104年地方特考-工程數學詳解

104年特種考試地方政府公務人員考試

等別：三等考試
類 科 ：電力工程、電子工程、電信工程
科 目：工程數學

解： $$\frac { x^{ 2 } }{ 4 } +y^{ 2 }=1\Rightarrow \frac { x }{ 2 } +2yy'=0\Rightarrow y'=-\frac { x }{ 4y } \Rightarrow y'\left( \sqrt { 2 }  \right) =-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 4y\left( \sqrt { 2 }  \right)  } =-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 4\times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  } \\ =-\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow 過\left( \sqrt { 2 } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  \right) ,斜率-\frac { 1 }{ 2 } 的切線方程式為y-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } =-\frac { 1 }{ 2 } \left( x-\sqrt { 2 }  \right) \\ \Rightarrow y=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } -\frac { 1 }{ 2 } \left( x-\sqrt { 2 }  \right) \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=\sqrt { 2 } -\frac { 1 }{ 2 } x }$$

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解： $$\left| \begin{matrix} x^{ 2 } & x+1 & 3 \\ 1 & 2x-1 & x^{ 3 } \\ 0 & x & -2 \end{matrix} \right| =-2x^{ 2 }(2x-1)+3x+2(x+1)-x^{ 6 }=-x^{ 6 }-4x^{ 3 }+2x^{ 2 }+5x+2\\ \Rightarrow \frac { d }{ dx } \left| A \right| =\bbox[red,2pt]{ -6x^{ 5 }-12x^{ 2 }+4x+5 }$$

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解：
假設產品共有$N$個，則來自$A、B及C$方法的數量分別為$0.3N, 0.2N及0.5N$；又依各方法瑕疵比率，各方法的瑕疵數分別為$0.3N\times 0.01=0.003N, 0.2N\times 0.03=0.006N$及$0.5N\times 0.02=0.01N$，因此瑕疵品來自C生產方法的機率最高。

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解： $$\sin { z } =-i\Rightarrow \frac { { e }^{ iz }-{ e }^{ -iz } }{ 2i } =-i\Rightarrow { e }^{ iz }-2-{ e }^{ -iz }=0\Rightarrow { e }^{ 2iz }-2{ e }^{ iz }-1=0\\ \Rightarrow t^{ 2 }-2t-1=0\left( t={ e }^{ iz } \right) \Rightarrow t=1\pm \sqrt { 2 } \\ 當{ e }^{ iz }={ e }^{ i\left( x+yi \right)  }={ e }^{ -y+ix }=1+\sqrt { 2 } \Rightarrow { \begin{cases} { e }^{ -y }=1+\sqrt { 2 }  \\ { e }^{ ix }=0 \end{cases} }\Rightarrow \begin{cases} y=-\ln { \left( 1+\sqrt { 2 }  \right)  }  \\ x=2k\pi  \end{cases}\\ \Rightarrow z=2k\pi -i\ln { \left( 1+\sqrt { 2 }  \right)  } \\ 當{ e }^{ iz }={ e }^{ -y+ix }=1-\sqrt { 2 } =\left( \sqrt { 2 } -1 \right) \left( -1 \right) \Rightarrow { \begin{cases} { e }^{ -y }=\sqrt { 2 } -1 \\ { e }^{ ix }=-1 \end{cases} }\Rightarrow \begin{cases} y=-\ln { \left( \sqrt { 2 } -1 \right)  }  \\ x=\left( 2k+1 \right) \pi  \end{cases}\\ \Rightarrow z=\left( 2k+1 \right) \pi -i\ln { \left( \sqrt { 2 } -1 \right)  } \\因此 \bbox[red,2pt]{z=2k\pi -i\ln { \left( \sqrt { 2 } +1 \right)  } 或\left( 2k+1 \right) \pi -i\ln { \left( \sqrt { 2 } -1 \right)  }},其中k為整數$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$\begin{cases} \vec { a } =\left( a_{ 1 },a_{ 2 },a_{ 3 } \right)  \\ \vec { b } =\left( b_{ 1 },b_{ 2 },b_{ 3 } \right)  \\ \vec { c } =\left( c_{ 1 },c_{ 2 },c_{ 3 } \right)  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \vec { a } \cdot \left( \vec { b } \times \vec { c }  \right) =\left( a_{ 1 },a_{ 2 },a_{ 3 } \right) \cdot \left| \begin{matrix} \vec { i }  & \vec { j }  & \vec { k }  \\ b_{ 1 } & b_{ 2 } & b_{ 3 } \\ c_{ 2 } & c_{ 2 } & c_{ 3 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} a_{ 1 } & a_{ 2 } & a_{ 3 } \\ b_{ 1 } & b_{ 2 } & b_{ 3 } \\ c_{ 2 } & c_{ 2 } & c_{ 3 } \end{matrix} \right|  \\ \left( \vec { a } \times \vec { b }  \right) \cdot \vec { c } =\left| \begin{matrix} \vec { i }  & \vec { j }  & \vec { k }  \\ a_{ 1 } & a_{ 2 } & a_{ 3 } \\ b_{ 2 } & b_{ 2 } & b_{ 3 } \end{matrix} \right| \cdot \left( c_{ 1 },c_{ 2 },c_{ 3 } \right) =\left| \begin{matrix} a_{ 1 } & a_{ 2 } & a_{ 3 } \\ b_{ 1 } & b_{ 2 } & b_{ 3 } \\ c_{ 2 } & c_{ 2 } & c_{ 3 } \end{matrix} \right|  \end{cases}\\ \Rightarrow \vec { a } \cdot \left( \vec { b } \times \vec { c }  \right) =\left( \vec { a } \times \vec { b }  \right) \cdot \vec { c } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec { F } =\left( f_{ 1 },f_{ 2 },f_{ 3 } \right)  \\ \vec { G } =\left( g_{ 1 },g_{ 2 },g_{ 3 } \right)  \\ \vec { H } =\left( h_{ 1 },h_{ 2 },h_{ 3 } \right)  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left[ \vec { F } ,\vec { G } ,\vec { H }  \right] =\vec { F } \cdot \left( \vec { G } \times \vec { H }  \right) =\left| \begin{matrix} f_{ 1 } & f_{ 2 } & f_{ 3 } \\ g_{ 1 } & g_{ 2 } & g_{ 3 } \\ h_{ 2 } & h_{ 2 } & h_{ 3 } \end{matrix} \right|  \\ \left[ \vec { G } ,\vec { F } ,\vec { H }  \right] =\vec { G } \cdot \left( \vec { F } \times \vec { H }  \right) =\left| \begin{matrix} g_{ 1 } & g_{ 2 } & g_{ 3 } \\ f_{ 1 } & f_{ 2 } & f_{ 3 } \\ h_{ 2 } & h_{ 2 } & h_{ 3 } \end{matrix} \right| =-\left| \begin{matrix} f_{ 1 } & f_{ 2 } & f_{ 3 } \\ g_{ 1 } & g_{ 2 } & g_{ 3 } \\ h_{ 2 } & h_{ 2 } & h_{ 3 } \end{matrix} \right|  \end{cases}\\ \Rightarrow \left[ \vec { F } ,\vec { G } ,\vec { H }  \right] =-\left[ \vec { G } ,\vec { F } ,\vec { H }  \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(B}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =1+4=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y''+4y=8x^{ 2 }\Rightarrow \lambda ^{ 2 }+4=0\Rightarrow \lambda =\pm 2i\Rightarrow y_{ h }=C_{ 1 }\cos { 2x } +C_{ 2 }\sin { 2x } \\ y_{ p }=Ax^{ 2 }+Bx+c\Rightarrow y=y_{ h }+y_{ p }=C_{ 1 }\cos { 2x } +C_{ 2 }\sin { 2x } +Ax^{ 2 }+Bx+c，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( z \right) =\frac { z^{ 2 }-3z-4 }{ z^{ 3 }-4z^{ 2 }+z-4 } =\frac { \left( z-4 \right) \left( z+1 \right)  }{ \left( z^{ 2 }+1 \right) \left( z-4 \right)  } =\frac { z+1 }{ z^{ 2 }+1 } =\frac { z+1 }{ \left( z+i \right) \left( z-i \right)  }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$z=1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } +i\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  \right) =\sqrt { 2 } \left( \cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } +i\sin { \frac { \pi  }{ 4 }  }  \right) ={ e }^{ \ln { \sqrt { 2 }  }  }{ e }^{ i\frac { \pi  }{ 4 }  }\\ ={ e }^{ \ln { \sqrt { 2 }  } +i\frac { \pi  }{ 4 }  }\Rightarrow \ln { z } =\ln { \sqrt { 2 }  } +i\frac { \pi  }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} 8-\lambda  & 20 & 0 \\ -2 & \alpha -\lambda  & 0 \\ -6 & -12 & -2-\lambda  \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 8-2 & 20 & 0 \\ -2 & \alpha -2 & 0 \\ -6 & -12 & -2-2 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 6 & 20 & 0 \\ -2 & \alpha -2 & 0 \\ -6 & -12 & -4 \end{matrix} \right| =0\\ \Rightarrow -24\left( \alpha -2 \right) -160=0\Rightarrow \alpha -2=-\frac { 160 }{ 24 } \Rightarrow \alpha =2-\frac { 20 }{ 3 } =-\frac { 14 }{ 3 }  ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} 2-\lambda  & 0 & 2 \\ 0 & 2-\lambda  & 0 \\ 2 & 0 & 2-\lambda  \end{matrix} \right| =-{ \left( \lambda -2 \right)  }^{ 3 }-4\left( 2-\lambda  \right) =0\Rightarrow { \left( \lambda -2 \right)  }^{ 3 }-4\left( \lambda -2 \right) =0\\ \Rightarrow \left( \lambda -2 \right) \left( { \left( \lambda -2 \right)  }^{ 2 }-4 \right) =0\Rightarrow \lambda \left( \lambda -2 \right) \left( \lambda -4 \right) =0\Rightarrow \lambda =0,2,4\\ \lambda _{ 1 }=2\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2-2 & 0 & 2 \\ 0 & 2-2 & 0 \\ 2 & 0 & 2-2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ z=0 \end{cases}\Rightarrow 取x_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} x+p & y+q & z+r \\ -p & -q & -r \\ 4a & 4b & 4c \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} x+p & y+q & z+r \\ 4a & 4b & 4c \\ p & q & r \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} x & y & z \\ 4a & 4b & 4c \\ p & q & r \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} p & q & r \\ 4a & 4b & 4c \\ p & q & r \end{matrix} \right| \\ =\left| \begin{matrix} x & y & z \\ 4a & 4b & 4c \\ p & q & r \end{matrix} \right| =4\times \left| \begin{matrix} x & y & z \\ a & b & c \\ p & q & r \end{matrix} \right| =4\times 7=28，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left[ \begin{matrix} \cosh { \left( a\theta  \right)  }  & \sinh { \left( a\theta  \right)  }  \\ \sinh { \left( a\theta  \right)  }  & \cosh { \left( a\theta  \right)  }  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cosh { \left( b\theta  \right)  }  & \sinh { \left( b\theta  \right)  }  \\ \sinh { \left( b\theta  \right)  }  & \cosh { \left( b\theta  \right)  }  \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} \cosh { \left( a\theta  \right)  } \cosh { \left( b\theta  \right)  } +\sinh { \left( a\theta  \right)  } \sinh { \left( b\theta  \right)  }  & \cosh { \left( a\theta  \right)  } \sinh { \left( b\theta  \right)  } +\sinh { \left( a\theta  \right)  } \cosh { \left( b\theta  \right)  }  \\ \cosh { \left( b\theta  \right)  } \sinh { \left( b\theta  \right)  } +\cosh { \left( a\theta  \right)  } \sinh { \left( b\theta  \right)  }  & \sinh { \left( a\theta  \right)  } \sinh { \left( b\theta  \right)  } +\cosh { \left( a\theta  \right)  } \cosh { \left( b\theta  \right)  }  \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} \cosh { \left( a\theta +b\theta  \right)  }  & \sinh { \left( a\theta +b\theta  \right)  }  \\ \sinh { \left( b\theta +a\theta  \right)  }  & \cosh { \left( a\theta +b\theta  \right)  }  \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \cosh { \left( \left( a+b \right) \theta  \right)  }  & \sinh { \left( \left( a+b \right) \theta  \right)  }  \\ \sinh { \left( \left( a+b \right) \theta  \right)  }  & \cosh { \left( \left( a+b \right) \theta  \right)  }  \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \cosh { \left( \theta  \right)  }  & \sinh { \left( \theta  \right)  }  \\ \sinh { \left( \theta  \right)  }  & \cosh { \left( \theta  \right)  }  \end{matrix} \right] ^{ n }=\left[ \begin{matrix} \cosh { \left( n\theta  \right)  }  & \sinh { \left( n\theta  \right)  }  \\ \sinh { \left( n\theta  \right)  }  & \cosh { \left( n\theta  \right)  }  \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$f\left( z \right) =\frac { 1 }{ 3-z } =\frac { 1 }{ 2-\left( z-1 \right)  } =\frac { 1 }{ 2\left( 1-\frac { z-1 }{ 2 }  \right)  } =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { 1 }{ 1-\frac { z-1 }{ 2 }  } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( 1+\frac { z-1 }{ 2 } +{ \left( \frac { z-1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { z-1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+\cdots +{ \left( \frac { z-1 }{ 2 }  \right)  }^{ n }+\cdots  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } { \left( z-1 \right)  }^{ 0 }+\frac { 1 }{ 2^{ 2 } } { \left( z-1 \right)  }^{ 1 }+\cdots +\frac { 1 }{ 2^{ n+1 } } { \left( z-1 \right)  }^{ n }+\cdots \\ \Rightarrow a_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } \neq 1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\int _{ C }{ \frac { z }{ \left( 9-{ z }^{ 2 } \right) \left( z+i \right)  } dz } =\int _{ C }{ \frac { f\left( z \right)  }{ \left( z+i \right)  } dz } =2\pi i\times f\left( -i \right) =2\pi i\times \frac { -i }{ 9-{ \left( -i \right)  }^{ 2 } } \\ =2\pi i\times \frac { -i }{ 10 } =\frac { \pi  }{ 5 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\frac { d^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } } +y=\delta \left( t-\pi  \right) \Rightarrow L\left\{ \frac { d^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } }  \right\} +L\left\{ y \right\} =L\left\{ \delta \left( t-\pi  \right)  \right\} \\ \Rightarrow s^{ 2 }L\left\{ y \right\} -sy\left( 0 \right) -y'\left( 0 \right) +L\left\{ y \right\} ={ e }^{ -\pi s }\Rightarrow L\left\{ y \right\} =\frac { { e }^{ -\pi s } }{ s^{ 2 }+1 } \\ \Rightarrow y\left( t \right) =L^{ -1 }\left\{ \frac { { e }^{ -\pi s } }{ s^{ 2 }+1 }  \right\} =\sin { \left( t-\pi  \right)  } u\left( t-\pi  \right) \Rightarrow y\left( \frac { 3\pi  }{ 2 }  \right) =\sin { \left( \frac { 3\pi  }{ 2 } -\pi  \right)  } u\left( \frac { 3\pi  }{ 2 } -\pi  \right) \\ =\sin { \left( \frac { \pi  }{ 2 }  \right)  } u\left( \frac { \pi  }{ 2 }  \right) =1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$L\left\{ \cos ^{ 2 }{ \left( t \right)  }  \right\} =L\left\{ \frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( 2t \right) +\frac { 1 }{ 2 }  }  \right\} =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { s }{ s^{ 2 }+2^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { 1 }{ s } \\ =\frac { s }{ 2s^{ 2 }+8 } +\frac { 1 }{ 2s } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$y=a+bx+cx^{ 2 }+dx^{ 3 }+\frac { x^{ 4 } }{ 2! } +\frac { x^{ 6 } }{ 3! } +\frac { x^{ 8 } }{ 4! } +\cdots \\ \Rightarrow \begin{cases} y'=b+2cx+3dx^{ 2 }+\frac { 4x^{ 3 } }{ 2! } +\frac { 6x^{ 5 } }{ 3! } +\frac { 8x^{ 7 } }{ 4! } +\cdots  \\ 2xy=2ax+2bx^{ 2 }+2cx^{ 3 }+2dx^{ 4 }+\frac { 2x^{ 5 } }{ 2! } +\frac { 2x^{ 7 } }{ 3! } +\frac { 2x^{ 9 } }{ 4! } +\cdots  \end{cases}\\ y'=2xy\Rightarrow \begin{cases} b=0 \\ a=c \\ d=2b/3=0 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$p\left( x \right) =\frac { { \lambda  }^{ x }{ e }^{ -\lambda  } }{ x! } \Rightarrow 1-p\left( 0 \right) -p\left( 1 \right) =1-{ e }^{ -\lambda  }-\lambda { e }^{ -\lambda  }\\ =1-{ e }^{ -2 }-2{ e }^{ -2 }=\frac { { e }^{ 2 }-3 }{ { e }^{ 2 } } =\frac { 7.39-3 }{ 7.39 } \approx 0.6 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\sum _{ X,Y }{ p\left( x,y \right) } =1\Rightarrow 2c+5c+5c+8c=1 \Rightarrow 20c=1\Rightarrow c=\frac{1}{20}=0.05，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
假設產品有$N$個，則來自機器A和B的數量為$0.4N$及$0.6N$ ，又其中分別有$0.4N\times 0.02=0.008N$及$0.6N\times 0.03=0.018N$個瑕疵品。因此B生產的瑕疵品占全部瑕疵品的比例為$\frac{0.018N}{0.008N+0.018N}=\frac{18}{26}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

本題相當求上圖棕色區域面積，即$\int_0^1{\frac{x^2}{8}dx}=\frac{1}{24}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$y''\left( t \right) +4y'\left( t \right) +4y\left( t \right) =4\Rightarrow \lambda ^{ 2 }+4\lambda +4=0\Rightarrow (\lambda +2)^{ 2 }=0\Rightarrow \lambda =-2\\ \Rightarrow y_{ h }=C_{ 1 }e^{ -2x }+C_{ 2 }xe^{ -2x }\Rightarrow y=y_{ h }+y_{ p }=C_{ 1 }e^{ -2x }+C_{ 2 }xe^{ -2x }+1\\ \Rightarrow \lim _{ t\to \infty  }{ a\left( t \right)  } =\lim _{ t\to \infty  }{ \left( C_{ 1 }e^{ -2x }+C_{ 2 }xe^{ -2x }+1 \right)  } =0+0+1=1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考