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2018年11月2日 星期五

105年公務人員高等考試三級考試--工程數學詳解


105年公務人員高等考試三級考試

類科別:電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程
科        目:工程數學
甲、申論題部份:(50分)

limn|an+1an|=limn|2n+1n+2(z1+2i)2(n+1)2nn+1(z1+2i)2n|=limn|2(n+1)(z1+2i)2n+2|<12(z1+2i)2|z1+2i|<12|zz0|<12R=12



A=[0210]A2=[0210][0210]=[2002]A49=A(A2)24=A[22400224]=[0210][22400224]=[02252240]



a0=1LL0f(x)dx=1L(L/202kLxdx+LL/22kL(Lx)dx)=2kL2L/20xdx+2kLLL/2dx2kL2LL/2xdx=2kL2[12x2]|L/20+2kL×L22kL2[12x2]|LL/2=2kL2×18L2+kkL2×34L2=k4+k34k=k2a0=k2 an=2L(L/202kLxcosnπLxdx+LL/22kL(Lx)cosnπLxdx)=4kL2L/20xcosnπLxdx+4kLLL/2cosnπLxdx4kL2LL/2xcosnπLxdx=4kL2[LnπxsinnπLx+L2n2π2cosnπLx]|L/20+4kL[LnπsinnπLx]|LL/24kL2[LnπxsinnπLx+L2n2π2cosnπLx]|LL/2=4kL2(L22nπsinnπ2+L2n2π2cosnπ2L2n2π2)+4kL(Lnπsinnπ2)4kL2(L2n2π2cosnπL22nπsinnπ2L2n2π2cosnπ2)=(2knπ4knπ+2knπ)sinnπ2+(4kn2π2+4kn2π2)cosnπ24kn2π2cosnπ4kn2π2=8kn2π2cosnπ24kn2π2cosnπ4kn2π2=4kn2π2(2cosnπ2cosnπ1)an=4kn2π2(2cosnπ2cosnπ1)


{A=(1,6,1)B=(2,4,2)C=(3,0,0)D=(2,2,4){AB=(3,2,4)AC=(2,6,1)AD=(1,4,5)=324261145=|90+32+22420+12|=88

乙、測驗題部分:(50分)

E(Y)=E(0.5X2)=0.5x2e2|x|dx=200.5x2e2xdx=0x2e2xdx=[12x2e2x12xe2x14e2x]|0=0(14)=14(A)


F=(rcosθ,rsinθ)=(3cos(0.3π),3sin(0.3π))=3cos(0.3π)i+3sin(0.3π)j(A)


{x=4cosθ+1y=2z=4sinθ+1{x=4sinθy=0z=4cosθ{x=4cosθy=0z=4sinθ=(zyzy)2+(xzxz)2+(xyxy)2(x2+y2+z2)3/2=16(16)3/2=4243=14(D)


{x(t)=t2y(t)=t{dx=2tdtdy=dtCxydxysin(x)dy=412t4tsin(t2)dt=[25t5+12cos(t2)]|41=(20485+12cos(16))(25+12cos(1))=20505+12cos(16)12cos(1)=410+12cos(16)12cos(1)(D)


A=[4812579362]det(A)=84A1=184[|7962||81262||81279||5932||41232||41259||5736||4836||4857|]=184[4056121728249012](A)


A=[111203241]det(A)=086+0+2+12=0(C)


A=P[1001]P1A37=P[13700(1)37]P1=P[1001]P1=A(D)


det(3A)=det(3IA)=det(3I)A×det(A)=(3)3×(2)=54(C)


cosz=112!z2+14!z416!z6+cos1z=112!z2+14!z416!z6+z2cos1z=z212!+14!z216!z4+z=012!=0.5(B)


:級數微分,其收斂半徑不變,故選(A)


z=0simple poleCe1/zdz=2πi×1=2πi(C)



f(t)=L1{1s(s2+a2)}=L1{1a2(1sss2+a2)}=1a2(L1{1s}L1{ss2+a2})=1a2(1cos(at))(A)


y4y+4y=e2xx{y1=e2xy2=xe2x{y1=2e2xy2=e2x+2xe2xW=|y1y2y1y2|=|e2xxe2x2e2xe2x+2xe2x|=e4xyp(x)=y1y2r(x)Wdx+y2y1r(x)Wdx=e2xxe2xe2xxe4xdx+xe2xe2xe2xxe4xdx=e2x1dx+xe2x1xdx=xe2x+xlnxe2xy=c1y1+c2y2+yp=c1e2x+c2xe2xxe2x+xlnxe2x=c1e2x+c2xe2x+xlnxe2x=(c1+c2x+xlnx)e2x(D)



f(x)=e|x|f(x)=f(x)f(x)F(ω)=12πf(x)eiωxdx=22π0f(x)cosωxdx=22π2excosωxdx=22π11+ω2=2π11+ω2(D)


uxxuxy2uyy=01λ2λ2=0(2λ1)(λ+1)=0λ1=1,λ2=12u(x,y)=f(x+λ1y)+g(x+λ2y)=f(xy)+g(x+12y)=f(yx)+g(2x+y)(B)


f(x)=L1{1s(s2+1)}=L1{1sss2+1}=L1{1s}L1{ss2+1}=1costlimtf(x)=limt(1cost),(D)


d4ydx423d3ydx3+19d2ydx2=0λ423λ3+19λ2=0λ2(λ223λ+19)=0λ2(λ13)2=0y=(C1+C2x)e0x+(C3+C4x)e13x=C1+C2x+C3e13x+C4xe13x(B)



C3,C4,C5為串連,所以接通的機率為14×13×12=124C1,C2為並連,所以接通的機率為16×45+56×15+16×15=13;因此整體接通的機率為124×13=172,故選(A)



13張黑桃取出4張有C134取法,機率為C134C524;同理13張紅桃取出4張有C134取法,機率為C134C524
因此機率為2×C134C524=224165,故選(A)



兩向量正交,必定互相垂直,所以內積為0,故選(B)


考選部未公布申論題答案,解題僅供參考

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