104年專技高考_電機工程技師-工程數學詳解

104年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師、第二次食品技師考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試

等別：高等考試
類科：電機工程技師
科目：工程數學（包括線性代數、微分方程、複變函數與機率）

解： $$y''+4ty'-4y=0\Rightarrow L\left\{ y'' \right\} +L\left\{ 4ty' \right\} -L\left\{ 4y \right\} =0\\ \Rightarrow \left( s^{ 2 }Y\left( s \right) -sy\left( 0 \right) -y'\left( 0 \right)  \right) +4\frac { d }{ ds } \left( sY\left( s \right) -y\left( 0 \right)  \right) -4Y\left( s \right) =0\\ \Rightarrow \left( s^{ 2 }Y\left( s \right) +7 \right) +\left( -4Y\left( s \right) -4sY'\left( s \right)  \right) -4Y\left( s \right) =0\Rightarrow \left( s^{ 2 }-8 \right) Y\left( s \right) -4sY'\left( s \right) +7=0\\ \Rightarrow Y'\left( s \right) -\frac { s^{ 2 }-8 }{ 4s } Y\left( s \right) =\frac { 7 }{ 4s } \\ 積分因子I\left( s \right) ={ e }^{ \int { -\frac { s^{ 2 }-8 }{ 4s }  } ds }={ e }^{ \int { \left( \frac { 2 }{ s } -\frac { s }{ 4 }  \right)  } ds }={ e }^{ 2\ln { s } -\frac { 1 }{ 8 } { s }^{ 2 } }={ s }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { 1 }{ 8 } { s }^{ 2 } }\\ \Rightarrow Y\left( s \right) =\frac { \int { I\left( s \right) \frac { 7 }{ 4s } ds }  }{ I\left( s \right)  } =\frac { \int { { s }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { 1 }{ 8 } { s }^{ 2 } }\cdot \frac { 7 }{ 4s } ds }  }{ { s }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { 1 }{ 8 } { s }^{ 2 } } } =\frac { \frac { 7 }{ 4 } \int { { s }{ e }^{ -\frac { 1 }{ 8 } { s }^{ 2 } }ds }  }{ { s }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { 1 }{ 8 } { s }^{ 2 } } } \\ =\frac { \frac { 7 }{ 4 } \left( -4{ e }^{ -\frac { 1 }{ 8 } { s }^{ 2 } } \right)  }{ { s }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { 1 }{ 8 } { s }^{ 2 } } } =\frac { -7 }{ { s }^{ 2 } } \Rightarrow y\left( t \right) =L^{ -1 }\left\{ \frac { -7 }{ { s }^{ 2 } }  \right\} =-7t\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=-7t}$$

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解：
(一) $$det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} 1-\lambda  & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda  & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda  \end{matrix} \right| =-{ \left( \lambda -1 \right)  }^{ 3 }+\left( \lambda -1 \right) =0\Rightarrow \lambda \left( \lambda -1 \right) \left( \lambda -2 \right) =0\\ \Rightarrow 特徵值\bbox[red,2pt]{\lambda=0,1,2}$$ (二) $$det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} 1-\lambda  & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda  & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda  \end{matrix} \right| =-{ \left( \lambda -1 \right)  }^{ 3 }+\left( \lambda -1 \right) =0\Rightarrow \lambda \left( \lambda -1 \right) \left( \lambda -2 \right) =0\\ \lambda =0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1-\lambda  & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda  & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\\ \; \; \; \; \; \Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }=0 \\ x_{ 1 }+x_{ 3 }=0 \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \\ \lambda =1\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1-\lambda  & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda  & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\\ \; \; \; \; \;\Rightarrow \begin{cases} x_{ 3 }=0 \\ x_{ 2 }=0 \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \\ \lambda =2\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1-\lambda  & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda  & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\\ \; \; \; \; \;\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }=0 \\ x_{ 2 }=x_{ 3 } \end{cases}\Rightarrow 取u_{ 3 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow 特徵向量為\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ,\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] 及\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] }$$ (三) $$取P=\left[ \begin{matrix} u_{ 1 } & u_{ 2 } & u_{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \Rightarrow { P }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 0 & 1/2 & -1/2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & /21 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow { P }^{ -1 }AP=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right] =\Lambda \Rightarrow A=P\Lambda { P }^{ -1 }\\ 答:\bbox[red,2pt]{P=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] ,\Lambda =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right] }$$

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解： $$使用留數定理來解本題\\ \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ \frac { 3x+2 }{ x\left( x-4 \right) \left( x^{ 2 }+9 \right)  }  } dx\Rightarrow \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ \frac { 3z+2 }{ z\left( z-4 \right) \left( z^{ 2 }+9 \right)  }  } dx\\ \Rightarrow z=0,4,\pm 3i為單極點(\text{single pole})\, 且0,4在實數線上,3i在上半圓\\ 因此原式=\pi i\left( \frac { 0+2 }{ \left( 0-4 \right) \left( 0+9 \right)  } +\frac { 3\times 4+2 }{ 4\left( 4^{ 2 }+9 \right)  }  \right) +2\pi i\left( \frac { 3\times 3i+2 }{ 3i\left( 3i-4 \right) \left( 3i+3i \right)  }  \right) \\ =\pi i\left( \frac { -1 }{ 18 } +\frac { 7 }{ 50 }  \right) +2\pi i\left( \frac { 9i+2 }{ 72-54i }  \right) =\frac { 19\pi i }{ 225 } +\frac { -18\pi +4\pi i }{ 72-54i } =\bbox[red,2pt]{\frac { -378\pi  }{ 2025 }}$$

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解： $$f_{ X,Y }\left( x,y \right) =\begin{cases} x\left( y+1.5 \right) , & 0<x,y<1 \\ 0, & elsewhere \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} f_{ X }\left( x \right) =\int _{ 0 }^{ 1 }{ x\left( y+1.5 \right) dy } =\left. \left[ 0.5xy^{ 2 }+1.5xy \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=2x \\ f_{ Y }\left( y \right) =\int _{ 0 }^{ 1 }{ x\left( y+1.5 \right) dx } =\left. \left[ 0.5x^{ 2 }\left( y+1.5 \right)  \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=0.5y+0.75 \end{cases}$$ (一) $$E\left[ X \right] =\int { xf_{ X }\left( x \right) dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ 2x^{ 2 } } dx=\left. \left[ \frac { 2 }{ 3 } x^{ 3 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 2 }{ 3 }}$$ (二) $$E\left[ Y \right] =\int { yf_{ Y }\left( y \right) dy } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ 0.5y^{ 2 }+0.75y } dy=\left. \left[ \frac { 1 }{ 6 } y^{ 3 }+\frac { 3 }{ 8 } y^{ 2 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 13 }{ 24 }}$$ (三) $$E\left[ X^{ 2 } \right] =\int { x^{ 2 }f_{ X }\left( x \right) dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ 2x^{ 3 } } dx=\left. \left[ \frac { 2 }{ 4 } x^{ 4 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }}$$ (四) $$E\left[ XY \right] =\iint { xyf_{ X,Y }\left( x,y \right)  } dxdy=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2 }y\left( y+1.5 \right)  } dx } dy=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }y\left( y+1.5 \right)  \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 } } dy\\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \frac { 1 }{ 3 } y\left( y+1.5 \right)  \right)  } dy=\left. \left[ \frac { 1 }{ 9 } y^{ 3 }+\frac { 1 }{ 4 } y^{ 2 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 13 }{ 36 }}$$

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解： $$C:由\left( 1,1,1 \right) 至\left( -2,1,3 \right) 的線段,即C:x=-3t+1,y=1,z=2t+1,0\le t\le 1\\ \Rightarrow dx=-3dt,dy=0,dz=2dt\Rightarrow \int _{ C }{ xyzdx-\cos { \left( yz \right)  } dy+xzdz } \\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( -3t+1 \right) \left( 2t+1 \right) \left( -3dt \right) +\left( -3t+1 \right) \left( 2t+1 \right) \left( 2dt \right)  } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 6{ t }^{ 2 }+t-1 \right) dt } \\ =\left. \left[ 2t^3+\frac{1}{2}t^2-t \right]  \right| _0^1=2+\frac{1}{2}-1=\bbox[red,2pt]{\frac{3}{2}}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考