105年國安三等三等考試_電子組(選試英文)--工程數學詳解

105年公務人員特種考試司法人員、法務部調查局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試

考試別：國家安全情報人員
等    別：三等考試
類科組：電子組
科        目：工程數學

甲、申論題部份：(50分)

解： $$\nabla \times \vec { v } =\nabla \times \left( \vec { w } \times \vec { r }  \right) =\left( \vec { r } \cdot \nabla  \right) \vec { w } +\left( \nabla \cdot \vec { r }  \right) \vec { w } -\left( \nabla \cdot \vec { w }  \right) \vec { r } -\left( \vec { w } \cdot \nabla  \right) \vec { r }$$

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解：
(一) $$A=\begin{bmatrix} 2.5 & 0.5 \\ 0.5 & 2.5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5/2 & 1/2 \\ 1/2 & 5/2 \end{bmatrix}\Rightarrow det(A-\lambda I)=0\Rightarrow \begin{vmatrix} 5/2-\lambda  & 1/2 \\ 1/2 & 5/2-\lambda  \end{vmatrix}=0\\ \Rightarrow \left( \lambda -\frac { 5 }{ 2 }  \right) ^{ 2 }-\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ 2 }=0\Rightarrow \left( \lambda -3 \right) \left( \lambda -2 \right) =0\Rightarrow \lambda =2,3\\ \lambda =2\Rightarrow \left( A-\lambda I \right) X=\begin{bmatrix} 5/2-2 & 1/2 \\ 1/2 & 5/2-2 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =0,\\取u_1=\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \\ \lambda =3\Rightarrow \left( A-\lambda I \right) X=\begin{bmatrix} 5/2-3 & 1/2 \\ 1/2 & 5/2-3 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{bmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =0,\\取u_2=\left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ 答:特徵值為\bbox[red,2pt]{2及3}，共對應的特徵向量分別為 \bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right] 及\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] }$$ (二) $$令P=\left[ \begin{matrix} u_{ 1 } & u_{ 2 } \end{matrix} \right] =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow P^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow P^{ -1 }AP=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}}$$

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解：
$$y''-4y=-7e^{ { 2x } }+x\Rightarrow 先求齊次解,\lambda ^{ 2 }-4=0\Rightarrow \lambda =\pm 2\Rightarrow y_{ h }=C_{ 1 }e^{ 2x }+C_{ 2 }e^{ -2x }\\ r\left( x \right) =-7e^{ { 2x } }+x\Rightarrow y_{ p }=Axe^{ { 2x } }+Bx+C\Rightarrow y'_{ p }=Ae^{ { 2x } }+2Axe^{ { 2x } }+B\Rightarrow y''_{ p }=4Ae^{ { 2x } }+4Axe^{ { 2x } }\\ \Rightarrow y''_{ p }-4y_{ p }=-7e^{ { 2x } }+x\Rightarrow 4Ae^{ { 2x } }+4Axe^{ { 2x } }-4\left( Axe^{ { 2x } }+Bx+C \right) =4Ae^{ { 2x } }-4Bx-4C=-7e^{ { 2x } }+x\\ \Rightarrow \begin{cases} 4A=-7 \\ -4B=1 \\ -4C=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=-7/4 \\ B=-1/4 \\ C=0 \end{cases}\Rightarrow y_{ p }=Axe^{ { 2x } }+Bx+C=-\frac { 7 }{ 4 } xe^{ { 2x } }-\frac { 1 }{ 4 } x\\ \Rightarrow y=y_{ h }+y_{ p }=C_{ 1 }e^{ 2x }+C_{ 2 }e^{ -2x }-\frac { 7 }{ 4 } xe^{ { 2x } }-\frac { 1 }{ 4 } x\Rightarrow y'=2C_{ 1 }e^{ 2x }-2C_{ 2 }e^{ -2x }-\frac { 7 }{ 4 } e^{ { 2x } }-\frac { 7 }{ 2 } xe^{ { 2x } }-\frac { 1 }{ 4 } \\ \begin{cases} y\left( 0 \right) =1 \\ y'\left( 0 \right) =3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 1 }+C_{ 2 }=1 \\ 2C_{ 1 }-2C_{ 2 }-\frac { 7 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } =3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 1 }=7/4 \\ C_{ 2 }=-3/4 \end{cases}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=\frac { 7 }{ 4 } e^{ 2x }-\frac { 3 }{ 4 } e^{ -2x }-\frac { 7 }{ 4 } xe^{ { 2x } }-\frac { 1 }{ 4 } x}$$ 另解(參數變換法variation of parameters) $$\begin{cases} y_{ 1 }=e^{ 2x } \\ y_{ 2 }=e^{ -2x } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y'_{ 1 }=2e^{ 2x } \\ y'_{ 2 }=-2e^{ -2x } \end{cases}\Rightarrow W=\begin{vmatrix} y_{ 1 } & y_{ 2 } \\ y'_{ 1 } & y'_{ 2 } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} e^{ 2x } & e^{ -2x } \\ 2e^{ 2x } & -2e^{ -2x } \end{vmatrix}=-2-2=-4\\ \Rightarrow y_{ p }=-y_{ 1 }\int { \frac { y_{ 2 }r\left( x \right)  }{ W } dx } +y_{ 2 }\int { \frac { y_{ 1 }r\left( x \right)  }{ W } dx } =-e^{ 2x }\int { \frac { e^{ -2x }\left( -7{ e }^{ 2x }+x \right)  }{ -4 } dx } +e^{ -2x }\int { \frac { e^{ 2x }\left( -7{ e }^{ 2x }+x \right)  }{ -4 } dx } \\ =-e^{ 2x }\int { \left( \frac { 7 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } xe^{ -2x } \right) dx } +e^{ -2x }\int { \left( \frac { 7 }{ 4 } { e }^{ 4x }-\frac { 1 }{ 4 } xe^{ 2x } \right) dx } \\ =-e^{ 2x }\left( \frac { 7 }{ 4 } x-\frac { 1 }{ 4 } \left( -\frac { 1 }{ 2 } xe^{ -2x }-\frac { 1 }{ 4 } e^{ -2x } \right)  \right) +e^{ -2x }\left( \frac { 7 }{ 16 } { e }^{ 4x }-\frac { 1 }{ 4 } \left( \frac { 1 }{ 2 } xe^{ 2x }-\frac { 1 }{ 4 } e^{ 2x } \right)  \right) \\ =-\frac { 7 }{ 4 } xe^{ 2x }+\frac { 7 }{ 16 } e^{ 2x }-\frac { 1 }{ 4 } x\\ \Rightarrow y=y_{ h }+y_{ p }=C_{ 1 }e^{ 2x }+C_{ 2 }e^{ -2x }-\frac { 7 }{ 4 } xe^{ 2x }+\frac { 7 }{ 16 } e^{ 2x }-\frac { 1 }{ 4 } x=C_{ 1 }e^{ 2x }+C_{ 2 }e^{ -2x }-\frac { 7 }{ 4 } xe^{ 2x }-\frac { 1 }{ 4 } x\\ \Rightarrow y'=2C_{ 1 }e^{ 2x }-2C_{ 2 }e^{ -2x }-\frac { 7 }{ 4 } e^{ { 2x } }-\frac { 7 }{ 2 } xe^{ { 2x } }-\frac { 1 }{ 4 } \\ \begin{cases} y\left( 0 \right) =1 \\ y'\left( 0 \right) =3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 1 }=7/4 \\ C_{ 2 }=-3/4 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=\frac { 7 }{ 4 } e^{ 2x }-\frac { 3 }{ 4 } e^{ -2x }-\frac { 7 }{ 4 } xe^{ { 2x } }-\frac { 1 }{ 4 } x}$$ 另解(拉普拉斯轉換 Laplace Transform) $$L\left\{ y''-4y \right\} =L\left\{ -7e^{ 2x }+x \right\} =s^{ 2 }Y\left( s \right) -sy\left( 0 \right) -y'\left( 0 \right) -4Y\left( s \right) =\frac { -7 }{ s-2 } +\frac { 1 }{ s^{ 2 } } \\ \Rightarrow s^{ 2 }Y\left( s \right) -s-3-4Y\left( s \right) =\frac { -7 }{ s-2 } +\frac { 1 }{ s^{ 2 } } \Rightarrow \left( s^{ 2 }-4 \right) Y\left( s \right) =\frac { -7 }{ s-2 } +\frac { 1 }{ s^{ 2 } } +s+3\\ \Rightarrow Y\left( s \right) =\frac { -7 }{ \left( s^{ 2 }-4 \right) \left( s-2 \right)  } +\frac { 1 }{ s^{ 2 }\left( s^{ 2 }-4 \right)  } +\frac { s+3 }{ s^{ 2 }-4 } \\ =\frac { 7/4 }{ s-2 } +\frac { -3/4 }{ s+2 } +\frac { -7/4 }{ { \left( s-2 \right)  }^{ 2 } } +\frac { -1/4 }{ s^{ 2 } } \\ \Rightarrow y\left( x \right) =L^{ -1 }\left\{ \frac { 7/4 }{ s-2 } +\frac { -3/4 }{ s+2 } +\frac { -7/4 }{ { \left( s-2 \right)  }^{ 2 } } +\frac { -1/4 }{ s^{ 2 } }  \right\} \\ =\bbox[red,2pt]{\frac { 7 }{ 4 } { e }^{ 2x }-\frac { 3 }{ 4 } { e }^{ -2x }-\frac { 7 }{ 4 } x{ e }^{ 2x }-\frac { 1 }{ 4 } x}$$

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解： $$f_{ X }\left( x \right) =\int { f_{ X,Y }dy } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 6\left( x+y^{ 2 } \right)  }{ 5 } dy } =\left. \left[ \frac { 6\left( xy+\frac { 1 }{ 3 } y^{ 3 } \right)  }{ 5 }  \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }\\ =\frac { 6\left( x+\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }{ 5 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 6 }{ 5 } x+\frac { 2 }{ 5 } ,0\le x\le 1}\\ f_{ Y }\left( y \right) =\int { f_{ X,Y }dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 6\left( x+y^{ 2 } \right)  }{ 5 } dx } =\left. \left[ \frac { 6\left( \frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }+xy^{ 2 } \right)  }{ 5 }  \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }\\ =\frac { 6\left( \frac { 1 }{ 2 } +y^{ 2 } \right)  }{ 5 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 6 }{ 5 } y^{ 2 }+\frac { 3 }{ 5 } ,0\le y\le 1}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$A=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \Rightarrow 特徵值\lambda =\pm 1\\ \Rightarrow A=P^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] P\Rightarrow e^{ At }=P^{ -1 }\left[ \begin{matrix} e^{ t } & 0 \\ 0 & e^{ -t } \end{matrix} \right] P\\ \Rightarrow det\left( e^{ At } \right) =det\left( P^{ -1 }\left[ \begin{matrix} e^{ t } & 0 \\ 0 & e^{ -t } \end{matrix} \right] P \right) =det\left( P^{ -1 } \right) det\left( \left[ \begin{matrix} e^{ t } & 0 \\ 0 & e^{ -t } \end{matrix} \right]  \right) det\left( P \right) \\ =det\left( P^{ -1 } \right) \times 1\times det\left( P \right) =det\left( P^{ -1 }P \right) =det\left( I \right) =1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec { u } =\left( -3,4,1 \right)  \\ \vec { v } =\left( 0,-2,6 \right)  \end{cases}\Rightarrow 平行四邊形面積=\sqrt { { \left| \vec { u }  \right|  }^{ 2 }{ \left| \vec { v }  \right|  }^{ 2 }-{ \left( \vec { u } \cdot \vec { v }  \right)  }^{ 2 } } \\ =\sqrt { \left( 9+16+1 \right) \left( 0+4+36 \right) -{ \left( 0-8+6 \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { 26\times 40-4 } =\sqrt { 1036 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\left| \frac { 2+12-18+1 }{ \sqrt { 2^{ 2 }+3^{ 2 }+6^{ 2 } }  }  \right| =\frac { 3 }{ \sqrt { 49 }  } =\frac { 3 }{ 7 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 4 \end{matrix} \right] \Rightarrow \lambda =1,2,3,4\\ \lambda =1\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }+x_{ 2 }=0 \\ x_{ 4 }=0 \\ -2x_{ 3 }+3x_{ 4 }=0 \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \\ \lambda =2\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }+2x_{ 2 }=0 \\ x_{ 1 }=0 \\ -x_{ 3 }+x_{ 4 }=0 \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ \lambda =3\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} x_{ 2 }=0 \\ x_{ 1 }-x_{ 2 }=0 \\ -2x_{ 3 }+x_{ 4 }=0 \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 3 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] \\ \lambda =4\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }-2x_{ 2 }=0 \\ -3x_{ 3 }+x_{ 4 }=0 \\ x_{ 3 }=0 \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right] \xrightarrow [  ]{ (-1)r_{ 1 }+r_{ 3 } } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} \right] \xrightarrow [  ]{ (-2)r_{ 2 }+r_{ 3 },(-1)r_{ 2 }+r_{ 1 } } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow AX=0\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }+x_{ 3 }=0 \\ x_{ 2 }+x_{ 3 }=0 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$L=1時，不能僅極限值判定，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{matrix} \right] \Rightarrow A^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{matrix} \right] \Rightarrow A^{ 99 }=A，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $${ e }^{ -z+i }=1-i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } -i\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  \right) =\sqrt { 2 } \left( \cos { \left( -\frac { \pi  }{ 4 }  \right) +i\sin { \left( -\frac { \pi  }{ 4 }  \right)  }  }  \right) ={ e }^{ \ln { \sqrt { 2 }  }  }{ e }^{ -\frac { \pi  }{ 4 } i }\\ \Rightarrow -z+i=\ln { \sqrt { 2 }  } -\frac { \pi  }{ 4 } i\Rightarrow z=i+\frac { \pi  }{ 4 } i-\ln { \sqrt { 2 }  } =-\ln { \sqrt { 2 }  } +\left( 1+\frac { \pi  }{ 4 }  \right) i，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$z=1+i,w=1\Rightarrow \overline{zw}=\bar{z}=1-i\ne -z，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\frac { 1 }{ z^{ 2 }+4 } =\frac { 1 }{ \left( z+2i \right) \left( z-2i \right)  } \Rightarrow z=2i在C內,z=-2i不在C內\\ \Rightarrow \oint _{ C }{ \frac { 1 }{ z^{ 2 }+4 } dz } =\oint _{ C }{ \frac { f\left( z \right)  }{ z-2i } dz } =2\pi i\times f\left( 2i \right) =2\pi i\times \frac { 1 }{ 4i } =\frac { \pi  }{ 2 }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y'''+y''-4y'-4y=0\Rightarrow \lambda ^{ 3 }+\lambda ^{ 2 }-4\lambda -4=0\Rightarrow \lambda ^{ 2 }\left( \lambda +1 \right) -4\left( \lambda +1 \right) =0\\ \Rightarrow \left( \lambda ^{ 2 }-4 \right) \left( \lambda +1 \right) =0\Rightarrow \lambda =\pm 2,-1\Rightarrow y=c_{ 1 }e^{ -x }+c_{ 2 }e^{ -2x }+c_{ 3 }e^{ 2x }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$L\left\{ { e }^{ at }\cos { \omega t }  \right\} =\frac { s-a }{ { \left( s-a \right)  }^{ 2 }+{ \omega  }^{ 2 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$L\left\{ \left( t^{ 2 }+1 \right) u\left( t-2 \right)  \right\} ={ e }^{ -2s }L\left\{ \left( t+2 \right) ^{ 2 }+1 \right\} ={ e }^{ -2s }L\left\{ t^{ 2 }+4t+5 \right\} \\ ={ e }^{ -2s }\left( \frac { 2 }{ s^{ 3 } } +\frac { 4 }{ s^{ 2 } } +\frac { 5 }{ s }  \right) ={ e }^{ -2s }\left( \frac { 2+4s+5s^{ 2 } }{ s^{ 3 } }  \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y'=\frac { y+x }{ y-x } \Rightarrow \left( y-x \right) dy+\left( -x-y \right) dx=0,由於\frac { \partial  }{ \partial x } \left( y-x \right) =-1=\frac { \partial  }{ \partial y } \left( -x-y \right) ,所以此方程式為正合\\ \Rightarrow \begin{cases} u\left( x,y \right) =\int { \left( y-x \right) dy } +f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } y^{ 2 }-xy+f\left( x \right)  \\ u\left( x,y \right) =\int { \left( -x-y \right) dx } +g\left( y \right) =-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }-xy+g\left( y \right)  \end{cases}\Rightarrow u\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ 2 } y^{ 2 }-xy-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }=C\\ y\left( 0 \right) =-2\Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \times 4=C\Rightarrow C=2\Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } y^{ 2 }-xy-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }=2\Rightarrow y^{ 2 }-2xy-x^{ 2 }=4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ n\left( n-1 \right)  }  \right)  } =\sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ n-1 } -\frac { 1 }{ n }  \right)  } =\frac { 1 }{ 1 } -\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 } +\cdots =1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$y=x^{ p }\Rightarrow x^{ 2 }y''+4xy'-4y=x^{ 2 }p(p-1)x^{ p-2 }+4xpx^{ p-1 }-4x^{ p }=\left( p(p-1)+4p-4 \right) x^{ p }=0\\ \Rightarrow p^{ 2 }+3p-4=0\Rightarrow (p+4)(p-1)=0\Rightarrow p=-4,1\Rightarrow y=ax+bx^{ -4 }\\\Rightarrow m+n=1-4=-3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ c{ x }^{ 2 }{ e }^{ -x\left( y+z+2 \right)  }dydzdx }  }  } =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ c{ x }^{ 2 }{ { e }^{ -x\left( z+2 \right)  }e }^{ -xy }dydzdx }  }  } \\ =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ \left. \left[ -cx{ { e }^{ -x\left( z+2 \right)  }e }^{ -xy } \right]  \right| _{ 0 }^{ \infty  } } dzdx } =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ cx{ { e }^{ -x\left( z+2 \right)  } } } dzdx } =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ cx{ e }^{ -2x }{ { e }^{ -xz } } } dzdx } \\ =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \left. \left[ -c{ e }^{ -2x }{ { e }^{ -xz } } \right]  \right| _{ 0 }^{ \infty  }dx } =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ c{ e }^{ -2x }dx } =\left. \left[ -\frac { c }{ 2 } { e }^{ -2x } \right]  \right| _{ 0 }^{ \infty  }=\frac { c }{ 2 } =1\Rightarrow c=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
假設產品數量為$n$，則來自機器$B_1,B_2,B_3$生產的數量分別為$0.3n, 0.45n, 0.25n$，且其中瑕疵品的數量分別為$0.3n\times 0.02, 0.45n\times 0.03, 0.25n\times 0.02$，瑕疵品的總數為
$0.006n+0.0135n+0.005n=0.0245n$，因此取1個為瑕疵品的機率$0.0245n/n=0.0245$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

單獨一點的機率為0，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$y'=\frac { N\left( x,y \right)  }{ M\left( x,y \right)  } \Rightarrow M\left( x,y \right) dy-N\left( x,y \right) dx=0\Rightarrow \mu \left( x,y \right) M\left( x,y \right) -\mu \left( x,y \right) N\left( x,y \right) dx=0\\ \Rightarrow \frac { \partial  }{ \partial x } \mu \left( x,y \right) M\left( x,y \right) =-\frac { \partial  }{ \partial y } \mu \left( x,y \right) N\left( x,y \right) \Rightarrow \frac { \partial  }{ \partial x } \mu \left( x,y \right) M\left( x,y \right) +\frac { \partial  }{ \partial y } \mu \left( x,y \right) N\left( x,y \right) =0\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考