105年公務人員高等考試三級考試--工程數學詳解

105年公務人員高等考試三級考試

類科別：電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程
科        目：工程數學

甲、申論題部份：(50分)

解： $$\lim _{ n\to \infty  }{ \left| \frac { a_{ n+1 } }{ a_{ n } }  \right|  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \left| \frac { \frac { { 2 }^{ n+1 } }{ n+2 } { \left( z-1+2i \right)  }^{ 2\left( n+1 \right)  } }{ \frac { { 2 }^{ n } }{ n+1 } { \left( z-1+2i \right)  }^{ 2n } }  \right|  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \left| \frac { { 2 }\left( n+1 \right) { \left( z-1+2i \right)  }^{ 2 } }{ n+2 }  \right|  } <1\\ \Rightarrow 2{ \left( z-1+2i \right)  }^{ 2 }\Rightarrow \left| z-1+2i \right| <\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \Rightarrow \left| z-z_{ 0 } \right| <\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \Rightarrow 收斂半徑R=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \Rightarrow A^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right] 為一對角矩陣\\ A^{ 49 }={ A\left( { A }^{ 2 } \right)  }^{ 24 }=A\left[ \begin{matrix} 2^{ 24 } & 0 \\ 0 & 2^{ 24 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2^{ 24 } & 0 \\ 0 & 2^{ 24 } \end{matrix} \right] =\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 0 & 2^{ 25 } \\ 2^{ 24 } & 0 \end{matrix} \right] }$$

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解：
$$a_{ 0 }=\frac { 1 }{ L } \int _{ 0 }^{ L }{ f\left( x \right) dx } =\frac { 1 }{ L } \left( \int _{ 0 }^{ L/2 }{ \frac { 2k }{ L } xdx } +\int _{ L/2 }^{ L }{ \frac { 2k }{ L } \left( L-x \right) dx }  \right) \\ =\frac { 2k }{ L^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ L/2 }{ xdx } +\frac { 2k }{ L } \int _{ L/2 }^{ L }{ dx } -\frac { 2k }{ L^{ 2 } } \int _{ L/2 }^{ L }{ xdx } \\ =\frac { 2k }{ L^{ 2 } } \left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right]  \right| _{ 0 }^{ L/2 }+\frac { 2k }{ L } \times \frac { L }{ 2 } -\frac { 2k }{ L^{ 2 } } \left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right]  \right| _{ L/2 }^{ L }\\ =\frac { 2k }{ L^{ 2 } } \times \frac { 1 }{ 8 } L^{ 2 }+k-\frac { k }{ L^{ 2 } } \times \frac { 3 }{ 4 } L^{ 2 }=\frac { k }{ 4 } +k-\frac { 3 }{ 4 } k=\frac { k }{ 2 } \\ \Rightarrow a_{ 0 }=\bbox[red,2pt]{\frac { k }{ 2 }}$$ $$a_{ n }=\frac { 2 }{ L } \left( \int _{ 0 }^{ L/2 }{ \frac { 2k }{ L } x\cos { \frac { n\pi  }{ L } x } dx } +\int _{ L/2 }^{ L }{ \frac { 2k }{ L } \left( L-x \right) \cos { \frac { n\pi  }{ L } x } dx }  \right) \\ =\frac { 4k }{ L^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ L/2 }{ x\cos { \frac { n\pi  }{ L } x } dx } +\frac { 4k }{ L } \int _{ L/2 }^{ L }{ \cos { \frac { n\pi  }{ L } x } dx } -\frac { 4k }{ L^{ 2 } } \int _{ L/2 }^{ L }{ x\cos { \frac { n\pi  }{ L } x } dx } \\ =\frac { 4k }{ L^{ 2 } } \left. \left[ \frac { L }{ n\pi  } x\sin { \frac { n\pi  }{ L } x } +\frac { L^{ 2 } }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi  }{ L } x }  \right]  \right| _{ 0 }^{ L/2 }+\frac { 4k }{ L } \left. \left[ \frac { L }{ n\pi  } \sin { \frac { n\pi  }{ L } x }  \right]  \right| _{ L/2 }^{ L }\\ \quad -\frac { 4k }{ L^{ 2 } } \left. \left[ \frac { L }{ n\pi  } x\sin { \frac { n\pi  }{ L } x } +\frac { L^{ 2 } }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi  }{ L } x }  \right]  \right| _{ L/2 }^{ L }\\ =\frac { 4k }{ L^{ 2 } } \left( \frac { L^{ 2 } }{ 2n\pi  } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +\frac { L^{ 2 } }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { L^{ 2 } }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } }  \right) +\frac { 4k }{ L } \left( -\frac { L }{ n\pi  } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  }  \right) \\ \quad -\frac { 4k }{ L^{ 2 } } \left( \frac { L^{ 2 } }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \cos { n\pi  } -\frac { L^{ 2 } }{ 2n\pi  } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { L^{ 2 } }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  }  \right) \\ =\left( \frac { 2k }{ n\pi  } -\frac { 4k }{ n\pi  } +\frac { 2k }{ n\pi  }  \right) \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +\left( \frac { 4k }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } +\frac { 4k }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } }  \right) \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { 4k }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \cos { n\pi  } -\frac { 4k }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \\ =\frac { 8k }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { 4k }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \cos { n\pi  } -\frac { 4k }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } =\frac { 4k }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \left( 2\cos { \frac { n\pi  }{ 2 } - } \cos { n\pi  } -1 \right) \\ \Rightarrow a_{ n }=\bbox[red,2pt]{\frac { 4k }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 } } \left( 2\cos { \frac { n\pi  }{ 2 } - } \cos { n\pi  } -1 \right) }$$

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解： $$假設\begin{cases}  A=\left( 1,6,1 \right)  \\ B=\left( -2,4,2 \right)  \\ C=\left( 3,0,0 \right)  \\D=\left( 2,2,-4 \right)  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow { AB } =\left( -3,-2,-4 \right)  \\ \overrightarrow { AC } =\left( 2,-6,-1 \right)  \\ \overrightarrow { AD } =\left( 1,-4,-5 \right)  \end{cases}\Rightarrow 體積 =\left\| \begin{matrix} -3 & -2 & -4 \\ 2 & -6 & -1 \\ 1 & -4 & -5 \end{matrix} \right\| \\ =\left| -90+32+2-24-20+12 \right| =\bbox[red,2pt]{88}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$E\left( Y \right) =E\left( 0.5X^{ 2 } \right) =\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ 0.5x^{ 2 }e^{ -2|x| }dx } =2\int _{ 0 }^{ \infty  }{ 0.5x^{ 2 }e^{ -2x }dx } \\ =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ x^{ 2 }e^{ -2x }dx } =\left. \left[ -\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }e^{ -2x }-\frac { 1 }{ 2 } xe^{ -2x }-\frac { 1 }{ 4 } e^{ -2x } \right]  \right| _{ 0 }^{ \infty  }=0-\left( -\frac { 1 }{ 4 }  \right) \\ =\frac { 1 }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$F=\left( r\cos { \theta  } ,r\sin { \theta  }  \right) =\left( 3\cos { \left( 0.3\pi  \right)  } ,3\sin { \left( 0.3\pi  \right)  }  \right) =3\cos { \left( 0.3\pi  \right)  } i+3\sin { \left( 0.3\pi  \right)  } j，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} x=4\cos { \theta  } +1 \\ y=2 \\ z=4\sin { \theta  } +1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x'=-4\sin { \theta  }  \\ y'=0 \\ z'=4\cos { \theta  }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x''=-4\cos { \theta  }  \\ y''=0 \\ z''=-4\sin { \theta  }  \end{cases}\\ \Rightarrow 曲率=\frac { \sqrt { { \left( z''y-z'y'' \right)  }^{ 2 }+{ \left( x''z'-x'z'' \right)  }^{ 2 }+{ \left( x''y'-x'y'' \right)  }^{ 2 } }  }{ { \left( x'^{ 2 }+y'^{ 2 }+z'^{ 2 } \right)  }^{ 3/2 } } \\ =\frac { 16 }{ { \left( 16 \right)  }^{ 3/2 } } =\frac { { 4 }^{ 2 } }{ { 4 }^{ 3 } } =\frac { 1 }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} x\left( t \right) =t^{ 2 } \\ y\left( t \right) =t \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} dx=2tdt \\ dy=dt \end{cases}\Rightarrow \int _{ C }{ xydx-y\sin { \left( x \right) dy }  } =\int _{ -1 }^{ 4 }{ 2t^{ 4 }-t\sin { \left( t^{ 2 } \right)  } dt } \\ =\left. \left[ \frac { 2 }{ 5 } t^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( t^{ 2 } \right)  }  \right]  \right| _{ -1 }^{ 4 }=\left( \frac { 2048 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( 16 \right)  }  \right) -\left( -\frac { 2 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( 1 \right)  }  \right) \\ =\frac { 2050 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( 16 \right)  } -\frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( 1 \right)  } =410+\frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( 16 \right)  } -\frac { 1 }{ 2 } \cos { \left( 1 \right)  } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 4 & 8 & 12 \\ 5 & 7 & 9 \\ 3 & 6 & 2 \end{matrix} \right] \Rightarrow det\left( A \right) =84\Rightarrow A^{ -1 }=\frac { 1 }{ 84 } \left[ \begin{matrix} \left| \begin{matrix} 7 & 9 \\ 6 & 2 \end{matrix} \right|  & -\left| \begin{matrix} 8 & 12 \\ 6 & 2 \end{matrix} \right|  & \left| \begin{matrix} 8 & 12 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right|  \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 9 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right|  & \left| \begin{matrix} 4 & 12 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right|  & -\left| \begin{matrix} 4 & 12 \\ 5 & 9 \end{matrix} \right|  \\ \left| \begin{matrix} 5 & 7 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right|  & -\left| \begin{matrix} 4 & 8 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right|  & \left| \begin{matrix} 4 & 8 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right|  \end{matrix} \right] \\ =\frac { 1 }{ 84 } \left[ \begin{matrix} -40 & 56 & -12 \\ 17 & -28 & 24 \\ 9 & 0 & -12 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & -4 & 1 \end{matrix} \right] \Rightarrow det\left( A \right) =0-8-6+0+2+12=0\Rightarrow 沒有反矩陣，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$A=P\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] P^{ -1 }\Rightarrow A^{ 37 }=P\left[ \begin{matrix} 1^{ 37 } & 0 \\ 0 & (-1)^{ 37 } \end{matrix} \right] P^{ -1 }=P\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] P^{ -1 }=A，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$det\left( -3A \right) =det\left( -3IA \right) =det\left( -3I \right) A\times det\left( A \right) ={ \left( -3 \right)  }^{ 3 }\times \left( -2 \right) =54，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\cos { z } =1-\frac { 1 }{ 2! } { z }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 4! } { z }^{ 4 }-\frac { 1 }{ 6! } { z }^{ 6 }+\cdots \Rightarrow \cos { \frac { 1 }{ z }  } =1-\frac { 1 }{ 2!{ z }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 4!{ z }^{ 4 } } -\frac { 1 }{ 6!{ z }^{ 6 } } +\cdots \\ \Rightarrow z^{ 2 }\cos { \frac { 1 }{ z }  } =z^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2! } +\frac { 1 }{ 4!{ z }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ 6!{ z }^{ 4 } } +\cdots \Rightarrow z=0的留數為-\frac { 1 }{ 2! } =-0.5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：級數微分，其收斂半徑不變，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$z=0為\text{simple pole}\Rightarrow \int_C{e^{1/z}dz}=2\pi i\times 1=2\pi i，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$f\left( t \right) =L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s\left( s^{ 2 }+a^{ 2 } \right)  }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ a^{ 2 } } \left( \frac { 1 }{ s } -\frac { s }{ s^{ 2 }+a^{ 2 } }  \right)  \right\} =\frac { 1 }{ a^{ 2 } } \left( L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s }  \right\} -L^{ -1 }\left\{ \frac { s }{ s^{ 2 }+a^{ 2 } }  \right\}  \right) \\ =\frac { 1 }{ a^{ 2 } } \left( 1-\cos { \left( at \right)  }  \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$y''-4y'+4y=\frac { { e }^{ 2x } }{ x } \Rightarrow \begin{cases} y_{ 1 }=e^{ 2x } \\ y_{ 2 }=xe^{ 2x } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y'_{ 1 }=2e^{ 2x } \\ y'_{ 2 }=e^{ 2x }+2xe^{ 2x } \end{cases}\\ \Rightarrow W=\begin{vmatrix} y_{ 1 } & y_{ 2 } \\ y'_{ 1 } & y'_{ 2 } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} e^{ 2x } & xe^{ 2x } \\ 2e^{ 2x } & e^{ 2x }+2xe^{ 2x } \end{vmatrix}=e^{ 4x }\\ \Rightarrow y_{ p }\left( x \right) =-y_{ 1 }\int { \frac { y_{ 2 }r\left( x \right)  }{ W } dx } +y_{ 2 }\int { \frac { y_{ 1 }r\left( x \right)  }{ W } dx } \\ =-e^{ 2x }\int { \frac { xe^{ 2x }\frac { { e }^{ 2x } }{ x }  }{ e^{ 4x } } dx } +xe^{ 2x }\int { \frac { e^{ 2x }\frac { { e }^{ 2x } }{ x }  }{ e^{ 4x } } dx } =-e^{ 2x }\int { 1dx } +xe^{ 2x }\int { \frac { 1 }{ x } dx } \\ =-xe^{ 2x }+x\ln { x } e^{ 2x }\\ \Rightarrow y=c_{ 1 }y_{ 1 }+c_{ 2 }y_{ 2 }+y_{ p }=c_{ 1 }e^{ 2x }+c_{ 2 }xe^{ 2x }-xe^{ 2x }+x\ln { x } e^{ 2x }=c_{ 1 }e^{ 2x }+c_{ 2 }xe^{ 2x }+x\ln { x } e^{ 2x }\\ =\left( c_{ 1 }+c_{ 2 }x+x\ln { x }  \right) e^{ 2x }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( x \right) ={ e }^{ -\left| x \right|  }\Rightarrow f\left( -x \right) =f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) 為偶函數\Rightarrow F\left( \omega  \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ f\left( x \right) { e }^{ -i\omega x }dx } \\ =\frac { 2 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \int _{ 0 }^{ \infty  }{ f\left( x \right) \cos { \omega x } dx } =\frac { 2 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \int _{ 2 }^{ \infty  }{ { e }^{ -x }\cos { \omega x } dx } =\frac { 2 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \cdot \frac { 1 }{ 1+{ \omega  }^{ 2 } } \\ =\sqrt { \frac { 2 }{ \pi  }  } \frac { 1 }{ 1+{ \omega  }^{ 2 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$u_{ xx }-u_{ xy }-2u_{ yy }=0\Rightarrow 1-\lambda -2\lambda ^{ 2 }=0\Rightarrow \left( 2\lambda -1 \right) \left( \lambda +1 \right) =0\Rightarrow \lambda _{ 1 }=-1,\lambda _{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow u\left( x,y \right) =f\left( x+\lambda _{ 1 }y \right) +g\left( x+\lambda _{ 2 }y \right) =f\left( x-y \right) +g\left( x+\frac { 1 }{ 2 } y \right) =f\left( y-x \right) +g\left( 2x+y \right) \\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$f\left( x \right) =L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s\left( s^{ 2 }+1 \right)  }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s } -\frac { s }{ s^{ 2 }+1 }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s }  \right\} -L^{ -1 }\left\{ \frac { s }{ s^{ 2 }+1 }  \right\} \\ =1-\cos { t } \Rightarrow \lim _{ t\rightarrow \infty  }{ f\left( x \right)  } =\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ \left( 1-\cos { t }  \right)  } 不存在 ,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\frac { d^{ 4 }y }{ dx^{ 4 } } -\frac { 2 }{ 3 } \frac { d^{ 3 }y }{ dx^{ 3 } } +\frac { 1 }{ 9 } \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } =0\Rightarrow \lambda ^{ 4 }-\frac { 2 }{ 3 } \lambda ^{ 3 }+\frac { 1 }{ 9 } \lambda ^{ 2 }=0\\ \Rightarrow \lambda ^{ 2 }\left( \lambda ^{ 2 }-\frac { 2 }{ 3 } \lambda +\frac { 1 }{ 9 }  \right) =0\Rightarrow \lambda ^{ 2 }{ \left( \lambda -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow y=\left( C_{ 1 }+C_{ 2 }x \right) { e }^{ 0x }+\left( C_{ 3 }+C_{ 4 }x \right) { e }^{ \frac { 1 }{ 3 } x }=C_{ 1 }+C_{ 2 }x+C_{ 3 }{ e }^{ \frac { 1 }{ 3 } x }+C_{ 4 }x{ e }^{ \frac { 1 }{ 3 } x }，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$C_3,C_4,C_5$為串連，所以接通的機率為$\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{24}$；$C_1,C_2$為並連，所以接通的機率為$\frac{1}{6}\times\frac{4}{5} +\frac{5}{6}\times\frac{1}{5} +\frac{1}{6}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{3}$；因此整體接通的機率為$\frac{1}{24}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{72}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

13張黑桃取出4張有$C^{13}_4$取法，機率為$\frac{C^{13}_4}{C^{52}_4}$；同理13張紅桃取出4張有$C^{13}_4$取法，機率為$\frac{C^{13}_4}{C^{52}_4}$；
因此機率為$\frac{2\times C^{13}_4}{C^{52}_4}=\frac{22}{4165}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

兩向量正交，必定互相垂直，所以內積為0，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考