490−12],故選(A)
解:A=[1−112032−41]⇒det(A)=0−8−6+0+2+12=0⇒沒有反矩陣,故選(C)
解:A=P[100−1]P−1⇒A37=P[13700(−1)37]P−1=P[100−1]P−1=A,故選(D)
解:det(−3A)=det(−3IA)=det(−3I)A×det(A)=(−3)3×(−2)=54,故選(C)
解:cosz=1−12!z2+14!z4−16!z6+⋯⇒cos1z=1−12!z2+14!z4−16!z6+⋯⇒z2cos1z=z2−12!+14!z2−16!z4+⋯⇒z=0的留數為−12!=−0.5,故選(B)
解:級數微分,其收斂半徑不變,故選(A)
解:z=0為simple pole⇒∫Ce1/zdz=2πi×1=2πi,故選(C)
解:f(t)=L−1{1s(s2+a2)}=L−1{1a2(1s−ss2+a2)}=1a2(L−1{1s}−L−1{ss2+a2})=1a2(1−cos(at)),故選(A)
解:y″−4y′+4y=e2xx⇒{y1=e2xy2=xe2x⇒{y′1=2e2xy′2=e2x+2xe2x⇒W=|y1y2y′1y′2|=|e2xxe2x2e2xe2x+2xe2x|=e4x⇒yp(x)=−y1∫y2r(x)Wdx+y2∫y1r(x)Wdx=−e2x∫xe2xe2xxe4xdx+xe2x∫e2xe2xxe4xdx=−e2x∫1dx+xe2x∫1xdx=−xe2x+xlnxe2x⇒y=c1y1+c2y2+yp=c1e2x+c2xe2x−xe2x+xlnxe2x=c1e2x+c2xe2x+xlnxe2x=(c1+c2x+xlnx)e2x,故選(D)
解:f(x)=e−|x|⇒f(−x)=f(x)⇒f(x)為偶函數⇒F(ω)=1√2π∫∞−∞f(x)e−iωxdx=2√2π∫∞0f(x)cosωxdx=2√2π∫∞2e−xcosωxdx=2√2π⋅11+ω2=√2π11+ω2,故選(D)
解:uxx−uxy−2uyy=0⇒1−λ−2λ2=0⇒(2λ−1)(λ+1)=0⇒λ1=−1,λ2=12⇒u(x,y)=f(x+λ1y)+g(x+λ2y)=f(x−y)+g(x+12y)=f(y−x)+g(2x+y),故選(B)
解:f(x)=L−1{1s(s2+1)}=L−1{1s−ss2+1}=L−1{1s}−L−1{ss2+1}=1−cost⇒limt→∞f(x)=limt→∞(1−cost)不存在,故選(D)
解:d4ydx4−23d3ydx3+19d2ydx2=0⇒λ4−23λ3+19λ2=0⇒λ2(λ2−23λ+19)=0⇒λ2(λ−13)2=0⇒y=(C1+C2x)e0x+(C3+C4x)e13x=C1+C2x+C3e13x+C4xe13x,故選(B)
解:
C3,C4,C5為串連,所以接通的機率為14×13×12=124;C1,C2為並連,所以接通的機率為16×45+56×15+16×15=13;因此整體接通的機率為124×13=172,故選(A)
解:
因此機率為2×C134C524=224165,故選(A)
解:
兩向量正交,必定互相垂直,所以內積為0,故選(B)
考選部未公布申論題答案,解題僅供參考
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